5.1.1 第2课时 数列的通项公式与函数性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.1.1 第2课时 数列的通项公式与函数性质 [课时跟踪检测] 1.已知数列an=，则该数列是 （　　） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 解析：选C　数列an=，则a2n-1=-<0，a2n=>0，因此a2n>a2n-1，a2n>a2n+1，数列{an}是摆动数列. 2.数列1，，…的通项公式可能是 （　　） A.an= B.an= C.an= D.an= 解析：选A　当n=2时，对于B中a2==≠；当n=3时，对于C中a3==≠，对于D中a3==≠.四个选项中只有an=同时满足a1=1，a2=，a3=.故选A. 3.已知数列{an}满足an=（n∈N+），且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 （　　） A. B. C.（2，3） D.（1，3） 解析：选C　由题意解得2<a<3. 4.数列1，-，-，…的一个通项公式an= （　　） A. B. C.（-1）n D.（-1）n+1 解析：选D　通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，故第n项的正负可以用（-1）n+1表示.而1=，-=-=，-=-=，…，故数列的通项可为an=（-1）n+1. 5.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn（n∈N+），∀k∈N+，当n>k时，an>ak成立，则实数λ的取值范围是 （　　） A.[1，+∞） B.（-∞，1] C. D. 解析：选C　由∀k∈N+，当n>k时，an>ak成立，即数列{an}递增，则对于任意的n∈N+，都有an+1>an.已知an=n2-2λn （n∈N+），则有（n+1）2-2λ（n+1）>n2-2λn恒成立，即λ<n+对于任意的n∈N+都成立，因为当n=1时，=，所以λ<. 6.已知数列{an}满足an=（k∈R），则“数列{an}是递增数列”的充要条件是 （　　） A.k<0 B.k<1 C.k>0 D.k>1 解析：选B　因为an=（k∈R），所以an+1-an=-=. 由an+1-an=>0，得到k<1，所以“数列{an}是递增数列”的充要条件是k<1. 7.对于数列{an}，若存在正整数k（k≥2），使得ak<ak-1，ak<ak+1，则称{an}是“谷值数列”，k是数列{an}的“谷值点”.现有数列{an}，其通项an=，则该数列所有“谷值点”之和为 （　　） A.3 B.9 C.10 D.12 解析：选B　由题意可知，a1=0，a2==，a3==4， a4==，a5==，a6==，a7==，a8==，a9==0，函数y=x+-10，在[10，+∞）上单调递增，且x=10时，y=>0，且a9<a10，所以从10开始，不会是“谷值点”，只有a9<a8，a9<a10，所以数列an只有1个“谷值点”，谷值点为9. 8.对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列{xn}满足x1=1，且对于任意n∈N+，点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+…+x2 024= （　　） A.7 569 B.7 576 C.7 584 D.7 590 解析：选D　由题意，数列{xn}满足x1=1，且点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上， 可得x2=f（x1）=f（1）=3，x3=f（x2）=f（3）=5，x4=f（x3）=f（5）=6，x5=f（x4）=f（6）=1，…则数列{xn}是周期为4的周期数列， 即数列{xn}满足x4k-3=1，x4k-2=3，x4k-1=5，x4k=6，k∈N+，则x1+x2+…+x2 024=506×（1+3+5+6）=7 590. 9.（5分）已知数列2a+1，a-2，3a-2为递减数列，则a的取值范围是　　　　　.  解析：由题意可知2a+1>a-2>3a-2，解得-3<a<0. 答案：（-3，0） 10.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}的最大项是第　　　　项.  解析：an==，当n>5且n∈N+时，an>0，且数列递减；当n≤5且n∈N+时，an<0，且数列递减.故当n=6时，an最大. 答案：6 11.（5分）数列，…的一个通项公式为　 　　.  解析：数列可写为，…， 分子满足：3=1+2，4=2+2，5=3+2，6=4+2，…， 分母满足：5=3×1+2，8=3×2+2，11=3×3+2，14=3×4+2，…， 故通项公式为an=. 答案：an= 12.（5分）欧拉函数φ（n）（n∈N+）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）=2，φ（4）=2，则φ（8）=　　　　；若bn=，则bn的最大值为　　　　.  解析：由题设φ（2）=1，则1~8中与8互质的数有1，3，5，7，共4个数，故φ（8）=4.在1~2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n-1个，即φ（2n）=2n-1，所以bn==，则bn+1-bn=-=，当n≤2时bn+1-bn>0，当n≥3时bn+1-bn<0，即b1<b2<b3>b4>b5>…，所以bn的最大值为b3==. 答案：4　 13.（10分）写出下列各数列的一个通项公式： （1）4，6，8，10，…；（2分） （2），…；（2分） （3）-1，，-，…；（3分） （4）0.8，0.88，0.888，….（3分） 解：（1）易知该数列由从4开始的偶数构成，所以该数列的一个通项公式为an=2n+2，n∈N+. （2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成21，22，23，24，25，…，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N+. （3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择（-1）n调整符号.又第1项可改写成分数-，所以每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成2n+1的形式.分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…，可写成n（n+2）的形式.所以该数列的一个通项公式为an=（-1）n·，n∈N+. （4）将数列变形为（1-0.1），（1-0.01），（1-0.001），…，故该数列的一个通项公式为an=，n∈N+. 14.（10分）已知数列{an}的通项公式为an=（n∈N，n≥1）. （1）依次写出数列{an}的前5项；（5分） （2）研究数列{an}的单调性，并求数列{an}的最大项和最小项.（5分） 解：（1）由题意，得a1==，a2==，a3==，a4==，a5==. （2）an===1+， 当n≤49时，an>0且{an}递增；当n≥50时，an≤0且{an}递增； ∴（an）max=a49=2；（an）min=a50=0. 15.（15分）已知在数列{an}中，an=1+（n∈N+，a∈R且a≠0）. （1） 若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；（7分） （2）若对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围.（8分） 解：（1）法一　∵a=-7，∴an=1+. 结合函数f（x）=1+的单调性， 可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1（n∈N+）， ∴数列{an}中的最大项为a5=2，最小项为a4=0. 法二　∵a=-7，∴an=1+. 设数列中的最大项为an，则 （n≥2且n∈N+），即 解得<n<. 又n≥2且n∈N+，∴n=5，即数列{an}中的最大项为a5=2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4=0. （2）an=1+=1+. ∵对任意的n∈N+，都有an≤a6成立， ∴结合函数f（x）=1+的单调性， 知5<<6，∴-10<a<-8. 故实数a的取值范围为（-10，-8）. 学科网（北京）股份有限公司 $