5.1.2 数列中的递推 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 [课时跟踪检测] 1.已知数列{an}满足a1=2，an=1+（n≥2），则a3= （　　） A. B. C. D. 解析：选C　因为a1=2，所以a2=1+=，a3=1+=1+=.故选C. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n2，则a5= （　　） A.16 B.18 C.20 D.25 解析：选B　依题意，a5=S5-S4=2×52-2×42=18.故选B. 3.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=则a6= （　　） A.1 B.5 C.7 D.9 解析：选A　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=则a6=S6-S5=（5×6-4）-52=1.故选A. 4.已知数列{an}中，a1=1，=，则数列{an}的通项公式是 （　　） A.an=2n B.an= C.an= D.an= 解析：选C　法一　由已知可知，a1=1，a2=，a3=，a4=，…，∴an=. 法二　an=··…···a1=·1=. 5.在数列{an}中，若a1=2，an=1-（n≥2），则a2 025= （　　） A.-1 B. C.2 D.1 解析：选A　由题意得a1=2，a2=1-=1-=，a3=1-=1-2=-1，a4=1-=1+1=2，…，故{an}为周期数列，周期为3，故a2 025=a675×3=a3=-1.故选A. 6.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=，则a10= （　　） A. B. C. D. 解析：选B　∵an+1=，则==+n，∴-=1，-=2，…，-=9，以上各式相加可得，-=1+2+3+…+9=45，∴a10=.故选B. 7.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 （　　） A.37升 B.21升 C.26升 D.32升 解析：选A　由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an}，则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5，即an+1=2an-5，∵a1=6×2-5=7，∴a2=2a1-5=2×7-5=9，a3=2a2-5=2×9-5=13，a4=2a3-5=2×13-5=21，a5=2a4-5=2×21-5=37.故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A. 8.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=k∈N+，则a1a2=　　　　.  解析：由题意知，当n为奇数时，an=2n；当n为偶数时，an=2n+1，所以a1a2=（2×1）×（2×2+1）=10. 答案：10 9.（5分）数列{an}的前n项和Sn=nan，a1=1，则an=　　　.  解析：当n≥2时，有Sn=nan，Sn-1=（n-1）an-1，两式作差可得，Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1，整理可得an=an-1.又a1=1，所以an=1. 答案：1 10.（5分）在数列{an}中，a1=，an=n（an+1-an）（n∈N+），则a2 024=　　　　.  解析：因为an=n（an+1-an）（n∈N+），所以（n+1）an=nan+1，所以=，所以是常数列，又==，所以a2 024=2 025. 答案：2 025 11.（5分）若数列{an}对任意正整数n，满足a1a2·…·an=n2，则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析：当n=1时，a1=1；当n≥2时，由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=（n-1）2，两式作商可得an=，又a1=12不符合上式，所以an= 答案： 12.（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-1，Sn-an=0（n≥2，n∈N+），则a6=　　　.  解析：因为a1=-1，Sn-an=0（n≥2，n∈N+），所以当n=2时，S2-a2=0，即a1+a2-a2=a1+a2=-1+a2=0，所以a2=2，当n≥3时，Sn-1-an-1=0，由可得an=-an-1，所以a6=-a5=a4=-a3=a2=2. 答案：2 13.（10分）已知数列{an}的前n项和Sn=-（n∈N+），求数列{an}的通项公式. 解：因为Sn=-（n∈N+）， 当n=1时，a1=S1=-=4， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-===4n，因为a1=4也满足an=4n.综上，an=4n（n∈N+）. 14.（10分）数列{an}满足a1=1，an+1+2anan+1-an=0. （1）写出数列的前5项；（5分） （2）由（1）写出数列{an}的一个通项公式；（2分） （3）实数是否为这个数列中的一项?若是，应为第几项?（3分） 解：（1）由已知可得a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=. （2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…， 所以它的一个通项公式为an=. （3）令=，解得n=50， 故是这个数列的第50项. 15.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n+3. （1）求数列{an}的通项公式an；（6分） （2）若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的最大项.（9分） 解：（1）Sn=2n+3中，令n=1得a1=2+3=5， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1，其中21-1=1≠5， 故an= （2）当n=1时，b1==， 当n≥2时，bn=>0， 则=·==， 当n=2时，=>1， 当n≥3时，+1≤≤×<1， 故<1，故n≥2时，{bn}的最大项为b3=， 又b3>b1， 故数列{bn}的最大项为b3=. 学科网（北京）股份有限公司 $