第十九章二次根式学情评测卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章�二次根式 学情评测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．二次根式有意义时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 5．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．估计的值应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 9．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题 11．计算：______． 12．计算_______________ ． 13．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 14．已知，，则_____． 15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为___________． 三、解答题 16．化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 17．计算：． 18．计算：． 19．墨迹“□”挡住了二次根式运算“计算：□．”的一部分． (1)若“□”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算：． 解：原式：……………………………………………………………第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 …………………………………………………………………………第三步 ………………………………………………………………………………………………第四步 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______． (2)若“□”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 20．已知，，求的值． 21．已知，求的值． 22．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 23．已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章�二次根式 学情评测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足两个要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含可能开得尽方的因数或因式，逐个判断即可． 【详解】解：对于A，是最简二次根式，符合题意； 对于B，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故不符题意； 对于C，，包含可开得尽方的因数，不符题意； 对于D，是完全平方数，可以开方，故不符题意． 2．二次根式有意义时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得不等式，解不等式可求x的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则，A错误； B、表示4的算术平方根，结果为非负数，则，B错误； C、，则，C正确； D、，D错误． 4．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 5．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 6．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 7．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 8．估计的值应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先化简二次根式得到原式的最简形式，再估算无理数的大小，即可确定原式的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原式， ∵，，可得， ∴ 不等式同乘3得， 不等式同减4得， ∴ . 即原式的值在0和1之间． 9．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用和二次根式，利用平方差公式将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 10．已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再去掉绝对值符号，整理式子后即可得到所求结果． 【详解】∵二次根式有意义， ∴，即． ∴， ∴． ， 移项得， 两边同时平方得， 移项得． 二、填空题 11．计算：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式去括号，然后计算减法即可得到答案． 【详解】解：． 12．计算_______________ ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，运用二次根式的乘法法则运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 13．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与_____________（填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”． 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，完全平方公式，对“平衡数”的定义的理解，读懂题意，理解“平衡数”的定义是解题关键． 计算，根据是否符合“平衡数”的定义即可判断． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 其中为整数，故与是关于的一组“平衡数”． 故答案为：是． 14．已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和二次根式的混合运算．先将分解因式，然后将，代入求值即可． 【详解】解：∵， 将，代入得： 原式 ． 故答案为：． 15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式性质，无理数的估算，先计算半周长，再代入海伦-秦九韶公式求面积S，然后估算S的整数部分，最后求小数部分即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ∵，即， ∴S的整数部分为， 小数部分为． 故答案为：． 三、解答题 16．化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17．计算：． 【答案】 【分析】先分别化简二次根式，再计算乘除法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】3 【分析】按照二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．墨迹“□”挡住了二次根式运算“计算：□．”的一部分． (1)若“□”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算：． 解：原式：……………………………………………………………第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 …………………………………………………………………………第三步 ………………………………………………………………………………………………第四步 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______． (2)若“□”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 【答案】(1)二， (2) 【分析】（1）第二步去括号，出现错误，根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第二步，去括号出现错误； ； （2）解： ． 20．已知，，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及完全平方公式等知识．根据已知条件，先求得，，然后将整理为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 21．已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，解不等式组求得的值，将的值代回等式求得的值，继而可得、的正负，最后化简二次根式，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得，， ， ， ，． 故原式 ． 当时，原式． 22．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)；；； (2)16 (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ； （3）解： ． 23．已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)，； (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)， (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，二次根式的应用，完全平方公式的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）类比于题例求解，即可解题； （2）设这个矩形花园的长为米，则宽为米，进而得到所用的篱笆长度为米，结合题干例题方法求解，即可解题； （3）由得到，结合题干例题得到当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4，然后得到的最小值，进而推出的最大值，即可解题； （4）根据题意分情况讨论，当时，当，时，当，时，分别求出m的最大最小值，即可解题． 【详解】（1）解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）解：设这个矩形花园的长为米，则宽为米， 所用的篱笆长度为米， 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 这个矩形花园的长为米，宽为米，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是米； 答：这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4， ⸫代数式，当时，取得最小值为2， ⸫当时，代数式取到最大值，最大值为； （4）解：当时，代数式的值为，即， 当时， ， 当时，， ⸫当时，m的最大值为， 当时， ， ⸫当时，m的最小值为， 综上所述，m范围为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $