6.1.1 函数的平均变化率 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

6.1.1　函数的平均变化率 [课时跟踪检测] 1.函数y=f（x），自变量x由x0改变到x0+kΔx（k为常数）时，函数的改变量Δy为 （　　） A.f（x0+kΔx） B.f（x0）+kΔx C.f（x0）·kΔx D.f（x0+kΔx）-f（x0） 解析：选D　由变化率的关系，Δy=f（x0+kΔx）-f（x0）.故选D. 2.[多选]下列函数在区间[1，1.3]上的平均变化率是正数的有 （　　） A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= 解析：选ABC　对于A，=1>0，故A正确；对于B，=2.3>0，故B正确；对于C，=3.99>0，故C正确；对于D，≈-0.77<0，故D错误.故选ABC. 3.设函数f（t）=2t2+t，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是 （　　） A.5.25 B.10.5 C.5.5 D.11 解析：选B　∵f（t）=2t2+t， ∴ ==10.5.故选B. 4.一根金属棒的质量y（单位：kg）关于长度x（单位：m）的函数关系式为f（x）=3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均密度是 （　　） A. kg/m B. kg/m C. kg/m D. kg/m 解析：选B　从4 m到9 m这一段金属棒的平均密度是==（kg/m）. 5.[多选]已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间[1，7]上的平均变化率情况是 （　　） A.在区间[1，2]上的平均变化率最小 B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D.在区间[4，7]上的平均变化率最大 解析：选BC　函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f（x）在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大. 6.设函数f（x）=2x+1在区间[-3，-1]上的平均变化率为a，在区间[0，5]上的平均变化率为b，则下列结论正确的是 （　　） A.a>b B.a<b C.a=b D.不确定 解析：选C　因为f（x）=2x+1，所以f（-3）=-5，f（-1）=-1，f（0）=1，f（5）=11，所以函数f（x）=2x+1在区间[-3，-1]上的平均变化率a===2，在区间[0，5]上的平均变化率b===2，所以a=b. 7.已知二次函数f（x）=x2和指数函数g（x）=ax（a>0，a≠1）在区间[2，4]上的平均变化率相同，则a= （　　） A. B.2 C.2或 D.不能确定 解析：选B　二次函数f（x）=x2在区间[2，4]上的平均变化率为==6，指数函数g（x）=ax（a>0，a≠1）在区间[2，4]上的平均变化率==，因为两个函数在区间[2，4]上的平均变化率相同，所以=6，又a>0，且a≠1，解得a=2. 8.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 （　　） A.[5，10] B.[5，15] C.[5，20] D.[5，35] 解析：选C　如图令t=5，t=10，t=15，t=20，t=35所对应的点分别为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快. 9.（5分）某地某天上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为　　　℃/min.  解析：从上午9：20到下午1：30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9-23.4=-7.5 ℃（即气温下降7.5 ℃），所以在这段时间内气温的平均变化率为=-0.03（℃/min）. 答案：-0.03 10.（5分）已知曲线y=x2-1上两点A（3，2），B（3+Δx，2+Δy），当Δx=1时，割线AB的斜率是　　　　.  解析：∵y=f（x）=x2-1，Δx=1，∴kAB====7. 答案：7 11.（5分）给半径为R的热气球加热，使其体积增大，若半径从R=1到R=m时的体积膨胀率为，则m=　　　　.  解析：因为V=R3，所以=（m2+m+1）=.所以m2+m-=0，解得m=（负值舍去）. 答案： 12.（10分）已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t=0.3时，x=0.38；t=0.6时，x=5.06. （1）求这个物体在时间段[0.3，0.6]内的平均速度；（3分） （2）估计出t=0.5时物体的位移.（7分） 解：（1）所求的平均速度为=15.6（m/s）. （2）将x在[0.3，0.6]上的图象看成直线，又直线过点（0.3，0.38），斜率为15.6，则x与t的关系可近似表示为x-0.38=15.6（t-0.3），令t=0.5，得x=3.5， 故可估计t=0.5时物体的位移为3.5 m. 13.（10分）已知正弦函数y=sin x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义. 解：当自变量从0变到时，函数的平均变化率为 k1===. 当自变量从变到时，函数的平均变化率为 k2===. 易知3>6（2-），∴k1>k2， 即函数y=sin x在内的平均变化率大于在内的平均变化率， 说明函数y=sin x的图象在内比较陡峭，在内比较平缓. 学科网（北京）股份有限公司 $