6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

088 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时函数的导数与极值 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.极值的概念可以通过图像来直观感知，明确极 1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的 值点附近导数的符号特征，通过导函数方程的 条件.（数学抽象） 解进一步了解极值与单调区间的关系， 2.会求函数的极值.（数学运算） 2.通过二次函数与三次函数感受极值的特征与函数图 像的关系 必备知识 探新知 知识点一函数的导数与极值 1.极值点与极值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,设x。∈D,如果对于x附近的任意不同于x。的x,都有 (1) ,则称x为函数f(x)的一个 ,且f(x)在xo处取极大值； (2) 则称，为函数f(x)的一个 且f(x)在x。处取极小值 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为·显然，极大值点在其附近 函数值最大，极小值点在其附近函数值最小 2.极值点的求法 一般地，如果x。是y=f(x)的极值点，且f(x)在xo处可导，则必有 知识解读：1.理解极值概念的注意点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在[a,b]上有极值，那么f(x)在[a,b]上绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函 数没有极值. (4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值，且极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大 (5)若函数f(x)在[α，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的 分布是有规律的（如图所示），相邻两个极大值点之间必有一个极小值点， fx) 同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点， fx,) 2.可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 x34b末 (1)必要条件：可导函数y=f代x)在x=x,处取得极值的必要条件是f'(x)=0. (2)充分条件：可导函数y=(x)在x=x。处取得极值的充分条件是∫'(x)在x=。附近两侧异号. 知识点二函数极值的求解步骤 一般地，求函数y=f(x)的极值的步骤是： (1)求出函数的定义域及导数f'(x) (2)解方程∫'(x)=0,得方程的根x(可能不止一个)； 089 (3)用方程f'(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x,f'(x),f(x)在每个 区间内的变化情况列在同一个表格中； (4)由f'(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在∫'(x)=0的各个根处的极值情况： ①如果在x,附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是 ②如果在x附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(xo)是 知识解读：制成的表格及相关结论如下： x x<Xo x>Xo f'(x) + 0 f(x) 单调递增入 极大值f(xo) 单调递减 x<Xo Xo X >Xo f'(x) 0 + f(x) 单调递减 极小值f(x) 单调递增入 由表格可清晰地看出极值的分布情况，对于初学者是首选，后期对求导比较熟练时也可以省去 列表格。 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一极值点的概念与判断 例1.(1)（多选题）下列说法正确的是 () A.若f(x)≥f(x),则称f(xo)为f(x)的极小值，若f(x)≤f(xo),则称 f(x)为f(x)的极大值 B.若f(xo)为f(x)的极大值，f(a)是函数的最大值，则f(xo)=f(a) 规律方法： 有关给出图像研究函 C.可导函数极值点的导数值为0，但导数值为0的点可能不是函数的 数性质的题目，要分 极值点 清给的是f(x)的图像 D.极值点一定出现在定义区间的内部 还是∫'(x)的图像， E.若f(x)在区间(a,b)内有极值，则f(x)在(a,b)内一定不是单调 若给的是f(x)的图 函数 像，应先我出f(x)的 (2)已知函数y=xf'(x)的图像如图所示，（其中f'(x) 单调区间及极（最) 值点，如果给的是 是函数f(x)的导函数)，给出以下说法： ∫'(x)的图像，应先 ①函数f(x)在区间(1，+0)上是增函数； 我出f'(x)的正负区 ②函数f八x)在区间(-1,1)上单调递增； 间及由正变负还是由 ③函数f(x)在x=- 处取得极大值： 负变正，然后结合题 目特点分析求解 ④函数f(x)在x=1处取得极小值， 其中正确的说法是 [规律方法] 090 》对点训练1 (1)下列说法正确的是 A.若f'(xo)=0,则f(xo)是函数f(x)的极值 B.若f(xo)是函数f(x)的极值，则f(x)在。处有导数 C.函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值 D.定义在R上的可导函数f(x),若方程f'(0)=0无实数解，则f(x)无 极值 (2)(2025·北京八中高二检测)如图所示是函数y= f(x)的导函数y=∫'(x)的图像，给出下列结论： 1 2 ①-2是函数f(x)的极值点； ②1是函数f(x)的极值点； ③f(x)在x=0处切线的斜率小于零； ④f(x)在区间(-2,2)上单调递增. 其中正确结论的序号是 ·(写出所有正确命题的序号) 题型二利用导数求函数的极值 例，2求函数y=3x-x+1的极值 [分析]首先对函数求导，然后求方程y'=0的根，再检查y在方程根 左、右两侧的值的符号.如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果 左负右正，那么y在这个根处取得极小值 规律方法： P[规律方法] 利用导数求函数极值 的步骤 )对点训练2 (1)确定函裁的定 求下列函数的极值. 义战 (1)f(x)=x3-12x; (2)求导数f(x). (2)f(x)=x2e. (3)解方程∫'(x)=0 得方程的根 (4)利用方程∫'(x)= 0的根将定义域分成若 千个小开区间，列表， 判定导函数在各个小开 区间的符号 (5)确定函数的极 值，如果∫'(x)的特号 在处由正（负）变 负（正)，则f(x)在x 处取得极大（小)值 091 题型三区间极值求参 例3)若函数八)=-6x+36在(0,1)内有极小值，则实数6的取值 范围是 规律方法： (2)函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点，则m的取值范围是 解决与极值相关的参 ●[规律方法] 数范围问题的关键是 根据极值条件列出不 )对点训练3 等式（组）. (1)设a∈R,若函数y=x+alnx在区间。，e)上有极值点，则a的取值范 围为 B(-e, c(-x,u(e,+∞) D.(-,-eu(-,+ (2)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 题型四与极值相关的综合问题 例4.已知x)=am-bx+c在x=士1处的极大值为4，极小值为0，试确 定a,b,c的值. [分析]本题的关键是理解“f(x)在x=±1处的极大值为4，极小值为 0”的含义.即x=±1是方程f'(x)=0的两个根且在根x=±1处f'(x)取值 左、右异号 规律方法 已知函裁极值，确定 函数解析式中的参数 时，注意以下两点： (1)根据极值点的导 数为0和极值这两个 条件列方程组，利用 待定系数法求解 (2)因为导数值等于 零不是此点为极值点 P[规律方法] 的充要条件，所以利 用待定系数法求解后 必须验证充分性： 092 》对点训练4 已知函数f(x)=a-0(aeR,a≠0). (1)当a=-1时，求函数f(x)的极值； (2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点，求实数a的取值范围. ●易错警示 忽视极值存在的条件致误 例 .已知函数f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2处取得极值，且极值为0，求m+4n的值. 误区警示]可导函数的极值点一定是导数为零的点.在某点导数为零仅是该点为极值点的 必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号， [正解] [点评]由于“f'(xo)=0”是“f(x。)为极值”的必要不充分条件，因此由f'(x)=0求得m,n 的值后，要验证在x=x,左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x。处取得极值， 忽视了这一检验过程，就会导致错解. 093 课堂检测 固双基 1.(2025·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为5.已知函数f(x)=ae-1nx-1,设x=2是f(x) 开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图 的极值点，求a,并求f(x)的单调区间， 像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极 小值点的个数为 y=fx】 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列四个函数：①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|; ④y=2.在x=0处取得极小值的函数是 ( A.①② B.②③ c.③④ D.①③ 3.(2023·银川三模)已知函数f(x)=cosx+ alnx在x=处取得极值，则a= ( 6 B.T 4 c D.- 4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图 像，对此图像，有如下结论： ①在区间(-2,1)内f(x)是增函数； ②在区间(1,3)内f(x)是减函数； ③x=2时，f(x)取到极大值； ④在x=3时，f(x)取到极小值. 夯基提能作业 其中正确的是 (将你认为正确的序号 请同学们认真完成练案[18 填在横线上).n(-a))上单调递减 综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间是(-o,+0),无 单调递减区间： 当a<0时f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+o),单调 递减区间是(-o,ln(-a)]. 对点训练2：(1)函数f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0. 即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1. ∴.函数f代x)的单调递增区间为(-0，-1)和(1，+0)， 令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. .函数f(x)的单调递减区间为(-1,1). (2)函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+), f')=(+)=1-合 令'(x)>0,则(x+万(x-万>0. x>6,或x<-万 函数的单调递增区间为(-∞，-√⑥)和（√b,+∞） 令f'(x)<0,则之(x+历(x-历<0， -万<x<6,且x≠0. 函数的单调递减区间为(-√万，0)和(0，b). 例3：由已知，得f(x)=3x-a. 因为f代x)在(-o,+0)上是增函数， 所以f(x)=3x2-a≥0在(-0，+0)上恒成立， 即a≤3ax2对xeR恒成立， 因为3x≥0，所以只需a≤0. 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0，f(x)=x2-1在R上是增 函数，所以a≤0. 对点训练3：(1)f(x)=3x2-a. ①当a≤0时，f(x)≥0， ∴f(x)在(-∞，+∞)上为增函数.此时不满足题意 ②当a>0时，令3x2-a=0,得x=±3 3 当-@<x<时f)<0 )在(-上为减函数， )的单满递减区间为[-，哥。 -1,即a=3 (2)由题意，可知f(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立， 250688a 3-a≤0， 即a的取值范围是[3，+∞). (3)fx)=x3-ax-1,.f(x)=3x2-a. 由f()=0,得x=±o≥0， f代x)在区间(-1,1)上不单调， 0<<1,即0<a<3 故a的取值范围为(0,3). 例4：由已知得x>0,则函数f代x)的定义域为(0，+∞) :f“()=a+g-2,f'(2)=a+年-1=0，得a= 17 号)=号+2-5+2 f()>0,得0<<分或x>2.舒'()<0，得7<x<2. 故函数)的单调递增区间为(0，），(2，+)，单调递 减区间为（分，2 课堂检测固双基 1.D:fx)=(x-3)e, ∴f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e', 由f'(x)>0得x>2,∴.选D. 2.D根据导函数图像，y=f(x)的递增区间为(-3，-1)，(0， 1),递减区间为(-1,0)，(1,3)，观察选项可得D符合，故 选D. 3.C对函数f(x)求导可得，f(x)=ae- x 依题意，ae-≥0在(1,2)上恒成立， 即a≥1在(1,2)上恒成立， =ete(1,2),则g(x)=二e+e2= 设g(x)=1 (xe)2 e(x+1) (e*)2, 易知当xe(1,2)时，g(x)<0, 则函数g(x)在(1,2)上单调递减， 期a≥g(a=g)==e 故选C. 4.C函数)=-nx的定义域为(0，+)f'()=x- 士舒'()<0，即x士<0解得0<x<1,放选C 5.函数的定义城为0，+).且)=2-a (1)当a≤0时f(x)>0恒成立fx)在(0，+∞)上单调递增； (2)当a>0时，由f(x)=2-a>0,解得0<x<2 由(x)<0,解得x>2 a 所九)在0上单两遂增，在（名+]上单减 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，+o),无单调递 减区间： 当a>0时，(x)的单调递增区间是(0，名)，单调递减区间 是（品，+） 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时函数的导数与极值 必备知识探新知 知识点一1.f(x)<f(xo)极大值点f(x)>f(x)极 小值点极值2.(x)=0 知识点二极大值极小值 关键能力攻重难 例1：(1)CDE对于A,反例：设f(x)=Jx,f(x)≥f(0)=0, 因为0是区间[0，+)的端点，所以f(0)不是(x)的极小值； 设f代x)=-,f代x)≤f0)=0,同理f(0)不是f孔x)的极大值，所 以A不正确： 对于B,由极值的定义知极大值不一定等于最大值，甚至有 可能小于极小值，根据最大值的定义应该有f(x)≤f(a),所以B 不正确 对于C,正确 对于D,函数的极值是某个点的函数值，与它附近的函数值相 比较是最大的或是最小的，端点不是函数极值点，D正确 对于E,在区间上单调的函数没有极值，E正确。 (2)①④说法①，由图像知，当x∈(1，+∞)时，f'(x)> 0,故f'(x)>0,f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，①正确。说 法②，当x∈(-1,0)时xf'(x)>0,故f'(x)<0;当xe(0,1) 时，xf'(x)<0,故f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)，(0,1)上是减 函数，②不正确.说法③，由②知f(x)在(-1,0)上单调递减 x=-不是极值点，3不正确说法④，由①②知④是正确 的.故填①④. 对点训练1：(1)D若P(x。)=0,则f(x)是函数f代x)的极 值，不正确，反例y=x3中，f'(0)=0,但是x=0不是函数的极 值点，故A不正确：对于B,例如f(0)=0是f(x)=IxI的极小 值，但f(x)=Ix|在x=0处不可导，所以错误：对于C,函数f(x) 可有多个极大值和极小值，所以错误.对于D,根据可导函数判 断是否存在极值的条件，可得若方程f'(x)=0无实数解，则定 义在R上的函数f代x)无极值，所以正确. (2)①④对于①，当xe(-0,-2)时f'(x)<0,f(x)单 调递减，当x∈(-2,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，-2是函数 的极小值点，①正确；对于②，当x∈（-2,1)时f'(x)>0,f(x) 单调递增，当x∈(1，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，故1不 是函数f(x)的极值点，②错误：对于③，由题中图像可知f'(0)》 >0,所以y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，③错误；对于 ④，由题中图像可知当x∈(-2,2)时，f'(x)>0,函数单调递 增，④正确，故正确的序号是①④. 例2：y=9x2-1,令y=0,解得=3=-3 当x变化时，y和y的变化情况如下表： 11 3 3,3 0 0 + 极大值 单调递增 11 单调递减 极小值) 单调递增 9 因此，当x= 11 3时，y有极大值，并且板太做=9 而当x=了时，y有极小值，并且= 7 对点训练2：(1)函数f(x)的定义域为R f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令f'(x)=0,得x=-2或x=2. 当x变化时，f'(x),(x)变化情况如下表： x (-,-2) -2 (-2,2 2 (2,+0)》 f'(x)》 + 0 - 0 + 极大值 极小值 f(x) f(-2》 f2)= =16 -16 18 从表中可以看出，当x=-2时，函数有极大值16. 当x=2时，函数有极小值-16. (2)函数的定义域为R f'(x)=2xe#-x2·e-=x(2-x)e" 令f'(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x),f代x)变化情况如下表： (-0,0) 0 (0,2) (2,+0】 f'() 0 0 八x》 极小值0 极大值4e-2 由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且f(0)=0:当 x=2时，函数有极大值，且R2)-号 例3：1)(0,2)f'()=3x2-6 当b≤0时，f'(x)≥0恒成立，函数f代x)无极值. 当b>0时，令3x2-6b=0得x=±26. 由函数f代x)在(0,1)内有极小值， 可得0<瓜<1，解得0<6<分 (2)[-5,5]因为f'(x)=3x2+2mx+1,f(x)=x3+ mx2+x+1在R上无极值点， 所以f'(x)≥0对xeR恒成立，所以△=(2m)2-4×3× 1≤0=-√3≤m≤5. 对点训练3：(1)B函数y=f(x)=x+alnx在区间 (日上有极值点台=0在区间（日c上有零点f”()=1+ -(x>0.所以r'(日)f'(e)<0,所以（日+a小e+a) <0,解得-e<a<-日 所以a的取值范围为-e,-日) (2)(-0,-3)U(6,+∞）由题意知f'(x)=3x2+ 2ax+a+6=0有两个不等实根，所以△=4a2-12(a+6)>0,解 得a<-3或a>6. 例4：f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b). 由题意，f'(x)=0应有根x=±1，故5a=3b, 于是f'(x)=5ax2(x2-1) (1)当a>0时，x变化时，yy'的变化情况如下表： (-∞，-1) -1 (-1,0) 0 (0,1》 (1,+ + 0 0 0 极大值 无极值 极小值 「4=f-1)=-a+b+c, 由表可知： l0=f1)=a-b+c. 又5a=3b,解之得：a=3,b=5,c=2. (2)当a<0时，同理可得a=-3,b=-5,c=2. 综上，a=3,b=5,c=2或a=-3,b=-5,c=2. 对点调练4：当0=1时，)=f”( =-2 e 由f'(x)=0,得x=2.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况 如下表： 0 (-∞，2)） 2 (2,+0) f'(x) 0 f(x) 极小值 个 所以函数)的极小值为2)=一之 函数f(x)无极大值 (2)F'(x)=f'(x）=ae'-(ar-a)e=-a(x-22 e e ①当a<0时，F(x),f'(x)的变化情况如下表： x (-0,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 × F(x) 极小值 习 若使函数F()没有零点，当且仅当F2)=台+1>0， 解得a>-e2,所以此时-e2<a<0; ②当a>0时，F(x),f'(x)的变化情况如下表： (-0,2)） 2 (2,+0) f'(x) 0 F(x) 极大值 当x>2时，F(x)=a(x=山+1>1， 当x<2时，令F()=x-+1<0, er 即a(x-1)+e<0, 由于a(x-1)+e<a(x-l)+e2, 令a(r-l)+e2≤0，得x≤1- a 即≤1-时，F()<0,所以(x)总存在零点 综上所述，所求实数a的取值范围是(-e2,0). 例5：f'(x)=3x2+12mx+4n, 依题意有(-2)=0， f-2)=0, 即12-24m+4n=0, 1-8+24m-8n+8m2=0, 解得}或安 n=9. 当m=1,n=3时，f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0， 所以f代x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当m=2,n=9时，f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+ 6),当-6<x<-2时f'(x)<0,当x>-2时f'(x)>0, 故f(x)在x=-2处取得极值，符合题意。 综上所述，m=2,n=9,所以m+4n=38. 课堂检测固双基 1.A由图像可知，满足f'(x)=0且导函数函数值左负右正的 只有一个，故f代x)在(a,b)内的极小值点只有一个. 2.B①y=x3在R上单调递增，无极值； ②y=x2+1在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 增，故②正确； ③y=xI在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， -18 故③正确： ④y=2在R上单调递增，故④不正确.∴.选B. 3.C f(x)=cos x+aln x,..f'(x)=-sinx+a 1 x)在x=石处取得极值…f"(石)=-2+=0， 6 解得：a=,经检验符合题意，放选C 4.③时'（的图像可见在(-”，-多）和(24)上()< 0)单调减，在(-号，2和(4，+0)上()>0)单 调增，.只有③正确 5.)的定义域为(0，+x)'()=ae- 由题设知f'(2)=0,所以a=20 1 从面)=2这e-h-1f'()点c-士 当0<x<2时f'(x)<0;当x>2时，f'(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为 (2,+∞). 第2课时函数最值的求法 必备知识探新知 知识点1.某个极值点区间端点a或b极值点2.极 值最大的一个最小的一个 关键能力攻重难 例1：(1)Cy=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令y'=0解 得x=写或x=1 当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2; 当=写时y-号：当=1时.y=2,所以函数的最小值为 -1,选C. (2)①f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时，f'(x)>0,当-1<x<1时f'(x)<0. 所以f代x)的单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，递减 区间为(-1,1). ②由①知x∈[-√5,3]时，f(x)的极大值为f(-1)=2, f(x)的极小值为f1)=-2,又f(-3)=0f代3)=18. 所以f代x)的最大值为18f(x)的最小值为-2. 对点训练1：(1)A函数f(x)=x-3x2-9x+6的导数为 f'(x)=3x2-6x-9, 令f'(x)=0得x=-1或x=3 由f(-4)=-70:f-1)=11; f3)=-21:f(4)=-14: 所以函数y=x3-3x2-9x+6在区间[-4,4]上的最大值为 11. (2)Dfx)=cosx+(x+1)sinx+1,x∈[0,2π]， f(x)=-sin x+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cos x, 令msx=0得x=号或受 当x∈[0，）时，f(x)>0,f(x)单调递增；当xe (受，)时f()<0x)单调递减；当xe(,2m]时，f(x) >0,f孔x)单调递增，