5.4 数列的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

11.2550【解析】a2-a=1+COSnT,a4+a=2,.当 n=2k-1(k∈N)时，有ak+1-ax-=1+cos[(2k-1)T]=0; 当n=2k(keN)时，有a2-=l+cos(2kT)=2,∴.数列 {a-}是每项均为a,的常数列，数列{a}是首项为a、 公差为2的等差数列。 设数列{a}的前n项和为Sm,则So=50a+50m2+ 50x49x2=50(a+)+50x49=100+2450=2550. 2 12.2-4-2n【解析】a,=2+2+2+…+2-2-2-2 1-2 2,S=(224242++2)-(2+2+2+…+2)=2-2 1-2-2n=22 4-2n. 13.(1)证明：由am1=3a+2n-1, 得a+(n+1)=3(a+n), 且a+1=2≠0，.数列{a.+n是首项为2、公比为3 的等比数列. (2)解：由(1)，知数列{a+n}是首项为2、公比 为3的等比数列： .a,+n=2x3-，即a,=2x3-1-n. .数列{a}的前n项和为 S=2×(1+3+32+…+3-1)-(1+2+3+…+n》 -=2x1-3-（1+nn3-1-（1nm 1-3 2 2 14.解：(1)由题意，知3a=2S+1, 则3(a1-an)=2an1,整理，得a+1=3a, 又a=1≠0 .{a是首项为1、公比为3的等比数列，则a=3 (2)由b=n3-,则T=1x3+2x3+3x32+…+n3-, .3T=1×3x2x32+3×33+…+(n-1)3-+n3", -27=39431+3+3++331-30 13n3, =+2m43 4 提升练习 15.B【解析】·z=1+2i+3i+…+2020P09+2021i2om, .iz=i+2P+3i3+…+2020i2@0+2021i21,，相减，得(1-1)z= 1+if++m-202P-1--202Ii=1-2021i, 1-i 参考答案。 z=1-2021i=1-20211+i=1+-2021i-2021E= 1-i (1-i)(1+i) 2 1011-1010i,虚部为-1010.故选B. 16.D【解析】等差数列{a}中，a=5,公差大于 0,设公差为d,a4+1是a2+1与a+3的等比中项，. (a4+1)2=(a2+1)(a+3),.∴.(a+1+d)2=(a+1-d)(a+3+4d), .(6+d)2=(6-d)(8+4d),解得d=2或d=-6(舍 去)，a.=a+(n-3)d=5+2(n-3)=2n-1,b.=1 d,Ane1 22D号点2人设载列6侧的前200 项和为5品心宁×}}}}40940T】 11 =2020.故选D. 40411 一m5.4数列的应用 效果评价 1.C【解析】由题意，知该电子元件在不同温度下 的电子数目为等比数列，且a=3,公比g=2.由26-(-34) =60,60=10,得a1=3x20=3072.故选C. 6 2.B【解析】由题意，在等差数列{a}中，n=16, a+a=40,则S-16(g,ta）-8(as+a)=8x40-320.故选B. 3.B【解析】去年产值是a万元，第一年要比去年 产值增加10%，那么第一年就是a+10%a,即a(1+0.1), 第二年又比第一年增加10%，∴.第二年是a(1+0.1)(1+ 0.1),依此类推，第五年是a(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+ 0.1)(1+0.1)=1.15a(万元).故选B. 4.A【解析】一年后，可取款a(1+x)元；二年后， 可取款a(1+x)2元；三年后，可取款a(1+x)元；四年 后，可取款a(1+x)4元；五年后，可取款a(1+x)卢元.故 选A. 5.B【解析】根据题意，某县2024年12月末人口 总数为57万，从2025年元月1日起，人口总数每月按 相同数目增加，则每月月末该县的总人口为等差数列. 设这个数列为{a},且a=57,设其公差为d(单位为 万)，又由到2025年12月末为止人口总数为57.24万， 57 高中数学选择性必修第三册人教B版 则有a=57,a=57.24,则有d-3-0.02,2025年10 月末的人口总数为a=a+10d=57.2(万).故选B. 6.C【解析】哈雷彗星回到近日点的年份为a,=1606+ 76n,奥伯斯彗星回到近日点的年份为b,=1606+70n,则 a.与b.公共项构成以1606为首项，70与76的最小公 倍数为公差的等差数列，又70与76的最小公倍数为 2660,则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份 为c=1606+2660n.令n=1,则c=4266.故选C. 7.千【解析】等腰直角三角形ABC中，斜边BC 2V2,AB=AC==2,AA=0=V2,…,则AA。== ag2x2 8.7解折】142+2+2++2-≥10.号≥10， .2"≥101，∴n≥7，即至少需7s细菌将病毒全部杀死. 9.4【解析】设衣服上的污垢数量为α，洗涤次数为 ,通过题意，可知存留的污垢)是以}a为首项、子 为公比的等比数列，=子a,则(4广a≤1%户 n≥1og100=log210→n≥4，.至少要清洗4次才能使存 留的污垢不超过1%. 10.解：a=10(1+0.35%)=10.035, a2=10(1+0.35%)2≈10.070. a=10(1+0.35%)3≈10.105， a=10(1+0.35%) 11.解：(1)设生物体内“℃含量最初为a4, 则5730年后的含量为24， 则agm74,解得g=分壶， 设x年后测得生物体内“℃含量为y, 则=a分)病。 (2)由题意，得a2)疯=1%a,即(3)南=1%， 两边取对数得5730lg2-2。 放忌573038069， 58 故该古人猿颅骨已存在了大约38069年」 12.5.3【解析】设每年存人x万元，则2025年初存 入的钱到2031年底本利和为x(1+2%)7,2026年初存入 的钱到2031年底本利和为x(1+2%),…,2031年初存 入的钱到2031年底本利和为x(1+2%),则x(1+2%)+ x(1+2%)+…+x(1+2%)7=40,即1.02x1-022)=40,解 1-1.02 得x≈5.3. 提升练习 13.C【解析】由题意，按复利计算，设王先生每个 月还款a元，则王先生第一次还款a元后，还欠本金及 利息为10000(1+1.5%)-a元；第二次还款a元后，还欠 本金及利息为10000(1+1.5%)2-a(1+1.5%)-a;第三次还 款a元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%)3-a(1+ 1.5%)2-a(1+1.5%)-a,依次类推，直到第十二次还款后， 全部还清，即10000(1+1.5%)P-a(1+1.5%)-a(1+1.5%)0- -a(1+1.5%)-0-0,即10000(1+15%)2=a·1-.015 1-1.015, 解得a≈900，故x=12×900=10800(元).按照单利算利 息，12月后，所结利息共10000×0.01525×12=1830 (元)，故y=10000+1830=11830(元)， .y-x=11830-10800=1030(元.故选C. 14.2×7【解析】设n个月后共有am只老鼠，且雌 雄各半，n+1个月后的老鼠只数满足a=4,+12×受 (neN),.a=7a(neN).又a=l4≠0，.aul=7, a .数列{a}是以14为首项、7为公比的等比数列，n 个月后老鼠的只数a=14x7-=2×7. >m5.5数学归纳法 效果评价 1.C【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故o= 3.故选C 2.C【解析】当n=1时，左边=1+a+a+=1+a+a2.故 选C 3.B【解析】第二步假设当n=2h-1(k∈N)时成 立，再推出当n=2(k+1)-1=2k+1时成立.故选B.N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.4数 效果评价 1.通过测量知道，温度每降低6℃，某 电子元件的电子数目就减少一半.已知在零 下34℃时，该电子元件的电子数目为3个， 则在室温26℃时，该元件的电子数目接近 A.860个 B.1730个 C.3072个 D.3900个 2.在金秋的苹果节上，某商家将参展的 苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是 一个等差数列.已知第8层和第9层共有苹 果40个，则此商家参展的苹果共有() A.300个 B.320个 C.340个 D.360个 3.某工厂去年总产值为a万元，计划今 后5年内每一年比上一年增长10%，这5年 的最后一年该厂的总产值是() A.1.14a万元 B.1.15a万元 C.1.1a万元 D.(1+1.15)a万元 4.某人2025年元旦存入一年期存款a 元，若按年利率为x计算（不计利息税）， 则到2030年元旦可取款（) A.a(1+x)5元 B.a(1+x)6元 C.a(1+x)4元D.a(1+x)元 5.某县2024年12月末人口总数为57 万，假如从2025年元月1日起，人口总数 每月按相同数目增加，到2025年12月末为 止人口总数为57.24万，则2025年10月末 的人口总数为() (22)练 列的应用 A.57.1万 B.57.2万 C.57.22万 D.57.23万 6.哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的 短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年， 曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕 太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到 近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年 回到近日点的年份为() A.3916年 B.4190年 C.4266年 D.4570年 7.如图，在 等腰直角三角形 ABC中，斜边BC =2V2.过点A作 BC的垂线，垂 第7题图 足为A1;过点A1作AC的垂线，垂足为A2: 过点A2作AC的垂线，垂足为A3;…;以 此类推，设BA=a1,AA1=2,AA2=,…, AA6a7,则a= 8.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在 每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2 个，现在有一个这样的细菌和100个这样 的病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要 S. 9.假设每次用相同体积的清水漂洗一件 衣服，且每次能洗去污垢的子，那么至少要 清洗 次才能使存留的污垢不超过 1%. 10.假设某银行的活期存款年利率为 0.35%.某人存10万元后，既不加进存款也 不取款，每年到期利息连同本金自动转存， 如果不考虑利息税及利率的变化，用am表示 第n年到期时的存款余额，求a1,a2,a3及ar 第五章数列。 11.(1)在自然界，死亡生物体中的14℃ 有持续稳定的衰变现象.已知4℃的半衰期 为5730年，设14℃的衰变率为g,试建立一 个用4℃确定生物体死亡时间的模型， (2)考古学家发现一个古人猿的颅骨， 测得该颅骨仅残留原4℃含量的1%，那么该 古人猿的颅骨已存在了大约多少年？ 练（23 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 12.某家庭打算为子女储备“教育基 金”，计划从2025年开始，每年年初存入一 笔专用存款，使这笔款到2031年底连本带 息共有40万元收益.如果每年的存款数额相 同，依年利息2%并按复利计算（复利是一 种计算利息的方法，即把前一期的利息和本 金加在一起算作本金，再计算下一期的利 息)，则每年应该存入约 万元.（参 考数据：1.027≈1.149,1.028≈1.172) 提升练习 13.复利是指一笔资金产生利息外，在 下一个计息周期内，以前各计息周期内产生 的利息也计算利息的计息方法；单利是指一 笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周 期内产生的利息在下一个计息周期内不计算 利息的计息方法.王先生1月初在某银行贷 款10000元，约定月利率为1.5%，按复利 (24)练 计算，从1月开始每月月底等额本息还款， 共还款12次，直到12月底还清贷款，把还 款总额记为x元.如果前11个月因故不还贷 款，到12月底一次还清，则每月按照贷款 金额的1.525%，并且按照单利计算利息， 这样的还款总额记为y元.则y-x的值为 (）(参考数据：1.0152≈1.2)》 A.0 B.1200 C.1030 D.900 14.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》 和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部 古典数学著作，其中记载一个问题的大意 为：假设每对老鼠每月生子一次，每月生 12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠 生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后， 每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只. 以此类推，假设n个月后共有老鼠a,只，则 an=