5.1.1 第2课时 数列的通项公式与函数性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　数列的通项公式与函数性质

[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

进一步学习数列的相关概念，能根据数列的前几项求数列的通项公式.能判断数列的单调性，利用单调性求数列的最大、最小值.

 

题型（一）　由数列的前几项求通项公式

 [例1]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）-1，，-；

（2），2，，8；

（3）0，1，0，1；

（4）9，99，999，9 999.

解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，

所以它的一个通项公式为an=，n∈N+.

（2）数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…，

所以它的一个通项公式为an=，n∈N+.

（3）这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第（1）题也可以写成an=（n∈N+）或an=（n∈N+）.

（4）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+.

　　[变式拓展]

　根据本例中的第（4）题，试解决以下2个问题：

1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式.

解：由本例的第（4）题可知，每一项除以9即可，即an=（10n-1），n∈N+.

2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式.

解：由本例的第（4）题可知，每一项乘以即可，

即an=（10n-1），n∈N+.

　　|思|维|建|模|

根据数列的前几项求通项公式的解题思路

（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等.

（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式.

（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）n或（-1处理符号.有时也可用分段形式.

（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.

　　[针对训练]

1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.

（1）-，-，…；

（2），…；

（3）-1，，-，-，….

解：（1）这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，

所以它的一个通项公式为an=，n∈N+.

（2）这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，

所以它的一个通项公式为an=，n∈N+.

（3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式（-1）n.各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数

项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1.所以它的一个通项公式为an=（-1）n·，也可写为an=

 

题型（二）　数列的单调性

 [例2]　已知函数f（x）=（x∈R），设数列{an}的通项公式为an=f（n）（n∈N+）.

（1）求证：an≥；

（2）{an}是递增数列还是递减数列?为什么?

解：（1）证明：由题意得an==1-.因为n为正整数，所以2n≥2，0<≤，1-≥，所以an≥.

（2）{an}是递增数列.因为an==1-，所以an+1=1-，所以an+1-an=-=>0，所以{an}是递增数列.

　　|思|维|建|模|

1.解决数列的单调性问题的两种有效方法

（1）作差法：根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列；

（2）作商法：根据（an>0或an<0）与1的大小关系进行判断.

2.解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题，常利用以下等价关系

数列{an}递增⇔an+1>an（n∈N+）；

数列{an}递减⇔an+1<an（n∈N+）.

转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决，或由数列的函数特征，通过构建有关变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围.

　　[针对训练]

2.[多选]满足下列条件的数列{an}（n∈N+）是递增数列的为 （　　）

A.an= B.an=n2+n

C.an=1-2n D.an=2n+1