5.1.2数列中的递推导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.1.2 数列中的递推

学习目标：1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.(数学抽象)

2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.

3.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项

学习重点： 数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系

学习难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式

一、问题探究

问题1.如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？观察

1，3， 6，10，15，…

中数字出现的规律，写出第8个数.

 

【概念生成】

数列的递推关系

        如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式），数列的递推关系是表示数列的另一种方法.

例如，数列1，3， 6，10，15，…中的每一项都可以由递推公式1， 通过递推而得到.

例 1：分别写出下列数列{}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.

（1） 1,2,4,7,11，…；

（2） -1,2,5,8,11，…；

（3） 1,-2,4,-8,16，….

解：(1)因为 ，

                      ，

                      ，

                      ，

所以，，

                    

易知 ，

        

(2)因为 ，

所以

                 

易知

(3)因为 ，

所以

       

易知

 

练习 1. 数列, , , ，…的递推关系可以是       （       ）.

A. =（）                      B. =（）

C. =（）                    D. =2（）

答案：C

解析：观察数列，发现 ，

即从数列第二项起，后一项除以前一项的值都为，

所以递推关系为=（）

练习2 已知数列{}的第1项=1，以后的各项由公式=给出，试写出这个数列的前5项.

解：因为=1，=，所以 ，=，， 

  故该数列的前5项为1，，，，

例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.

解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此

第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此

第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此

第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此

第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此

  一般地，当

应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数，

又因为第 -2个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有

 

 

例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列

 1，1，2，3，5，8,…

的通项公式为

因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！

练习3 观察下列各式；

， ，4 ，7 ，11 ，…，

则_________.

答案：123

仔细观察不难发现，数列1,3,4,7,11, …符合斐波那契数列的特点，即从第三项起，每一项都是前两项之和.

 

例3 [累加法]已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋(n≥2)给出．

(1)写出数列{an}的前5项；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)a1＝1，

a2＝a1＋＝，

a3＝a2＋＝，

a4＝a3＋＝，

a5＝a4＋＝.

(2)由an＝an－1＋，

得an－an－1＝(n≥2)，

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1

＝＋＋…＋＋＋1

＝＋＋…＋＋＋1

＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N＋)．