4.2.2 离散型随机变量的分布列 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.2　离散型随机变量的分布列 [课时跟踪检测] 1.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)= (　　) A.0.2　　　　　　　B.0.8 C.1　　　　　　　　D.0 解析:选B　由Y=-2,且Y=3X-2,得X=0,所以P(Y=-2)=0.8. 2.某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示,则P(ξ≥9)= (　　) ξ 8 9 10 P 0.36 a 0.33 A.0.69　　　　　　　　B.0.67 C.0.66　　　　　　　　D.0.64 解析:选D　P(ξ≥9)=1-P(ξ=8)=1-0.36=0.64,故选D. 3.设X是一个离散型随机变量,则下列不能作为X分布列的一组概率取值的数据是 (　　) A.,B.0.1,0.2,0.3,0.4 C.p,1-p(0<p<1)　　　　　　　　 D.,,…, 解析:选D　根据分布列的性质可知,所有的概率之和等于1,且0≤pk≤1,k=1,2,…,n.因为+=1,满足0≤pk≤1,所以A能成为X分布列的一组概率取值的数据;因为0.1+0.2+0.3+0.4=1,且满足0≤pk≤1,所以B能成为X分布列的一组概率取值的数据;因为p+1-p=1,且满足0≤pk≤1,所以C能成为X分布列的一组概率取值的数据;因为++…+=1-=,所以D不能成为X分布列的一组概率取值的数据. 4.设随机变量X的分布列P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则P(X≥4)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选A　由题意得P(X=k)===,∵P(X=k)=1,∴×==1,解得m=.∴P(X≥4)=×=. 5.一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3个球,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为 (　　) A. ξ 1 2 3 P B. ξ 1 2 3 4 P C. ξ 1 2 3 P D. ξ 1 2 3 P 解析:选C　随机变量ξ的可能取值为1,2,3. P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, P(ξ=3)==,故选C. 6.一袋中装有4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个不放回,取出后记下颜色,若为红色则停止抽取,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则P(X≤2)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选A　令X=k表示前k个球为白球,则第(k+1)个球为红球,此时P(X=0)==, P(X=1)=×=,P(X=2)=××=,则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. 7.两对孪生兄弟共4人随机排成一排,设随机变量ξ表示孪生兄弟相邻的对数,则 (　　) A.P(ξ=0)>P(ξ=1) B.P(ξ=0)=P(ξ=1) C.P(ξ=0)<P(ξ=1) D.P(ξ=1)>P(ξ=2) 解析:选B　4人排成一排共有=24种不同的排法,ξ的所有可能取值为0,1,2,所以P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=2). 8.(5分)若随机变量X服从两点分布,P(X=0)=2a,P(X=1)=3a,则a=　　　　.  解析:因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=3a,所以2a+3a=1,解得a=. 答案: 9.(5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示: X 0 1 2 P 0.36 1-2q q 则常数q的值为　　　　.  解析:由已知得0.36+1-2q+q=1,解得q=0.36. 答案:0.36 10.(5分)随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c满足a+c=2b,则P(|X|=1)=　　　　.  解析:因为a+c=2b,所以a+b+c=3b=1,b=,a+c=,所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=. 答案: 11.(5分)设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n), pi=1,定义M(X)= pipn+1-i.若p1pn=,则当n=3时,M(X)的最大值为　　　　.  解析:由题意知,当n=3时,M(X)= pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+=+[1-(p1+p3)]2.∵p1>0,p3>0,p1p3=,∴p1+p3≥2=,当且仅当p1=p3=时,等号成立.∴≤p1+p3<1,0<1-(p1+p3)≤,∴M(X)≤+=,即M(X)的最大值为. 答案: 12.(10分)已知离散型随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (1)求3X+2的分布列;(4分) (2)求|X-1|的分布列;(3分) (3)求X2的分布列.(3分) 解:(1)由题意,知3X+2=-4,-1,2,5,8, 则3X+2的分布列为 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)由题意,知|X-1|=0,1,2,3, 则|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 (3)由题意,知X2=0,1,4, 则X2的分布列为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 13.(10分)从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球,规定每取出1个黑球记2分,而取出1个白球记-1分,取出黄球记零分. (1)以X表示所得分数,求X的分布列;(7分) (2)求得分X>0的概率.(3分) 解:(1)依题意,当取到2个白球时,随机变量X=-2; 当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1; 当取到2个黄球时,随机变量X=0; 当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1; 当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2; 当取到2个黑球时,随机变量X=4, 所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4, 则P(X=-2)==,P(X=-1)==,P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=4)==, 所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P (2)由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=, 所以得分X>0的概率为. 14.(15分)小明参加一个抽纸牌游戏,规则如下:有九张质地完全相同的纸牌,其中有1张大王牌,其余四种花色为红桃、黑桃、方块、梅花,各2张.逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌,每次抽牌后,都往牌堆中加入一张新的大王牌. (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率.(7分) (2)抽牌过程中,若抽到大王牌,则宣告游戏结束:若累计抽到两张花色相同的纸牌,也宣告游戏结束;否则游戏继续.用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数,求X的分布列.(8分) 解:(1)设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则P(A)=×+×=, P(AB)=××+××+××+××=.所以小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率为P(B|A)== . (2)X的所有可能取值为1,2,3,4,5,则P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,P(X=4)=×××=,P(X=5)=×××=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 学科网（北京）股份有限公司 $