5.1.1 第1课时 数列的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　数　列 　　　　　　　　　　 5.1　数列基础 　　　　　　　　　5.1.1　数列的概念 　 第1课时　数列的概念 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解数列的概念和表示方法；能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.会由通项公式写出数列的任一项，理解数列是一种特殊函数. 逐点清（一）　数列的概念与分类 [多维理解] 数列 按照一定次序排列的一列数称为数列 项 数列中的每一个数都称为这个数列的项. 各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项，…… 项数 组成数列的数的个数称为数列的项数 数列按项 数分类 项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项 |微|点|助|解| （1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按照一定次序排列的数. （2）如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. （3）同一个数在数列中可以重复出现. （4）判断有穷数列与无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项. [微点练明] 1.下列各项表示数列的是 （　　） A.a，b，c，…，x，y，z B.2 019，2 020，2 021，…，2 025 C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D.a+b，a-b，ab，2a 解析：选B　数列必须由数组成，A、C、D中均不是数. 2.下列有关数列的说法正确的是 （　　） A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列-2，0，2与数列2，0，-2是同一个数列 C.数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} D.数列中的每一项都与它的序号有关 解析：选D　常数列中任意两项都是相同的，所以A不正确；数列-2，0，2与2，0，-2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，所以C不正确；根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选D. 3.下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. （1）1，-1，1，-1，1，-1，…是无穷数列； （2）所有自然数能构成数列； （3）-3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列； （4）在0~16之间的质数按从小到大的顺序构成的数列为1，2，3，5，7，11，13. 解：（1）正确.（1）中项数无穷多，是无穷数列. （2）正确.如将所有自然数按从小到大的次序排列. （3）错误.当x，y代表数时为项数为8的数列； 当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按照一定的次序排列所组成. （4）错误.1不是质数，构成的数列应是2，3，5，7，11，13. 逐点清（二）　数列的通项 [多维理解] 1.数列的通项 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第n项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N+），称为数列的通项.此时，一般将整个数列简记为{an}，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母. 2.数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f（n）来表示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. |微|点|助|解| （1）已知通项公式an=f（n），那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项. （2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an=（-1）n还可以写成an=（-1的形式，还可以写成an=（k∈N+），这些通项公式虽然形式不同，但都表示同一公式. （3）并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. [微点练明] 1.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则该数列的前4项依次为 （　　） A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 解析：选A　当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0. 2.下列四个数中，是数列{n（n+1）}中的一项的是 （　　） A.380 B.392 C.321 D.232 解析：选A　n=19时，n（n+1）=380. 3.若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的 （　　） A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 解析：选D　因为1=37×0，37=37×1，314=37×2，321=37×3，因此符合题意的一个通项公式为an=37（n-1）.由37（n-1）=398解得n=15，所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　.  解析：由an=2 021-3n>0，解得n<=673+，因为n∈N+，所以正整数n的最大值为673. 答案：673 逐点清（三）　数列与函数的关系 [多维理解] 1.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 2.数列按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [微点练明] 1.已知数列{an}满足an=3n+kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是 （　　） A.（-2，+∞） B.（-6，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，2） 解析：选B　要想{an}为递增数列，则an+1-an=3n+1+kn+k-3n-kn=2×3n+k>0恒成立，故k>-2×3n.又n=1时，-2×3n取得最大值，最大值为-6，故k>-6. 2.已知n∈N+，下列数列是递增数列的是 （　　） A.an= B.an=1-2n C.an=n2 D.an= 解析：选C　对于A，an+1-an=-=-<0，故{an}为递减数列，故A错误.对于B，an+1-an=-2<0，故{an}为递减数列，故B错误.对于C，an+1-an=2n+1>0，故{an}为递增数列，故C正确.对于D，an+1-an=-=-<0，故{an}为递减数列，故D错误. 3.已知函数y=f（x）满足：对任意a1∈（0，1），由递推关系an+1=f（an）得到的数列{an}是递增的，则该函数的图象可以是 （　　） 解析：选C　由题意可知，an+1=f（an）>an， 又a1∈（0，1）， 故x∈（0，1）时，该函数的图象需在y=x的上方， 选项中只有C选项符合要求，故C正确. 4.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4，则an的最小值为　　　　，此时n=　　　　.  解析：因为an=n2-5n+4=-，所以当n=2或n=3时，an取得最小值，为a2=a3=-2. 答案：-2　2或3 学科网（北京）股份有限公司 $