5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 当 p=1 时， log 3 p=0 ， nlog 3 p=0 ， 即数列 {log 3 p n } 是 常数数列； 当 p>1 时 ， log 3 p>0 ， 则 nlog 3 p 是递增的 ， 即数列 {log 3 p n } 是递增数列 . 故选 D. 12. D 【解 析 】 由 题 意 ， 数 列 { a n } 的 通 项 a n = 2 020-2 n 2 021-2 n =1- 1 2 021-2 n ， 又由 2 10 <2 021<2 11 ， 当 n≤10 时， 数列递减， 且 a n <1 ， 最小值为第 10 项； 当 n>10 时， 数列递减， 且 a n >1 ， 最大值为第 11 项， 故整个数列的最大项为第 11 项， 最小项为第 10 项， 使得 a T ≤a n ≤a S 对任意的 n∈N * 恒成立， ∴T+S=10+ 11=21. 故选 D. 13. B 【解析】 ∵a n b n = a n -b n 且 a n =n+a-1 （ a n ≠-1 ）， ∴b n = a n a n +1 =1+ -1 n+a . ∵ 对任意的 n∈N * ， 都有 b n ≤b 6 成立， ∴ 数列 {b n } 的第 6 项最大 . 考虑 函数 f （ x ） =1+ -1 x+a ， 如 图所示， 结合图象可得 6<-a<7 ， ∴-7<a<-6. 故选 B. 14. BCD 【解析】 a n+k -a n =-3 n+k +3 n =-3 n （ 3 k -1 ）， ∵k∈ N + ， ∴3 k -1>0 ， ∴a n+k -a n <0 ， 即 a n+k <a k ， ∴ {a n } 不是间隔递 增数列， 故 A 错误 . a n+k -a n = n+k+ 4 n+k k % - n+ 4 n k % =k · n 2 +kn-4 （ n+k ） n ， 易得 t （ n ） =n 2 +kn-4 是递增数列， 则 t （ 1 ） =k-3 ， ∴k>3 时， {a n } 一定 是间隔递增数列， 故 B 正确 . a n+k -a n =2 （ n+k ） + （ -1 ） n+k - ［ 2n+ （ -1 ） n ］ =2k+ （ -1 ） n ·［（ -1 ） k -1 ］， n 为奇数时， a n+k -a n =2k- ［（ -1 ） k -1 ］， 显然 k=1 时， a n+k - a n >0 ； n 为偶数时， a n+k -a n =2k+ ［（ -1 ） k -1 ］， 显然 k=2 时， a n+k -a n >0. 综上， {a n } 是间隔递增数列且最小间隔是 2 ， 故 C 正确 . a n+k -a n = （ n+k ） 2 -t （ n+k ） +2 021- （ n 2 -tn+2 021 ） =2kn+k 2 - tk>0 对 n∈N * 恒成立， 则 2k+k 2 -tk>0 恒成立 . ∵ 最小间 隔是 3 ， ∴2k+k 2 -tk>0 ， 即 k>t-2 对于 k≥3 恒成立， 且 k≤2 时， 2k+k 2 -tk≤0 ， 即 k≤t-2 ， 于是 4≤t<5 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 15. 解： 存在， 如 a n =5- 1 n . ∵n>0 ， ∴5- 1 n <5. 又 ∵ 函数 y=5- 1 n 在 （ 0 ， +∞ ） 上 递增， ∴ 数列 a n =5- 1 n 是无穷递增数列， ∴ 存在各项都 小于 5 的无穷递增数列 . 5.1.2 数列中的递推 学习手册 变式训练 1 12 48 a n+1 =4a n （ n∈N + ） 【解析】 由图可 知， a 1 =12 ， a 2 =48 ， 由 “雪花曲线” 的作法可知， a 2 =4a 1 ， a 3 =4a 2 ， …， ∴ 由第 n 条 “雪花曲线” 的每条边都可得到 第 （ n+1 ） 条 “雪花曲线” 的 4 条边， ∴a n+1 =4a n ， ∴ 数列 {a n } 的递推公式为 a n+1 =4a n （ n∈N + ） . 变式训练 2 1 6 【解析】 ∵a 1 =1 ， ∴ 1 a 2 =1+1+ 1 a 1 =3 ， 故 1 a 3 =2+1+ 1 a 2 =3+3=6 ， ∴a 3 = 1 6 . 变式训练 3 a n = n 姨 +1 【解析】 由 a n+1 =a n + 1 n+1 姨 + n 姨 ， 得 a n+1 -a n = n+1 姨 - n 姨 . ∵a 1 =2 ， a 2 -a 1 = 2 姨 -1 ， a 3 -a 2 = 3 姨 - 2 姨 ， a 4 -a 3 = 4 姨 - 3 姨 ， … ， a n -a n -1 = n 姨 - n-1 姨 . 将以上各式等号两边分别相加， 得 a n =2+ 2 姨 - 1+ 3 姨 - 2 姨 + … + n 姨 - n-1 姨 = n 姨 +1 （ n≥2 ） . ∵a 1 = 2 也适合上式， ∴a n = n 姨 +1. 变式训练 4 a n =n 【解析】 方法一： 由 a n =n （ a n+1 -a n ）， 得 a n+1 a n = n+1 n ， ∴a 1 =1 ， a 2 a 1 =2 ， a 3 a 2 = 3 2 ， a 4 a 3 = 4 3 ， …， a n a n-1 = n n-1 （ n≥2 ） . 将以上各式等号两边分别相乘 ， 得 a n =n. 又 ∵a 1 =1 也适合上式， ∴a n =n. 方法二： 由 a n =n （ a n+1 -a n ）， 得 a n+1 n+1 = a n n ， ∴ 数列 a n n n * 为常数列， ∴ a n n = a 1 1 =1 ， ∴a n =n. 变式训练 5 C 【解析】 ∵ 1 a n = 1 n 2 +n = 1 n （ n+1 ） = 1 n - 1 n+1 ， ∴S n = 1- 1 2 k % + 1 2 - 1 3 k % + 1 3 - 1 4 k % + … + 1 n - 1 n+1 k % = 1- 1 n+1 = n n+1 . 故选 C. 变式训练 6 B 【解析】 ∵a 1 =-1 ， a 2 =-3 ， a n a n+2 =-3 ， ∴a 3 = 3 ， a 4 =1 ， a 5 =-1 ， a 6 =-3 ， a 7 =3 ， a 8 =1 ， …， ∴ {a n } 是以 4 为周期的周期数列， 且 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0 ， a 2 021 =a 1 =-1 ， a 2 022 = 第 13 题答图 24 参 考 答 案 a 2 =-3 ， a 2 023 =a 3 =3 ， ∴S 2 023 =505 （ a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ） +a 1 +a 2 +a 3 =-1. 故选 B. 变式训练 7 解： 当 n=1 时， a 1 =S 1 =1 2 -3×1+2=0 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 = （ n 2 -3n+2 ） - ［（ n-1 ） 2 -3 （ n-1 ） + 2 ］ = ［ n 2 - （ n-1 ） 2 ］ - ［ 3n-3 （ n-1 ）］ + （ 2-2 ） =2n-1-3=2n-4. ∵a 1 =0 不满足 a n =2n-4 ， ∴a n = 0 ， n=1 ， 2n-4 ， n≥2 2 . 变式训练 8 5 ， n=1 ， 2 n+1 ， n≥ 2 2 【解析】 当 n=1 时， a 1 =S 1 =2 3 - 3=5 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 = （ 2 n+2 -3 ） - （ 2 n+1 -3 ） =2 n+1 . ∵a 1 =5 不满足上式， ∴a n = 5 ， n=1 ， 2 n+1 ， n≥2 2 . 变式训练 9 解： ∵6S n =a 2 n +3a n ， ① 当 n=1 时， 6a 1 =a 1 （ a 1 +3 ）， ∵a 1 ≠0 ， ∴a 1 =3. 当 n≥2 时， 6S n-1 =a 2 n -1 +3a n-1 . ② ∴①-② ， 得 6S n -6S n-1 =a 2 n +3a n -a 2 n-1 -3a n-1 ， 整理可得 （ a n +a n-1 ）（ a n -a n-1 -3 ） =0. ∵a n +a n-1 ≠0 ， ∴a n -a n-1 =3 （ n≥2 ）， ∴a 1 =3 ， a 2 -a 1 =3 ， a 3 -a 2 =3 ， …， a n -a n-1 =3. 将以上各式等号两边分别相加得 a n =3n （ n≥2 ）， 又 ∵a 1 =3 也符合上式， ∴a n =3n （ n∈N + ）， ∴ {a n } 的通项公式为 a n =3n. 变式训练 10 3 3 ， n=1 ， 4 · 3 n-1 ， n≥ 2 2 【解析】 a 1 +2a 2 +3a 3 + … + na n = （ 2n-1 ）· 3 n ， ① 令 n=1 ， 得 a 1 =3. 当 n≥2 时 ， a 1 + 2a 2 +3a 3 + … + （ n-1 ） a n-1 = （ 2n-3 ）· 3 n-1 . ② ①-② ， 得 na n =4n · 3 n-1 ， 即 a n =4 · 3 n-1 . ∵a 1 =3 不满足上 式， ∴a n = 3 ， n=1 ， 4 · 3 n-1 ， n≥2 2 . 随堂练习 1. C 【解析】 数列从第 2 项起， 后一项是前一项的 1 2 ， 故递推公式为 a n+1 = 1 2 a n （ n∈N * ） . 故选 C. 2. BC 【解析】 分别令 2n 2 -n 的值为 30 ， 45 ， 66 ， 90 ， 可知只有当 2n 2 -n=45 时 ， n=5 或 n=- 9 2 （舍去 ）； 当 2n 2 -n=66 时， n=6 或 n=- 11 2 （舍去）， 故 45 ， 66 是数列 {a n } 的一项 . 故选 BC. 3. A 【解析】 ∵a 1 =2 ， ∴ 由已知可得 a 2 = 2-1 2+1 = 1 3 ， a 3 = 1 3 -1 1 3 +1 =- 1 2 ， a 4 = - 1 2 -1 - 1 2 +1 =-3 ， a 5 = -3-1 -3+1 =2 ， 可以判断出数列 {a n } 是以 4 为周期的数列， ∴a 2 021 = a 1 =2. 故选 A. 4. C 【解析】 ∵a 1 =1 ， ∴a 1 为奇数， a 2 =a 1 +3=4 ； a 2 为 偶数， ∴a 3 =2a 2 +1=9 ； a 3 为奇数， ∴a 4 =a 3 +3=12 ； a 4 为偶 数， ∴a 5 =2a 4 +1=25 ； a 5 为奇数， ∴a 6 =a 5 +3=28. 故选 C. 5. 解： （ 1 ） 由数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2 -1 ， 可得 a 1 =S 1 =1-1=0. 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =n 2 -1- （ n-1 ） 2 +1=2n-1 ， 不满 足 a 1 =0 ， 则 a n = 0 ， n=1 ， 2n-1 ， n≥2 2 . （ 2 ） 当 n=1 时， a 1 =S 1 =3 2 -3=6. 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 = （ 3 n+1 -3 ） - （ 3 n -3 ） =2 · 3 n . ∵a 1 =6 也满足 a n =2 · 3 n ， ∴a n =2 · 3 n . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵a 1 =3 ， a 2 =6 ， a n+2 =a n+1 +a n ， 则 a 3 =a 1 +a 2 = 9 ， a 4 =a 3 +a 2 =15 ， a 5 =a 4 +a 3 =24. 故选 C. 2. D 【解析】 由题意可知 a 3 =a 2 +3a 1 +2=6 ， a 4 =a 3 +3a 2 + 2=11 ， a 5 =a 4 +3a 3 +2=31. 故选 D. 3. C 【解析】 1+a 3 +a 5 +a 7 + … +a 59 +a 61 =a 2 +a 3 +a 5 +a 7 + … + a 59 +a 61 =a 4 +a 5 +a 7 + … +a 59 +a 61 =a 6 +a 7 + … +a 59 +a 61 = … =a 60 +a 61 =a 62 ， ∴k=62. 故选 C. 4. B 【解析】 b 4 =a 7 =a 6 +2= （ a 5 +3 ） +2=a 5 +5 = （ a 4 +2 ） +5=a 4 +7= （ a 3 +3 ） +7 =a 3 +10= （ a 2 +2 ） +10=a 2 +12 = （ a 1 +3 ） +12=1+15=16. 故选 B. 5. ABD 【解析】 由 a 1 =3 ， a n+1 =- 1 a n +1 ， 得 a 2 =- 1 4 ， a 3 =- 4 3 ， a 4 =3 ， ∴ 数列 {a n } 是周期为 3 的数列， ∴a 4 =a 7 =a 16 =3. 故选 ABD. 6. B 【解析】 由已知 a 2 =-a 1 +2 ， a 1 +a 2 =2 ， a 4 =-a 3 +6 ， a 3 +a 4 =6 ， 同理 a 5 +a 6 =10 ， a 7 +a 8 =14 ， a 9 +a 10 =18 ， ∴S 10 =2+6+ 25 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 10+14+18=50. 故选 B. 7. BCD 【解析 】 ∵a 1 =1 ， a 2 =2 ， a n a n-2 =a n-1 （ n≥3 ） ， ∴a 3 =2 ， a 4 =1 ， a 5 = 1 2 ， a 6 = 1 2 ， a 7 =1 ， a 8 =2 ， …， 因此数列 {a n } 为周期数列， a n+6 =a n ， a n 有最大值 2 ， a 2 019 =a 3 =2. ∵T 1 =1 ， T 2 =2 ， T 3 =4 ， T 4 =4 ， T 5 =2 ， T 6 =1 ， T 7 =1 ， T 8 = 2 ， …， ∴ {T n } 为周期数列， T n+6 =T n ， ∴T n 有最大值 4 ， T 2 019 =T 3 =4. 故选 BCD. 8. 4 （ n-1 ） 181 【解析】 由题意可知， a 1 =1 ， a 2 =5 ， a 3 =13 ， a 4 =25 ， ∴a 2 -a 1 =4 ， a 3 -a 2 =8=4×2 ， a 4 -a 3 =12=4×3 ， …， 当 n≥2 时， a n -a n-1 =4 （ n-1 ） . 因此 a 5 -a 4 =4×4 ， a 6 -a 5 =4×5 ， a 7 -a 6 =4×6 ， a 8 -a 7 =4×7 ， a 9 -a 8 =4×8 ， a 10 -a 9 =4×9 ， 以上各式 相加得 a 10 -a 4 =4× （ 4+5+6+7+8+9 ） =156 ， 则 a 10 =25+156= 181. 9. （ 1 ） a n = 10 n+1 （ 2 ） a n =2n 2 【解析】 （ 1 ） 由 a n = n n+1 a n-1 （ n≥2 ， n∈N * ） 得 a 2 a 1 = 2 3 ， a 3 a 2 = 3 4 ， …， a n a n-1 = n n+1 ， 累乘得 a n a 1 = 2 3 × 3 4 × … × n n+1 = 2 n+1 ， ∴ 通项公式为 a n = 10 n+1 . （ 2 ） 由 a 1 =2 及 a n+1 姨 = a n 姨 + 2 姨 得 a 1 姨 = 2 姨 ， a 2 姨 = a 1 姨 + 2 姨 ， a 3 姨 = a 2 姨 + 2 姨 ， … ， a n 姨 = a n-1 姨 + 2 姨 ， 将以上 n 个等式左右两边分别相加， 得 a n 姨 = 2 姨 · n （ n≥2 ）， 即 a n =2n 2 （ n≥2 ） . 又 ∵a 1 =2 也 满足上式， ∴a n =2n 2 （ n∈N + ） . 10. 解： （ 1 ） 当 n=1 时， a 1 =S 1 =14 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =n 2 +5n+8- ［（ n-1 ） 2 +5 （ n-1 ） +8 ］ =2n+4. 又 ∵a 1 =14 不满足上式， ∴a n = 14 ， n=1 ， 2n+4 ， n≥2 2 . （ 2 ） 当 n=1 时， a 1 =S 1 =2 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =n · 2 n - （ n-1 ）· 2 n-1 = （ n+1 ）· 2 n-1 . 又 ∵a 1 =2 也满足上式， ∴a n = （ n+1 ）· 2 n-1 ， n∈N * . 提升练习 11. B 【解析】 ∵n （ a n+1 -a n ） =a n +1 ， ∴na n+1 - （ n+1 ） a n =1 ， ∴ a n+1 n+1 - a n n = 1 n （ n+1 ） = 1 n - 1 n+1 ， ∴ a n+1 n+1 = a n+1 n+1 - a n n + a n n - a n-1 n-1 + … + a 2 2 - a 1 1 +a 1 ， ∴ a n+1 n+1 = 1 n - 1 n+1 1 ( + 1 n-1 - 1 n 1 n + 1 n-2 - 1 n-1 1 n + … + 1- 1 2 n +2 ， ∴ a n+1 n+1 = 1- 1 n+1 n +2=3- 1 n+1 . ∵ a n+1 n+1 <t ， ∴3- 1 n+1 <t ， ∴t≥3. 故选 B. 12. D 【解析】 由题意可得， a n+k -a n =- （ n+k ） 2 +t （ n+k ） + 9- （ -n 2 +tn+9 ） = （ t-2n ） k-k 2 <0 对任意的 n∈N + 成立， 则存 在 k≥4 ， 使 （ t-2 ） k-k 2 <0 成立， 且存在 k≤3 ， 使 （ t-2 ） k- k 2 ≥0 成立 . ∵k 是正整数， ∴t-2-4<0 ， 且 t-2-3≥0 ， 解 得 5≤t<6. 故选 D. 13. ABD 【解析】 数列的前 6 项为 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 故 A 正确； S 7 =1+1+2+3+5+8+13=33 ， 故 B 正确； 由 a 1 =a 2 ， a 3 =a 4 -a 2 ， a 5 =a 6 -a 4 ， …， a 2 019 =a 2 020 -a 2 018 ， 可 得 a 1 +a 3 +a 5 + … +a 2 019 =a 2 020 ， 故 C 错误； 斐波那契数列总有 a n+2 =a n+1 +a n ， 则 a 2 1 =a 2 a 1 ， a 2 2 =a 2 （ a 3 - a 1 ） =a 2 a 3 -a 2 a 1 ， a 2 3 =a 3 （ a 4 -a 2 ） =a 3 a 4 -a 2 a 3 ， …， a 2 2 018 =a 2 018 （ a 2 019 - a 2 017 ） =a 2 018 a 2 019 -a 2 017 a 2 018 ， a 2 2 019 =a 2 019 a 2 020 -a 2 019 a 2 018 ， ∴a 2 1 +a 2 2 + a 2 3 + … +a 2 2 019 =a 2 019 a 2 020 ， ∴a 2 1 +a 2 2 + … +a 2 2 019 9 -- , -- . a 2 019 =a 2 020 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 14. 2 020 【解析】 a n+1 =a n+2 -a n ， 左右两端同乘以 a n+1 有 a 2 n+1 =a n+1 a n+2 -a n a n+1 ， 从而 a 2 n =a n a n+1 -a n-1 a n ， a 2 n-1 =a n-1 a n -a n-2 a n-1 ， …， a 2 2 =a 2 a 3 -a 1 a 2 ， 将以上式子累加得 a 2 2 +a 2 3 + … +a 2 n =a n a n+1 - a 1 a 2 . 由 a 1 =a 2 得 a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 + … +a 2 n =a n a n+1 . 令 n=2 019 ， 有 a 2 1 + a 2 2 + … +a 2 2 019 =a 2 019 · a 2 020 =2 020. 15. （ -∞ ， 2 姨 ） 【解析】 由 a 1 +2a 2 +2 2 a 3 + … +2 n-1 a n = 1 3 （ n+1 ） n （ n-1 ）， 当 n≥2 时， a 1 +2a 2 +2 2 a 3 + … +2 n-2 a n-1 = 1 3 n （ n-1 ）（ n-2 ）， 两式相减可得 2 n-1 a n = 1 3 ［（ n+1 ） n （ n-1 ） -n （ n-1 ）（ n- 2 ）］ =n （ n-1 ）， ∴a n = n （ n-1 ） 2 n-1 ， 由 a 1 =0 ， 显然成立 . 设 a n+1 -a n = （ n+1 ） n 2 n - n （ n-1 ） 2 n-1 = n 2 +n-2n 2 +2n 2 n = -n 2 +3n 2 n ， ∴ 当 0<n≤3 时， a n+1 -a n >0 ， 当 n≥4 时， a n+1 -a n <0. 因此， 当 0<n≤3 时， 数列 {a n } 单调递增， 当 n≥4 时， 数列 {a n } 单调递减 . ∵a 3 = 3 2 ， a 4 = 3 2 ， 故当 n=3 或 n=4 时， 数列 {a n } 取 最大值， 且最大值为 3 2 . 26 参 考 答 案 对任意 λ>0 ， 所有的正整数 n 都有 λ 2 -kλ+2>a n 成立， 可得 λ 2 -kλ+2> 3 2 . 因此， kλ<λ 2 + 1 2 ， 即 k<λ+ 1 2λ 对 任意 λ>0 恒成立 . 由 λ+ 1 2λ ≥2 λ · 1 2λ 姨 = 2 姨 ， 当且仅当 λ= 1 2λ ， 即 λ= 2 姨 2 时取最小值， 则 k< λ+ 1 2λ $ min = 2 姨 ， ∴ 实数 k 的取值范围是 （ -∞ ， 2 姨 ） . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） 证明： 由题设可得 a n n - a n+1 n+1 +1=0 ， 即 a n+1 n+1 - a n n =1 ， ∴ 数列 a n n n & 是以 1 为首项、 1 为公 差的等差数列 . （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 可得， 数列 a n n n & 的通项公式为 a n n = 1+ （ n-1 ） ×1=n ， ∴a n =n 2 （ n∈N + ） . 变式训练 2 解： （ 1 ） 记该等差数列为 {a n } ， 公差为 d ， 由 a 1 =8 ， d=5-8=-3 ， 得数列的通项公式是 a n =8- 3 （ n-1 ） =-3n+11. 该数列的第 20 项 a 20 =-3×20+11=-49. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， a n =-3n+11 ， 如果 -121 是这个数列的项， 则方程 -3n+11=-121 有 正整数解 . 解这个方程， 得 n=44 ， 故 -121 是该等差数列的第 44 项 . （ 3 ） 由 （ 1 ） 知， a n =-3n+11 ， 解不等式 -200≤-3n+11≤0 ， 得 11 3 ≤n≤ 211 3 . 因此， 该数列位于区间 ［ -200 ， 0 ］ 内的项从第 4 项 起直至第 70 项， 共有 67 项 . 变式训练 3 （ 1 ） BC 【解析】 ∵a ， b ， c 成等差数列， ∴2b=a+c ， ∴Δ=4b 2 -4ac= （ a+c ） 2 -4ac= （ a-c ） 2 ≥0 ， ∴ 二次函 数 y=ax 2 -2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. （ 2 ） 解： ∵ （ a 2 +a 5 +a 8 ） - （ a 1 +a 4 +a 7 ） =3d ， （ a 3 +a 6 +a 9 ） - （ a 2 +a 5 +a 8 ） =3d ， ∴a 1 +a 4 +a 7 ， a 2 +a 5 +a 8 ， a 3 +a 6 +a 9 成等差数 列， ∴a 3 +a 6 +a 9 =2 （ a 2 +a 5 +a 8 ） - （ a 1 +a 4 +a 7 ） =2×33-39=27. 随堂练习 1. B 【解析】 设 {a n } 的公差为 d ， 根据题意知 a 4 =a 2 + （ 4-2 ） d ， 易知 d=-1 ， ∴a 8 =a 4 + （ 8-4 ） d=-2. 故选 B. 2. A 【解析】 由题意知 a n =2n+1 ， ∴a n+1 -a n =2 ， ∴ 数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列 . 故选 A. 3. 3 姨 【解析】 a+b 2 = 1 3 姨 + 2 姨 + 1 3 姨 - 2 姨 2 = 3 姨 - 2 姨 + 3 姨 + 2 姨 2 = 3 姨 . 4. C 【解析】 由题意， 得 5a 8 =120 ， ∴a 8 =24 ， ∴a 9 - 1 3 a 11 = （ a 8 +d ） - 1 3 （ a 8 +3d ） = 2 3 a 8 =16. 故选 C. 5. 解： ∵a 1 =3 ， a n+1 =2a n +1 ， ∴a 2 =2a 1 +1=7 ， a 3 =2a 2 +1=15 ， a 4 =2a 3 +1=31 ， a 5 =2a 4 +1= 63. 又 a 1 =3=2 2 -1 ， a 2 =7=2 3 -1 ， a 3 =15=2 4 -1 ， a 4 =31=2 5 -1 ， a 5 =63=2 6 -1 ， 由此可归纳出 a n =2 n+1 -1. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 a 2 +a 8 =a 1 +d+a 1 +7d=2a 1 +8d=12 ， ∴a 1 +4d= 6 ， ∴a 5 =6. 故选 C. 2. A 【解析】 第一个图形需要 3 根火柴棒， 后面每 多 1 个图形， 则多用 2 根火柴棒， ∴ 火柴棒数构成以 3 为首项、 2 为公差的等差数列， 则 a 10 =3+2× （ 10-1 ） =21. 故选 A. 3. B 【解析】 ∵x-1 ， x+1 ， 2x+3 是等差数列的前 3 项， ∴2 （ x+1 ） =x-1+2x+3 ， 解得 x=0. ∴a 1 =x-1=-1 ， a 2 =1 ， a 3 =3 ， ∴d=2 ， ∴a n =-1+2 （ n-1 ） = 2n-3 （ n∈N * ） . 故选 B. 4. D 【解析】 设数列 {a n } 的公差为 d ， 选项 A ， B ， C 都不满足 b n -b n-1 = 同一常数， ∴ 三个选项都是错误的； b n -b n-1 =- a n 2 + a n-1 2 = a n-1 -a n 2 =- d 2 ， ∴ 数列 {b n } 必为等差数 列， 故 D 正确 . 故选 D. 5. C 【解析】 ∵ {a n } ， {b n } 都是等差数列， ∴ {a n +b n } 也是等差数列 . 又 ∵a 1 +b 1 =100 ， a 2 +b 2 =100 ， ∴a n +b n =100 ， 故 a 37 +b 37 =100. 故选 C. 27 第五章 数 列 学 学 习 目 标 1. 能根据数列中的部分项发现并写出数 列的递推关系式 . 2. 会根据数列的递推关系求数列中的项 . 3. 会根据数列的递推关系用迭代法、 累 加法、 累乘法求数列的通项公式 . 4. 会用前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系求 数列的通项公式 . 要 点 精 析 要点 1 数列的递推关系 如果已知数列的首项 （或前几项）， 且 数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式来表示， 则称这个公式为数列的递 推关系 （也称为递推公式或递归公式） . 思考 递推公式与通项公式有什么联 系和区别？ 例 1 写出下列数列的一个递推关系 式， 并求出各个数列的第 7 项 . （ 1 ） 1 ， 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 1 16 ， …； （ 2 ） 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 12 ， …； （ 3 ） 2 ， 3 ， 5 ， 9 ， 17 ， … . 分析 考虑相邻两项的差或比的关系 即可得到 . 解： （ 1 ） ∵ a 2 a 1 = 1 2 1 = 1 2 ， a 3 a 2 = 1 4 1 2 = 1 2 ， a 4 a 3 = 1 8 1 4 = 1 2 ， a 5 a 4 = 1 16 1 8 = 1 2 ， ∴ a n+1 a n = 1 2 ， 即 a n+1 = 1 2 a n ， 从而 a 7 = 1 2 a 6 = 1 4 a 5 = 1 4 × 1 16 = 1 64 . （ 2 ） ∵a 2 -a 1 =3-2=1 ， a 3 -a 2 =5-3=2 ， a 4 -a 3 = 8-5=3 ， a 5 -a 4 =12-8=4 ， ∴a n+1 -a n =n ， 从而 a 7 =a 6 +6=a 5 +5+6=12+11= 23. （ 3 ） ∵a 2 -a 1 =3-2=1 ， a 3 -a 2 =5-3=2 ， a 4 -a 3 = 9-5=4 ， a 5 -a 4 =17-9=8 ， ∴a n+1 -a n =2 n-1 ， 从而 a 7 =a 6 +2 5 =a 5 +2 4 +2 5 =17+ 16+32=65. 变式训练 1 如图 1 ， 将正三角形的每一条边三等分， 并以每一条边上居中的一条线段为边向外作 正三角形， 便得到第 1 条 “雪花曲线” （如 图 2 的实线部分） . 对第 1 条 “雪花曲线” 的边重复上述作法， 便得到第 2 条 “雪花曲 线” （如图 3 ）， 这样一直继续下去， 得到一 系列的 “雪花曲线” . 设第 n 条 “雪花曲线” 有 a n 条边， 则 a 1 = ， a 2 = ， 数列 {a n } 的递推公式为 . 5.1.2 数列中的递推 图 1 图 2 图 3 图 5-1-2 7 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 根据数列的递推关系求数列的项 例 2 设数列 {a n } 中， a 1 =2 ， a n + 1 a n-1 =1 （ n≥2 且 n∈N * ）， 则 a 2 021 = （ ） A. -1 B. 1 2 C. 2 D. 3 2 分析 根据数列递推关系式求解数列 的周期， 再利用数列的周期性求解数列的项 . 解析： 由已知得 a n =1- 1 a n-1 ， 可求 a 2 = 1 2 ， a 3 =-1 ， a 4 =2 ， ∴ 数列 {a n } 的周期为 3 ， a 2 021 =a 2 = 1 2 . 故 选 B. 变式训练 2 已知数列 {a n } 中， a 1 =1 ， 1 a n+1 - 1 a n =n+1 ， 则其第 3 项为 . 要点 3 由递推公式求通项公式 由递推公式求通项公式常用的方法： （ 1 ） 归纳法： 从特例入手， 归纳、 猜想 数列的通项公式， 一般是依次写出前几项， 观察项与项的序号的关系， 从中寻找规律写 出通项公式； （ 2 ） 从一般入手， 根据递推 公式， 充分运用迭代、 累加、 累乘、 化归等 常用方法推导出通项公式 . 例 3 已知 a 1 =2 ， a n+1 =a n +ln 1+ 1 n n $ （ n∈ N + ）， 则数列 {a n } 的通项公式为 . 分析 利用 a n+1 与 a n 之差等于 f （ n ） = ln 1+ 1 n n & ， 而 f （ n ）可以进行裂项求和， 具体 根据递推关系式写出 （ n-1 ） 个等式， 再把 这些等式两边分别相加， 即可得到 n≥2 时 的 a n ， 但要注意验证 n=1 时是否满足通项 公式的情况 . 解析： 方法一 （观察法）： 数列的前 5 项分别为 a 1 =2 ， a 2 =2+ln2 ， a 3 = （ 2+ln2 ） +ln 3 2 =2+ln3 ， a 4 = （ 2+ln3 ） + ln 4 3 =2+ln4 ， 由此可猜想数列的通项公式为 a n =2+lnn. 方法二（迭代法）： a 2 =a 1 +ln2 ， a 3 =a 2 +ln 3 2 ， a 4 =a 3 +ln 4 3 ， …， a n =a n-1 +ln n n-1 ， 则 a n =a 1 +ln2+ln 3 2 +ln 4 3 + … +ln n n-1 =2+ lnn （ n≥2 ） . 又 ∵a 1 =2 也满足上式， ∴a n =2+lnn. 方法三 （累加法）： a n+1 -a n =ln 1+ 1 n n & = ln （ n+1 ） -lnn ， a 1 =2 ， a 2 -a 1 =ln2 ， a 3 -a 2 =ln3-ln2 ， a 4 -a 3 =ln4-ln3 ， …， a n -a n-1 =lnn-ln （ n-1 ）， 将以上各式等号两边分别相加， 得 a n =2+ln2+ （ ln3-ln2 ） + （ ln4-ln3 ） + … + ［ lnn- ln （ n-1 ）］ （ n≥2 ）， ∴a n =2+lnn （ n≥2 ） . ∵a 1 =2 也适合上式， ∴a n =2+lnn. 8 第五章 数 列 学 反思感悟 形如 a n+1 -a n =f （ n ）的递推关系， 可以考 虑用迭代法或累加法求通项公式 . 变式训练 3 已 知 数 列 { a n } 满 足 a 1 =2 ， a n +1 =a n + 1 n+1 姨 + n 姨 ， 则数列 {a n } 的通项公式为 . 变式训练 4 已知数列 {a n } 中， a 1 =1 ， a n =n （ a n+1 -a n ） （ n∈N + ）， 则数列 {a n } 的通项公式为 . 要点 4 数列的前 n 项和 一般地 ， 给定数列 {a n } ， 称 S n =a 1 +a 2 + a 3 + … +a n 为数列 {a n } 的前 n 项和 . 例 4 已知数列 {a n } 满足： 对任意的 n∈N * 均有 a n+2 =a n+1 -a n 成立， 且 a 1 =1 ， a 2 =2 ， 则该数列的前 2 022 项和 S 2 022 = （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 分析 根据 a n+2 =a n+1 -a n 可知， 数列 {a n } 具有周期性， 即可解出 . 解析： 方法一： ∵a n+2 =a n+1 -a n ， ∴a n+3 =a n+2 - a n+1 =-a n ， 即 a n =a n+6 ， ∴ 数列 {a n } 中的项具有 周期性， T=6. 由 a 1 =1 ， a 2 =2 ， 依次对 a n+2 =a n+1 - a n 赋值可得 a 3 =1 ， a 4 =-1 ， a 5 =-2 ， a 6 =-1. 一 个周期内 6 项的和为 0 ， 而 2 022÷6=337 ， ∴ 数列的前 2 022 项和 S 2 022 =0. 故选 A. 方法二： 通过赋值计算得 a 1 =1 ， a 2 =2 ， a 3 =1 ， a 4 =-1 ， a 5 =-2 ， a 6 =-1 ， a 7 =1 ， a 8 =2 ， …， 发现数列 {a n } 中的项具有周期性 ， 其余 同上 . 变式训练 5 若数列 {a n } 满足 a n =n 2 +n ， 则数列 1 a n n $ 的前 n 项和 S n = （ ） A. 1 n B. 2n n+1 C. n n+1 D. n 2 n+1 变式训练 6 在数列 {a n } 中， a 1 =-1 ， a 2 =-3 ， a n a n+2 =-3 ， 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 则 S 2 023 = （ ） A. -3 B. -1 C. 0 D. 3 要点 5 已知 S n ， 求 a n 例 5 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 S n =2n 2 -30n ， 求数列 {a n } 的通项公式 . 分析 利用 a n = S 1 ， n=1 ， S n -S n-1 ， n≥2 2 ， 即可 求解 . 解： 当 n=1 时， a 1 =S 1 =2-30=-28 ； 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =2n 2 -30n- ［ 2 （ n-1 ） 2 -30 （ n-1 ）］ =4n-32. 经检验， n=1 时， a 1 =-28=4×1-32 也适 合上式， ∴a n =4n-32. 反思感悟 已知 S n =f （ n ）， 利用 a n = S 1 ， n=1 ， S n -S n-1 ， n≥ 2 2 求 a n 时， 特别要注意分 n=1 和 n≥2 两种情 9 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 况进行讨论 ， 还要判断两种情况结果能 否合并 . 变式训练 7 已知在数列 {a n } 中， 前 n 项和 S n =n 2 - 3n+2 ， 求 a n . 变式训练 8 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且满 足 S n =2 n+2 -3 ， 则 a n = . 要点 6 已知 S n 与 a n 的关系式， 求 a n 或 S n 例 6 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且满足 S n = （ n+1 ） a n 2 ， a 1 =1 ， 则数列 {a n } 的 通项公式为 . 分析 利用 a n = S 1 ， n=1 ， S n -S n-1 ， n≥ " 2 得到 a n 与 a n-1 的递推关系， 再用观察法、 累乘法或 迭代法求解 . 解析： 方法一 （观察法）： 令 n=2 ， 得 a 1 +a 2 = 3a 2 2 . ∵a 1 =1 ， ∴a 2 =2. 令 n=3 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 = 4a 3 2 ， ∴a 3 =3. 令 n=4 ， 得 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 = 5a 4 2 ， ∴a 4 =4. 由此猜想 a n =n. 方法二 （累乘法）： ∵S n = （ n+1 ） a n 2 ， ① ∴ 当 n≥2 时， S n-1 = na n-1 2 . ② ①-② ， 得 S n -S n-1 = （ n+1 ） a n 2 - na n-1 2 ， 2a n = （ n+1 ） a n -na n-1 ， ∴ a n a n-1 = n n-1 （ n≥2 ）， ∴ a 2 a 1 = 2 1 ， a 3 a 2 = 3 2 ， a 4 a 3 = 4 3 ， …， a n a n-1 = n n-1 （ n≥2 ） . 将以上各式等号两边分别相乘， 得 a n = n （ n≥2 ） . ∵a 1 =1 也符合上式， ∴a n =n. 方法三 （迭代法）： ∵a 2 = 2 1 a 1 ， a 3 = 3 2 a 2 ， a 4 = 4 3 a 3 ， …， a n = n n-1 a n-1 （ n≥2 ）， ∴a n = n n-1 · n-1 n-2 · … · 4 3 · 3 2 · 2 1 a 1 =n （ n≥2 ） . ∵a 1 =1 也符合上式， ∴a n =n. 10 第五章 数 列 学 变式训练 9 已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 6S n =a n （ a n +3 ）， 求 {a n } 的通项公式 . 变式训练 10 已知数列 {a n } 满足 a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n = （ 2n-1 ）· 3 n ， n∈N + ， 则 a 1 = ， a n = . 数 学 文 化 例 一百零八塔是中国现存的大型古塔 群之一， 位于银川市南 60 公里的青铜峡水 库西岸崖壁下， 佛塔依山势自上而下， 按 1 ， 3 ， 3 ， 5 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13 ， 15 ， 17 ， 19 的奇数排列成十二行， 塔体分为 4 种类型： 第 1 层塔身覆钵式， 2~4 层为八角鼓腹锥顶 状， 5~6 层呈葫芦状， 7~12 层呈宝瓶状 . 现 将一百零八塔按从上到下、 从左到右的顺序 依次编号 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， …， 108. 则编号为 26 的佛塔所在层数和塔体形状分别为 （ ） A. 第 5 行， 呈葫芦状 B. 第 6 行， 呈葫芦状 C. 第 7 行， 呈宝瓶状 D. 第 8 行， 呈宝瓶状 解析： ∵1+3+3+5+5+7=24 ， 故编号为 26 的佛塔在第 7 行， 呈宝瓶状 . 故选 C. 11