6.2.2 第2课时 函数最值的求法-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

094 第2课时 函数最值的求法 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.通过图像感受极大值与最大值、极小值与最小值之间的联 1.能利用导数求给定闭区间上函 系与区别，并明确它们的关系 数的最大值、最小值.（数学运2.通过二次函数与三次函数感受极值的特征与函数图像的关 算) 系，类比二次函数的极值与最值的关系，体会三次函数的极 2.体会导数与单调性、极值、最大 值与最值的关系，并理解单峰函数的极值与最值的关系。 （小)值的关系.（逻辑推理） 3.体会导数在研究函数性质（单调性及与单调性有关的极值、 最值)和图像中的工具性作用. 必备知识探新知 知识点函数的最大值与最小值 1.一般地，如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一 定是 ;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值，函数y=f(x)在(a,b)内可导， 那么函数的最值点要么是 ,要么是 知识解读：上述结论包含以下两点 (1)给定函数的区间必须是闭区间，(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值， 常见的有以下几种情况：如图1中的函数y=f(x)在(a,b)上有最大值而无最小值；如图2中的 函数y=f(x)在(a,b)上有最小值而无最大值；如图3中的函数y=f(x)在(a,b)上既无最大值又无 最小值；如图4中的函数y=f(x)在(a,b)上既有最大值又有最小值 o a bx oa b 图1 图2 图3 (2)函数f(x)的图像在区间[a,b]上连续不断是f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值的充分不必要 lxl,-1≤x≤1且x≠0， 条件.如函数f(x)= 1-1，x=0 的图像在[-1,1]上有间断点，但存在最大值和最小值 2.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中 是最大值， 是最小值 知识解读：函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[α，b]而言. (2)在函数的定义区间[，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有 一个 (3)函数代x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处 取得 ●095 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一求函数的最值 例.（)(2025·临沂高二检测)y=+-x+1在区间[-2,1上的最小 值为 () A号 B.2 C.-1 D.4 (2)(2025·安庆高二检测)已知函数f(x)=x3-3x,x∈R. ①求f(x)的单调区间： ②当x∈[-3,3]时，求fx)的最大值与最小值 规律方法： 求函数最值的四个步 骤：第一步求函数的 定义域：第二步求 ∫'(x),解方程∫'(x) =0:第三步列出关于 xf(x),∫'(x)的变化 表；第四步求极值、端 点值，确定最值 特别警示：不要忽视 将所求极值与区间端 点的函裁值比较 [规律方法] 】对点训练1 (1)(2025·海口高二检测)函数f(x)=x3-3x2-9x+6在区间[-4,4] 上的最大值为 A.11 B.-70 C.-14 D.21 (2)(2022·乙卷（文）)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间 [0,2π]的最小值、最大值分别为 () A-5哥 R-3段C-55+2】 377+2 0964 题型二含参数的函数最值问题 例2设函数x)=+a-dx+m(a>0. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点，求a的取值范围； (3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立， 求m的取值范围. [分析](1)求f(x)的单调区间，可解不等式f'(x)≥0，f'(x)≤0，由于 f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x∈[-1,1] 内没有极值点的含义是f'(x)=0在[-1,1]内没有实数根，故f(x)在 [-1,1]内单调；(3)f(x)≤1在[-2,2]内恒成立，则f(x)在[-2,2]内的最 大值小于等于1. 规律方法： 1.由于参数的取值范 围不同会导致函裁在 所给区间上的单调性 的变化，从而导致最 值的变化，故含参裁 时，需注意是否分类 讨论. 2.已知函数最值求参 [规律方法] 数，可先求出函数在 )对点训练2 给定区间上的极值及 已知函数g(x)=e-2ax-b,求g(x)在[0,1]上的最小值 函数在区间端点处的 函数值，通过比较它 们的大小，判断出娜 个是最大值，哪个是 最小值，结合已知求 出参数，进而使问题 得以解决 ●097 题型三函数最值的综合应用 例3，设函数fx)=+2x+6-1(xeR,1>0. (1)求函数f(x)的最小值h(t); (2)在(1)的条件下，若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围. [分析]第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t) <-2t+m,得h(t)+2t<m,可转化为当函数g(t)=h(t)+2t在区间(0,2) 上的最大值小于m时，求实数m的取值范围的问题. 规律方法： 将证明或求解不等式 问题转化为研究一个 函数的最值问题可以 使问题解决变得 容易 一般地，若不等式a≥ f(x)恒成立，a的取值 范围是a≥[f(x)]mx 若不等式a≤f(x)恒 成立，则a的取值范 [规律方法] 围是a≤[f八x)]min 》对点训练3 (2025·石家庄高二检测)已知函数f(x)=(x-1)3+m. (1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调区间； (2)若关于x的不等式f(x)≥x-1在区间[1,2]上恒成立，求m的取值 范围。 098 ●易错警示 没有准确把握条件致误 例4.设1为曲线C:y=n在点(1,0)处的切线 (1)求1的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方 [错解】()设)兰，则()产所以订")=1所以1药方程为y=-1 (2)由(1)知1=-1是曲线x)在点(1,0)处的切线，又当x=2时，有2)=192<1， 放切线1上药对应点(2，)，在击线C上的点2，)的上方，曲线C上除初点1,0)外都右曲线1 下方 [误区警示](1)正确；(2)中错误地认为直线1与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同 侧，从而导致解答错误.错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意 义所致。 [正解] [点评]由直线与曲线相切的定义知，直线1与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当1与 C切于点P时，不能保证与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点. 课堂检测固双基 1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大：C.最小值为-4，无最大值 值和最小值分别是 D.既无最大值，也无最小值 A.5,15 B.5,-4 5.求下列函数的最值： C.5,-16 D.5,-15 (1)f(x）=x3-2x2+1,x∈[-1,2]： 2.(2025·和平高二检测)函数f(x)=elnx-x 在(0,2e]上的最大值为 (2x)=sin2x-,xe[-受] A.1-e B.-1 (3)f)=1nx-x C.-e D.0 3.已知函数f(x)=2x-6x2+m(m为常数)在 [-2,2]上有最大值3，那么此函数在[-2,2]上 的最小值为 A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 4.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)() A.最大值为4，最小值为-4 夯基提能作业 B.最大值为4，无最小值 请同学们认真完成练案[19](-∞，2)） 2 (2,+0) f'(x) 0 f(x) 极小值 个 所以函数)的极小值为2)=一之 函数f(x)无极大值 (2)F'(x)=f'(x）=ae'-(ar-a)e=-a(x-22 e e ①当a<0时，F(x),f'(x)的变化情况如下表： x (-0,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 × F(x) 极小值 习 若使函数F()没有零点，当且仅当F2)=台+1>0， 解得a>-e2,所以此时-e2<a<0; ②当a>0时，F(x),f'(x)的变化情况如下表： (-0,2)） 2 (2,+0) f'(x) 0 F(x) 极大值 当x>2时，F(x)=a(x=山+1>1， 当x<2时，令F()=x-+1<0, er 即a(x-1)+e<0, 由于a(x-1)+e<a(x-l)+e2, 令a(r-l)+e2≤0，得x≤1- a 即≤1-时，F()<0,所以(x)总存在零点 综上所述，所求实数a的取值范围是(-e2,0). 例5：f'(x)=3x2+12mx+4n, 依题意有(-2)=0， f-2)=0, 即12-24m+4n=0, 1-8+24m-8n+8m2=0, 解得}或安 n=9. 当m=1,n=3时，f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0， 所以f代x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当m=2,n=9时，f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+ 6),当-6<x<-2时f'(x)<0,当x>-2时f'(x)>0, 故f(x)在x=-2处取得极值，符合题意。 综上所述，m=2,n=9,所以m+4n=38. 课堂检测固双基 1.A由图像可知，满足f'(x)=0且导函数函数值左负右正的 只有一个，故f代x)在(a,b)内的极小值点只有一个. 2.B①y=x3在R上单调递增，无极值； ②y=x2+1在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 增，故②正确； ③y=xI在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， -18 故③正确： ④y=2在R上单调递增，故④不正确.∴.选B. 3.C f(x)=cos x+aln x,..f'(x)=-sinx+a 1 x)在x=石处取得极值…f"(石)=-2+=0， 6 解得：a=,经检验符合题意，放选C 4.③时'（的图像可见在(-”，-多）和(24)上()< 0)单调减，在(-号，2和(4，+0)上()>0)单 调增，.只有③正确 5.)的定义域为(0，+x)'()=ae- 由题设知f'(2)=0,所以a=20 1 从面)=2这e-h-1f'()点c-士 当0<x<2时f'(x)<0;当x>2时，f'(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为 (2,+∞). 第2课时函数最值的求法 必备知识探新知 知识点1.某个极值点区间端点a或b极值点2.极 值最大的一个最小的一个 关键能力攻重难 例1：(1)Cy=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令y'=0解 得x=写或x=1 当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2; 当=写时y-号：当=1时.y=2,所以函数的最小值为 -1,选C. (2)①f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时，f'(x)>0,当-1<x<1时f'(x)<0. 所以f代x)的单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，递减 区间为(-1,1). ②由①知x∈[-√5,3]时，f(x)的极大值为f(-1)=2, f(x)的极小值为f1)=-2,又f(-3)=0f代3)=18. 所以f代x)的最大值为18f(x)的最小值为-2. 对点训练1：(1)A函数f(x)=x-3x2-9x+6的导数为 f'(x)=3x2-6x-9, 令f'(x)=0得x=-1或x=3 由f(-4)=-70:f-1)=11; f3)=-21:f(4)=-14: 所以函数y=x3-3x2-9x+6在区间[-4,4]上的最大值为 11. (2)Dfx)=cosx+(x+1)sinx+1,x∈[0,2π]， f(x)=-sin x+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cos x, 令msx=0得x=号或受 当x∈[0，）时，f(x)>0,f(x)单调递增；当xe (受，)时f()<0x)单调递减；当xe(,2m]时，f(x) >0,f孔x)单调递增， ∴(x)在区间[0,2m]上的极大值为）=受+2，极小 值为）=受， 又.f(0)=2,f2m)=2 ÷函数(x)在区间[0,2m]的最小值为-罗，最大值为牙 +2, 故选D. 例2：(1)f'()）=3x2+2ar-a2=3(x-3)x+a), 又a>0,当x<-a或x>号时f'(x)>0:当-a<x<号 时f'(x)<0. ·函数f(x)的单调递增区间为(-，-a),(?,+）单 调递减区间为(-a,兮) (2)由题设可知，方程f'(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1] 上没有实根，又△=4a2+12d2=16a2>0,(a>0),x=-3 <0. 0{6如8 a>0,.a>3. (3).ae[3,6], 号e[1,2],-a≤-3， 又xe[-2,2]心当xe[-2,)时f'(x)<0fx)单调 递减，当xe(号，2时，f"()>0x)单调递增， 故f代x)的最大值为f2)或f(-2). 而f2)-f-2)=16-4a2<0,fx)m=f(-2)=-8+4a +2a2+m, 又f(x)≤1在[-2,2]上恒成立， ∴.-8+4a+2a+m≤1， 即m≤9-4a-2a2,在ae[3,6]上恒成立， .9-4a-2a2的最小值为-87， ∴.m≤-87. 对点训练2：因为g(x)=e-2a,xe[0,1],ee[1,e], 所以(1)若a≤2，则2a≤1，g'(x)=e-2a≥0， 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)mn=g(0) =1-b. (2)若}<a<号则1<2a<e, 于是当0<x<ln(2a)时，g'(x)=e*-2a<0, 当ln(2a)<x<1时，g'(x)=e-2a>0, 所以函数g(x)在区间[0，n(2a)]上单调递减，在区间 [ln(2a),1]上单调递增， g(x)min=g(In(2a))=2a-2aln(2a)-b. (3)若a≥，则2a≥e,g'(x)=e-2a≤0， 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减， g(x）mn=g(1)=e-2a-b. 综上所述，当a≤之时，g(x)在区间[0,1小上的最小值为 g(x)mn=g(0)=1-b, 18 当)<a<号时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x) =g(ln(2a)）=2a-2aln(2a)-b; 当a≥气时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min=g(1)=e-2a-b. 例3：(1)fx)=t(x+t)2-t+t-1(xeR,t>0), ∴.当x=-t时，f(x)的最小值为f(-t)=-t+t-1,即 h(t)=-t+t-1. (2)令g(t)=h(t)-(-2t)=-t+3t-1, 由g'(t)=-3+3=0及t>0,得t=1, 当t变化时，g'(t),g(t)的变化情况如下表： t (0,1) (1,2) g'(t) + 0 g(t) 极大值 由上表可知当t=1时，g(t)有极大值g(1)=1, 又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点， ∴.函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大 值g(t)m=1. h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立， 即g(t)<m在(0,2)内恒成立， 当且仅当g(t)m=1<m,即m>1时上式成立， .实数m的取值范围是(1，+o). 对点训练3：(1)因为f1)=1,所以m=1, 则f代x)=(x-1)3+1=x3-3x2+3x, 而f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立， 所以函数f代x)的单调递增区间为(-∞，+∞) (2)不等式f代x)≥x-1在区间[1,2]上恒成立，即不等式 3x2-3x-m≤0在区间[1,2]上恒成立， 即不等式m≥3x-3x在区间[1,2]上恒成立，即m不小于 3x2-3x在区间[1,2]上的最大值. 因为xe[1,2]时3-3x=3(x-)-子e[0.6, 所以m的取值范围是[6，+∞). 例4：0设f)-,则(x)=1s x2 所以f'(1)=1.所以1的方程为y=x-1. (2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外，曲线C在直线l 的下方等价于g(x)>0(Hx>0,x≠1). (x)满足g(1)=0,且g(x)=1-一f'(x)=-1+血x 当0<x<1时，x2-1<0,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单 调递减： 当x>1时，x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调 递增. 所以，g(x)>g(1)=0(Hx>0,x≠1).所以除切点之外，曲 线C在直线l的下方. 课堂检测固双基 1.D由y=2x3-3x2-12x+5得y'=6x2-6x-12, 令y'=0得x=-1(舍去)或x=2. 故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是 x取0,2,3时的函数值，而f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, 故最大值为5，最小值为-15. 2.D根据条件可得f'(x)=。-1, 令f'(x)=0可得x=e, 2 则当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当e<x≤2e时，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)· f'(x)<0f(x)单调递减；则当x=e时，f(x)取极大值也为最 大值，所以f代x)m=f代e）=elne-e=0. [23+10(x-6=2+10(x-3)x-623<x<6。 3.A因为f'(x)=6x2-12x=6x(x-2), 从而，f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)· 由f'(x)=0得x=0或2. (x-6) 又f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然f(0)> 于是，当x变化时f(x),f(x)的变化情况如下表： f2)>f-2), (3,4) (4,6) 所以m=3,最小值为f代-2)=-37. 4.Bf'(x)=-43+4x,由f'(x)=0得x=±1或x=0 f(x) + 0 易知f代-1)=f1)=4为极大值也是最大值，故应选B. f(x) 极大值42 5.(1)f(x)=3x2-4x,令f(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或 由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点， 4 x=3 :也是最大值点，所以，当x=4时，函数f(x)取最大值，且最大值 当x变化时，P(x)代x)的变化情况如下表： 等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所 获得的利润最大. x -1 (-1,0) 0 4 3 (2 2 对点训练1：(1)由题意，当x=2时，y=800,.a+b=800. 又：x=3时，y=150, (x) 0 0 + .b=300,可得a=500. f(x) -2 37 [500(x-3)2+300. x-1,l<x≤4， 从上表可知，最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f代-1) .y= 2800-100,4<x≤12. =-2. (2)()=2cm 2-1.e[ (2)由题意，得f(x)=y(x-1)= r500(x-3)2(x-1)+300,1<x≤4， 令f(x)=0,得x=- 或x= 6 (2800-100(x-1),4<x≤12 x 当x变化时，f(x)f(x)的变化情况如下表： 当1<x≤4时，f(x)=500(x-3)2(x-1)+300=500x3 3500x2+7500x-4200 6 T T 6 f(x)=500(3x-5)(x-3)由P(x)>0,得x<或> 2 6 6 6 6 2/ 3,由f()<0,得号<x<3。 F(x) 0 0 ∴x)在(1，)，(3,4)上单调递增，在（子，3上单调递 f(x) 受 3 减f）<4)=180. 由上表可知， .当x=4时有最大值，f4)=1800. 当x= 受时✉)取得最大值(-受）受。 当4<x≤2时，)-(20-0x-1）=290 当x=受时)取得最小值（受）=-受 (100x+2800)≤2900-400万≈1840 x (3)fx)的定义域为(0，+)(x)=1-nx-1,令f(x)= x2 当且仅当100x=2800,即x=2万≈5.3时取等号， 0,得x2=1-nx,显然x=1是方程的解。 g(x)=x2+Inx-1,xE(0,+), .x=5.3时，有最大值1840. 1800<1840,.当x=5.3时f(x)有最大值1840，即当 则g(x)=2x+士>0， 销售价格为5.3元时，店铺所获利润最大. ∴.函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， 例2：(1)设隔热层厚度为xcm, .x=1是方程f(x)=0的唯一解. 由题设，每年能源消耗费用为C(w)=3x+5 当0<x<1时，f(x）=-血x-1>0, 40 又C(0)=8,k=40,因此C(x)=3x+5,而建造费用 当x>1时，F(x)<0,函数(x)在(0,1)上单调递增，在山，C()=6x,从面隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 +∞)上单调递减当x=1时，函数f(x)有最大值，且最大 值是f代1)=-1，函数f(x)无最小值. 为)=20c()+C()=20×305+6x3005+6x(03 6.3利用导数解决实际问题 x≤10) 关键能力攻重难 2400 例1：()因为x=5时，=1山，所以号+10=山，a=2 (2f(x)=6-3x+3,令f()=0. 即2400 2)由1)知，该商品每日的销售量y=子+10(x-6), =6,得无=5=曾（合去 当0<x<5时f(x)<0,当5<x<10时，f(x)>0. —183