5.2.1 第2课时 等差数列的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.2.1 第2课时 等差数列的性质 [课时跟踪检测] 1.在递增的等差数列{an}中，a3+a6=-6，a4a5=8，公差d等于 （　　） A.4 B.2 C.-2 D.2或-2 解析：选B　因为在递增的等差数列{an}中，a3+a6=a4+a5=-6，a4a5=8，所以a4=-4，a5=-2，则公差d=a5-a4=2. 2.在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7-a8的值为 （　　） A.4 B.6 C.8 D.10 解析：选C　∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80，∴a6=16，∴a7-a8=（2a7-a8）=（a6+a8-a8）=a6=8. 3.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为 （　　） A.0 B.37 C.100 D.-37 解析：选C　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则（+）-（an+bn）=（-an）+（-bn）=d1+d2，所以数列{an+bn}仍然是等差数列.又d1+d2=（a2+b2）-（a1+b1）=100-（25+75）=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 （　　） A.1升 B.升 C.升 D.升 解析：选B　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得即解得所以a5=a1+4d=. 5.[多选]已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5=2，则下列结论正确的是 （　　） A.公差d的取值范围是 B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 D.a1+a9=4 解析：选BCD　由题意得d>0，a1>0，a5=2，所以a1=2-4d>0，解得d<，所以d∈，故A错误；由2a7-a9=（a5+a9）-a9=a5=2，故B正确；由a8+a4-（a6+a5）=a8-a6-（a5-a4）=2d-d=d>0，故a8+a4>a6+a5，故C正确；由等差数列性质，得a1+a9=2a5=4，故D正确. 6.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为 （　　） A.4尺 B.8.5尺 C.12.5尺 D.15.5尺 解析：选D　记十二节气日影长构成的等差数列为{an}，设其公差为d，因为冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，所以即即则8d=a12-a4=-8，所以d=-1，因此a1=a12-11d=4.5+11=15.5尺. 7.已知公差不为0的等差数列{an}满足am+ap=2a4（n，m，p∈N+），则+的最小值为 （　　） A. B.1 C. D.2 解析：选B　由题可知，m+p=8，则m+1+p=9，所以+=1，所以·=++≥+2=1，当且仅当=，即m=2，p=6时等号成立，所以+的最小值为1. 8.若方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|= （　　） A.1 B. C. D. 解析：选C　设方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=x3+x4=2，x1·x2=m，x3·x4=n，又因为方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，设x1=，所以x2=，设等差数列的公差为d，则3d=x2-x1=-=，解得d=，则等差数列为，所以m=，n=，则|m-n|==，故选C. 9.（5分）已知等差数列{an}满足a5+a2n-5=n（n∈N，n≥3），则a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1=　　　　.  解析：因为数列{an}是等差数列，故a5+a2n-5=n=2an，解得an=；令Tn=a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1，则Tn=a2n-1+a2n-3+a2n-5+…+a3+a1，故2Tn=（a1+a2n-1）+（a3+a2n-3）+…+（a2n-1+a1）=n×2an=n2，解得Tn=. 答案： 10.（5分）一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是　　　　.  解析：设这个正实数的小数部分是x（0≤x<1），整数部分是y（y∈N+），自身是x+y，则2y=2x+x+y，所以y=3x，由于0≤x<1，y∈N+，当y=1时，x=，x+y=；当y=2时，x=，x+y=；当y≥3时，x=≥1，不符合题意.综上所述，这个正实数是或. 答案：或 11.（5分）在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是　　　　.  * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 解析：记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=， 由第3列得a33=2×103-2x，所以2x+y=113.　① 由第1列得a21=3y， 则由第2行得a23=2×74-3y， 由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x，所以2×74-3y=3×103-4x， 即4x-3y=161，　② 由①②，得x=50，y=13， 所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142. 答案：142 12.（10分）若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列.若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项. （1）求和1的调和中项；（5分） （2）已知调和数列{an}，a1=6，a4=2，求{an}的通项公式.（5分） 解：（1）设和1的调和中项为b，依题意得3，，1成等差数列，所以==2，解得b=， 故和1的调和中项为. （2）依题意，是等差数列，设其公差为d， 则3d=-⇒d=，所以=+（n-1）d=+（n-1）=，故an=. 13.（10分）已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24. （1）求a20的值；（4分） （2）若bn=an-，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.（6分） 解：（1）因为a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，所以a3=6，a4=8，则公差d=2， 所以a20=a3+17d=40. （2）由（1）得an=a3+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n，所以bn=×2n-=3n-. 由bn>0，即3n->0，得n>， 所以数列{bn}从第7项开始大于0. 14.（15分）有一批小家电原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电，则去哪一家商场购买花费较少? 解：设某单位需购买小家电n台. 在甲商场购买时，所买小家电的售价构成等差数列{an}，an=780+（n-1）×（-20）=-20n+800， 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800-20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用（800-20n）n-600n=20n（10-n）. 当n<10时，（800-20n）n>600n，到乙商场购买花费较少； 当n=10时，（800-20n）n=600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10<n≤18时，（800-20n）n<600n，到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买小家电台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买小家电10台时，到两家商场购买花费相同；当购买小家电台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 学科网（北京）股份有限公司 $