5.1.2数列中的递推导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.1.2 数列中的递推 学习目标：1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.(数学抽象) 2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. 3.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项 学习重点： 数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系 学习难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式 一、问题探究 问题1.如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？观察 1，3， 6，10，15，… 中数字出现的规律，写出第8个数. 【概念生成】 数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式），数列的递推关系是表示数列的另一种方法. 例如，数列1，3， 6，10，15，…中的每一项都可以由递推公式1， 通过递推而得到. 例 1：分别写出下列数列{}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项. （1） 1,2,4,7,11，…； （2） -1,2,5,8,11，…； （3） 1,-2,4,-8,16，…. 解：(1)因为 ， ， ， ， 所以，， 易知 ， (2)因为 ， 所以 易知 (3)因为 ， 所以 易知 练习 1. 数列, , , ，…的递推关系可以是 （ ）. A. =（） B. =（） C. =（） D. =2（） 答案：C 解析：观察数列，发现 ， 即从数列第二项起，后一项除以前一项的值都为， 所以递推关系为=（） 练习2 已知数列{}的第1项=1，以后的各项由公式=给出，试写出这个数列的前5项. 解：因为=1，=，所以 ，=，， 故该数列的前5项为1，，，， 例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系. 解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此 第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此 第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此 第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此 第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此 一般地，当 应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数， 又因为第 -2个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有 例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列 1，1，2，3，5，8,… 的通项公式为 因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！ 练习3 观察下列各式； ， ，4 ，7 ，11 ，…， 则_________. 答案：123 仔细观察不难发现，数列1,3,4,7,11, …符合斐波那契数列的特点，即从第三项起，每一项都是前两项之和. 例3 [累加法]已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋(n≥2)给出． (1)写出数列{an}的前5项； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)a1＝1， a2＝a1＋＝， a3＝a2＋＝， a4＝a3＋＝， a5＝a4＋＝. (2)由an＝an－1＋， 得an－an－1＝(n≥2)， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝＋＋…＋＋＋1 ＝＋＋…＋＋＋1 ＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N＋)． 例4[累乘法]在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案　 解　由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝. 因为a1＝4，所以an＝(n≥2)． 又a1＝4满足上式，所以an＝. 练习4　设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则通项an＝________. 答案　(n∈N＋) 解析　因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，所以＝，an＝···…···a1＝···…···1＝(n∈N＋). 问题2. 已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列， 220，530，950，1360，1820，2350， 假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？ 作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即 220+530+950+1360+1820+2350=7230 【概念生成】数列的前𝒏项和 一般地，给定数列{}，称 为数列{}的前项和. 例如，对于问题1中的数列220，530，950，1360，1820，2350来说， ， 220 ， . 例4.已知数列{}中，若，，＝2，则该数列的前5项之和S5= . 答案：40 解析：根据递推公式逐个计算，，， 5， 11， 21. 根据数列前n项和的定义， =+ =40. 练习4：在数列{an}中，若，，＝（），求该数列的前50项之和S50. 解：根据递推公式逐个计算，，， ， ，， ，， ，…， 故数列{}是周期为6的周期数列，且+++++=1+3+2-1-3-2=0， 故该数列的前50项之和为 =. 问题2：已知数列{}，的前项和为=2+1.你能写出a1，a2，a3吗？ 解：∵S1==3，又∵ =，∴=3. ∵ S2==5，又∵ S2=， ∴ = ∵ S3==7，又∵ S3==+， ∴ = =7-5=2. 思考：你发现规律了吗，请试着写出. 【归纳总结】 通项与前项和的关系 一般地，如果数列{}的前项和为，那么当时，有 = = 例 5：(1)若数列{}的前项和Sn满足,求通项； (2)若数列{}的前项和Sn满足,求通项. 解：利用求解 (1)当时，； 当时，== = ， 显然也满足时的通项公式. 故数列的通项公式为5. (2)当时，； 当时，， 显然不满足时的. 故数列的通项公式为 练习6. 已知数列{}的前项和为，求数列{的通项公式. 解：由题意可知 当时，有 又因为所以时也成立，因此 【达标检测】 1.下列说法错误的是(　　) A.递推公式也是数列的一种表示方法 B. , 1(n≥2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法 D. 2, 2(n≥2)是递推公式 2.已知数列{}的第1项是1,第2项是2,以后各项由+(n>2)给出,则该数列的第5项等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 3.设数列{}的前n项和,则的值为(　　) A.15 B.37 C.27 D.64 4.在数列{}中, 2, +ln,则通项公式=　　　　　.  5.已知数列{}满足0, +(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式. 1.解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式. 答案:C 2.解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2), ∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 答案:C 3.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37. 答案:B 4. 解析:∵an+1=an+ln, ∴a2-a1=ln=ln 2, a3-a2=ln=ln, a4-a3=ln=ln, …… an-an-1=ln=ln. 以上(n-1)个等式相加,得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n. ∵a1=2,∴an=2+ln n. ∵a1=2+ln 1=2, ∴{an}的通项公式为2+ln n. 答案:2+ln n 5.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1, a3=a2+(2×2-1)=1+3=4, a4=a3+(2×3-1)=4+5=9, a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2. 5.1.2 数列中的递推 一、选择题 1．数列1，3，6，10，15，…的一个递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N＋ B．an＝an－1＋n＋1，n∈N＋，n≥2 C．an＋1＝an＋n＋1，n∈N＋ D．an＝an－1＋n－2，n∈N＋，n≥2 答案　C 解析　由题意知a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C. 2．（2021·天津河西区高二期末）已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，，.故选：A. 3．数列的前项和，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，当时， 验证，当时满足，故选：B． 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N＋)，且a1＝5，则a8＝(　　) A．40 B．35 C．5 D．12 答案　C 解析　数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N＋)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5，所以an＋1＝5，故a8＝5.故选C. 5．数列{an}的满足，且，则（ ） A．13 B．16 C．31 D．64 答案 C 详解 ，，，，，，.故选：C. 6．（多选题）已知数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意，，A正确，，C正确； ，∴数列是周期数列，周期为3．，B错； ，D正确．故选：ACD． 6．(多选)在数列{an}中，已知a1＝1，Sn＝n2an，则下列式子成立的是(　　) A．a2＝ B．Sn＝ C．＝ D．an＝ 答案　ABD 解析　a1＝1，S2＝4a2，即a1＋a2＝4a2，∴a2＝，故A正确；又Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，∴(n2－1)an＝(n－1)2an－1，即＝，故C错误；an＝××…××a1＝，Sn＝n2an＝，故B，D正确． 二、填空题 7．（2021·安徽高二学业考试）已知数列满足，则______. 【答案】10 【详解】由题得时，； 当时，. 8．（2021·福建莆田一中高二期中）已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________. 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 且当时，， 据此可得，数列的通项公式为：. 9（2021·山西运城市·高三其他模拟（理））著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…满足，那么是斐波那契数列的第________项． 【答案】2022 【详解】，即为第2022项． 10.(2021潍坊三中高二月考)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=　　　　　.  【答案】8 【详解】∵an=∴an=2n-10.由5<2k-10<8,得7.5<k<9,∴k=8. 11．（2020·上海曹杨二中高二期中）若数列满足，，，则数列前项的积等于________. 【答案】 【详解】，则，所以，， ，则，所以，数列是以为周期的周期数列， 且，所以，的前项的积为. 三、解答题 12. 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)lg (Sn＋1)＝n＋1；(2)Sn＝2n2－3n. [解]　(1)因为lg (Sn＋1)＝n＋1，所以Sn＋1＝10n＋1，即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n. 从而数列{an}的通项公式为 an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1＝－1也适合上式，所以an＝4n－5(n∈N＋). 13.已知数列中，，，． （1）求，的值； （2）求的前2021项和． 【答案】（1）；；（2）． 【详解】 （1）当时，，所以； 当时，，所以； （2）当时，，所以； 由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． 14．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，且an≠0，求数列{an}的通项公式． 解　∵anan－1＝an－1－an，且an≠0，∴当n≥2时，－＝1，∴＝＋＋＋…＋＝2＋＝n＋1，∴an＝(n≥2).又n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝. 14+．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理，得an＝an－1. 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝·an－1. 将以上(n－1)个等式中等号两端分别相乘， 整理，得an＝. 由于a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). 学科网（北京）股份有限公司 $$