5.1.1 第2课时 数列的通项公式与函数性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　数列的通项公式与函数性质 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步学习数列的相关概念，能根据数列的前几项求数列的通项公式.能判断数列的单调性，利用单调性求数列的最大、最小值. 题型（一）　由数列的前几项求通项公式 [例1]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）-1，，-； （2），2，，8； （3）0，1，0，1； （4）9，99，999，9 999. 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （2）数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （3）这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第（1）题也可以写成an=（n∈N+）或an=（n∈N+）. （4）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+. 　　[变式拓展] 　根据本例中的第（4）题，试解决以下2个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解：由本例的第（4）题可知，每一项除以9即可，即an=（10n-1），n∈N+. 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解：由本例的第（4）题可知，每一项乘以即可， 即an=（10n-1），n∈N+. 　　|思|维|建|模| 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等. （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式. （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）n或（-1处理符号.有时也可用分段形式. （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 　　[针对训练] 1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数. （1）-，-，…； （2），…； （3）-1，，-，-，…. 解：（1）这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （2）这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. （3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式（-1）n.各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1.所以它的一个通项公式为an=（-1）n·，也可写为an= 题型（二）　数列的单调性 [例2]　已知函数f（x）=（x∈R），设数列{an}的通项公式为an=f（n）（n∈N+）. （1）求证：an≥； （2）{an}是递增数列还是递减数列?为什么? 解：（1）证明：由题意得an==1-.因为n为正整数，所以2n≥2，0<≤，1-≥，所以an≥. （2）{an}是递增数列.因为an==1-，所以an+1=1-，所以an+1-an=-=>0，所以{an}是递增数列. 　　|思|维|建|模| 1.解决数列的单调性问题的两种有效方法 （1）作差法：根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列； （2）作商法：根据（an>0或an<0）与1的大小关系进行判断. 2.解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题，常利用以下等价关系 数列{an}递增⇔an+1>an（n∈N+）； 数列{an}递减⇔an+1<an（n∈N+）. 转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决，或由数列的函数特征，通过构建有关变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 　　[针对训练] 2.[多选]满足下列条件的数列{an}（n∈N+）是递增数列的为 （　　） A.an= B.an=n2+n C.an=1-2n D.an=2n+1 解析：选BD　A.因为an+1-an=-=-<0，所以是递减数列；B.因为an+1-an=[（n+1）2+n+1]-（n2+n）=2n+2>0，所以是递增数列；C.因为an+1-an=[1-2（n+1）]-（1-2n）=-2<0，所以是递减数列；D.因为an+1-an=（2n+1+1）-（2n+1）=2n>0，所以是递增数列.故选BD. 3.已知数列{an}的通项公式为an=，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围是　　　　.  解析：因为an+1-an=-=，数列{an}为递减数列，所以<0对任意n∈N+恒成立，即k>3-3n恒成立，当n=1时，3-3n有最大值0，所以k>0. 答案：（0，+∞） 题型（三）　数列的最大、最小项 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an=（n+1）·，n∈N+.试问该数列有没有最大项?若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一　an+1-an=（n+2）-（n+1）·=， 当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>9时，an+1-an<0，即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10，且a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项， 且a9=a10=10×. 法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N+，则n=9或n=10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×. 　　[变式拓展] 　若本例通项公式“an=（n+1）”变为“an=”，如何求解. 解：有最大项.a1=，a2==1，a3==，a4==1，a5==，…. ∵当n≥3时，=×==<1，∴an+1<an，即n≥3时，{an}是递减数列.又∵a1<a2<a3，∴an≤a3=.∴当n=3时，a3=为这个数列的最大项. 　　|思|维|建|模| 求数列最值的方法 （1）函数的单调性法：令an=f（n），通过研究f（n）的单调性来研究最大（小）项. （2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设an最大，则满足（n≥2）， 解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组（n≥2）求得n的取值范围，从而确定n的值. 　　[针对训练] 4.已知数列{an}的通项公式是an=（n+2）× （n∈N+），试问数列{an}是否有最大项?若有，求出最大项；若没有，请说明理由. 解：法一　作差比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性. an+1-an=（n+3）×-（n+2）×=×. 当n<5时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=5时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>5时，an+1-an<0，即an+1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法二　作商比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性. ==.又an>0， 令>1，解得n<5；令=1，解得n=5；令<1，解得n>5. 故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法三　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得即5≤n≤6. 故数列{an}有最大项a5或a6，且a5=a6=. 学科网（北京）股份有限公司 $