5.4 数列的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.4　数列的应用 [课时跟踪检测] 1.按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后支取可获得利息为 （　　） A.（5×0.04）3万元 B.5（1+0.04）3万元 C.3×（5×0.04）万元 D.[5（1+0.04）3-5]万元 解析：选D　3年后的本利和为5×（1+0.04）3万元，利息为[5×（1+0.04）3-5]万元. 2.我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an= （　　） A.2 192 B.3 912-8n C.3 920-8n D.3 928-8n 解析：选D　由题意可知，每月还本金为2 000元， 则an=2 000+[480 000-（n-1）×2 000]×0.4%=3 928-8n. 3.某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠x%，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少?（x取整数，参考数据：1.029≈1.19，1.0210≈1.2，1.0211≈1.24） （　　） A.15% B.16% C.17% D.18% 解析：选B　由题意知，50（1-x%）（1+2%）9≤5（1.029+1.028+…+1.02+1）， 整理得1-x%≤≈≈0.840 3.所以x%≥15.97%.所以一次付款的优惠率应不低于16%. 4.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n（n∈N+）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于 （　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析：选D　设该设备第n年的运营费用为an万元， 则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n. 所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn=n2+n. 设第n年的盈利总额为Sn， 则Sn=11n-（n2+n）-9=-n2+10n-9. 故年平均盈利额为10-. 因为n+≥2=6， 当且仅当n=3时，等号成立. 故当n=3时，年平均盈利额取得最大值4. 5.[多选]市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数） （　　） A.选择方式①，若第一个还款月应还4 900元，最后一个还款月应还2 510元，则小张该笔贷款的总利息为289 200元 B.选择方式②，小张每月还款额为3 800元 C.选择方式②，小张总利息为333 840元 D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 解析：选ACD　由题意可知，等额本金贷款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1=4 900，a240=2 510， 所以S240==120×（4 900+2 510）=889 200， 故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200（元），故A正确. 设小张选择等额本息贷款方式时，每月还款额为x元， 则x+x（1+0.004）+x（1+0.004）2+…+x（1+0.004）239=600 000×（1+0.004）240， 所以x×=600 000×1.004240， 即x= ≈≈3 891，故B错误. 小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840-600 000=333 840（元），故C正确. 因为333 840>289 200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确. 6.[多选]某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…，cn，…，其中n∈N+，则下列结论正确的是 （　　） （参考数据：1.25≈2.488 3，1.26≈2.986 0，1.27≈3.583 2，1.210≈6.191 7） A.c2=540 B.cn+1与cn的递推公式为cn+1=1.2cn-60 C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1 000 D.令S10=c1+c2+c3+…+c10，则S10≈8 192 解析：选ABD　由题意得c1=500，并且cn+1=1.2cn-60，故B正确； c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540，故A正确； 设cn+1-x=1.2（cn-x），则cn+1=1.2cn-0.2x， ∴0.2x=60，则x=300. ∴cn+1-300=1.2（cn-300），即数列{cn-300}是首项为c1-300=200，公比为1.2的等比数列，则cn-300=200×1.2n-1，∴cn=300+200×1.2n-1. 令cn=300+200×1.2n-1>1 000，则1.2n-1>3.5. ∵1.26≈2.986 0，1.27≈3.583 2，∴n-1≥7，则n≥8. 故2029年年初存栏数首次突破1 000，故C错误； S10=c1+c2+c3+…+c10=300×10+200×=3 000+1 000×（1.210-1） ≈3 000+1 000×（6.191 7-1）≈8 192，故D正确. 7.（5分）某公司第1年年初向银行贷款1 000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第n年年初该项目总收益为　　　　万元，到第　　　　年的年初，可以一次性还清贷款.  解析：由题知，到第n年年初， 借贷总额为1 000（1+10%）n=1 000×1.1n， 总收益为300+300×1.1+…+300×1.1n-2=3 000×（1.1n-1-1）. 当n=5时，1 000×1.1n=1 610.51>300+300×1.1+…+300×1.1n-1=1 392.3， 当n=6时，1 000×1.1n=1 771.561<300+300×1.1+…+300×1.1n-1=1 831.53. 故第n年年初该项目总收益为3 000×（1.1n-1-1）， 到第6年的年初，可以一次性还清贷款. 答案：3 000×（1.1n-1-1）　6 8.（10分）在一次人才招聘会上，甲、乙两家公司开出的工资标准分别是： 甲公司：第一年月工资1 500元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元； 乙公司：第一年月工资2 000元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%. 设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作. （1）若此人分别在甲公司或乙公司连续工作n年，则他在两公司第n年的月工资分别为多少?（4分） （2）若此人在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多?（1.0510≈1.628 9，结果精确到1元）（6分） 解：（1）在甲公司连续工作第n年的月工资是1 500+230（n-1）=230n+1 270， 在乙公司连续工作第n年的月工资是2 000×（1+5%）n-1=2 000×1.05n-1. （2）在甲公司连续工作10年，得到的工资之和为 12×=304 200； 在乙公司连续工作10年，得到的工资之和为12×=480 000（1.0510-1）≈301 872<304 200. 所以从甲公司得到的报酬较多. 9.（10分）所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S=A（1+r）n，其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为A=. 现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案， 方案一：一次性付全款25万元； 方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完； （1）已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好?（4分） （2）若小明把房子租出去，第一年年初收取租金2万元，此后每年初涨租金1 000元，参照第（1）问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）（6分） 参考数据：（1+2.5%）10≈1.28. 解：（1）法一：（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值为25（1+2.5%）10≈32.00（万元）. 若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为S=3（1+2.5%）10+3（1+2.5%）9+…+3（1+2.5%）≈34.44（万元）.因此，付全款较好. 法二：（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为 Q=3+++…+⇒1.02510Q=3×1.025× ⇒Q≈≈26.91（万元），比一次付款25万元多，故一次性付全款的方案较好. （2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元， 则T=2（1+2.5%）10+2.1（1+2.5%）9+…+2.9（1+2.5%）.记1+2.5%=q，an=-0.1n+3，则T=a1q+a2q2+…+a10q10，qT=a1q2+a2q3+…+a9q10+a10q11，作差可得（1-q）T=2.9q-0.1（q2+q3+…+q10）-2q11⇒（1-q）T=3q-0.1（q+q2+q3+…+q10）-2q11⇒T=3·-0.1·-2·≈27.88（万元）. 10.（10分）在国家一系列利好政策的支持下，我国新能源汽车产业发展迅速.某汽车企业计划大力发展新能源汽车，2021年全年生产新能源汽车1万辆，之后每年新能源汽车的产量都在前一年的基础上增加50%.记2021年为第一年，其产量为a1=1万辆，该汽车企业第n年生产的新能源汽车为an万辆. （1）求a5的值；（4分） （2）若从第k年开始计算，连续3年该汽车企业生产的新能源汽车的总产量不低于19万辆，求k的最小值.（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（6分） 解：（1）由题意得an+1=（1+50%）an=an，所以数列{an}是以a1=1为首项，为公比的等比数列，则an=.所以a5==. （2）由题意ak+ak+1+ak+2≥19，即++≥19，即为·≥19，则≥4，即lg≥lg 22.所以（k-1）·（lg 3-lg 2）≥2lg 2.因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以0.18（k-1）≥2×0.30，解得k≥.又因k∈N+，所以k的最小值为5. 11.（15分）甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为an万元. （1）求a1，a2，并写出an+1与an的关系式；（5分） （2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元?（10分） （年数取整数，参考数据：1.55≈7.59，1.56≈11.39） 解：（1）由题意得，投入生产的启动资金共有50×4=200万元. 所以a1=200（1+50%）-60=200×-60=240，a2=a1（1+50%）-60=a1-60=300， an+1=an（1+50%）-60=an-60. （2）由（1）知an=an-1-60=-60=an-2-×60-60 =an-3-×60-×60-60=…=a1-×60-×60-…×60-×60-60=240×-60=120×+120. 而a1=240也满足该式，故an=120×+120. 令120×+120≥1 200，所以≥9. 因为1.55≈7.59，1.56≈11.39，n-1≥6，即n≥7. 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元. 学科网（北京）股份有限公司 $