4.2.2 离散型随机变量的分布列 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) 解析：选D.本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξ＝i)≥0，i＝1，2，…，n，(ξ＝i)＝1.A中，ξ的取值出现了重复；B中，P(ξ＝0)＝－<0； C中，＋＋＝＞1.经检验，D项符合题意． 2．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中2b＝a＋c，则P(|ξ|＝1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为2b＝a＋c，且a＋b＋c＝1，解得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝a＋c＝2b＝.故选D. 3．(2024·贵州遵义阶段练习)随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 解析：选D.因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，所以P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.2＝0.8，由Y＝3X－2，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.故选D. 4．设随机变量ξ的取值范围为{1，2，…，n}，若P(ξ<4)＝0.3，则n＝(　　) A．3 B．4 C．10 D．20 解析：选C.因为随机变量ξ的取值范围为{1，2，3，…，n}，所以P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，…，n)，因为0.3＝P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝，解得n＝10.故选C. 5．抛掷2枚均匀的骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).抛掷2枚均匀的骰子，按所得的点数之和共含36个样本点，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2). 故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝. 6．(2024·山东德州高二校考阶段练习)若随机变量X的分布列为(　　) X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当P(X＜a)＝0.7时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 解析：选C.由随机变量X的分布列知，P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.4，P(X＜2)＝0.7，则当P(X＜a)＝0.7时，实数a的取值范围是(1，2].故选C. 7．(2024·山东潍坊高二统考期末)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a＝________． 解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝a＋2a2＝1，解得a＝或a＝－1，由于a＞0，所以a＝. 答案： 8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab. X 0 2 3 P a b c 则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得2b＝a＋c，c＝ab，a＋b＋c＝1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a＝，b＝，c＝，故这名运动员得3分的概率是. 答案： 9．已知X服从参数为0.3的两点分布，则P(X＝0)＝________；若Y＝3X－2，则P(Y＝1)＝________． 解析：由题意，得P(X＝1)＝0.3，所以P(X＝0)＝1－0.3＝0.7.当X＝1时，Y＝3×1－2＝1，所以P(Y＝1)＝P(X＝1)＝0.3. 答案：0.7　0.3 10．某商场为了促销，规定顾客购买商品满500元即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，，，如果第一次抽中后选择继续抽奖的概率为，第二次抽中后选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量X，求X的分布列． 解：(1)记小李第i次抽中为事件Ai(i＝1，2，3)，则有P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且A1，A2，A3两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件A， 则P(A)＝P(A12)＋P(A1A23)＝××＋××××(1－)＝. (2)由题意可知X的取值范围为{0，10，40，90}， P(X＝0)＝P(A)＋(1－)＝， P(X＝10)＝×(1－)＝， P(X＝40)＝×××(1－)＝， P(X＝90)＝××××＝， 所以X的分布列为 X 0 10 40 90 P 11.(多选)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是(　　) A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝ C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝ 解析：选ABC.由题设，ξ的取值范围为{0，1，}，若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝＝，若两条棱平行，两条棱之间的距离为1或，而距离为的共有6对，所以P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，ξ的分布列如下： ξ 0 1 P 故选ABC. 12．已知病毒A在某溶液中的存活个数(k)的概率满足P(X＝k)＝e－3(k＝0，1，2，…)，已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为________． 解析：根据题意，P(X＝k)＝e－3(k＝0，1，2，…)，则P(X＝0)＝e－3＝，若该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率．P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－. 答案：1－ 13．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P a b 则a＋b的值为______；p＋q的值为__________． 解析：由分布列的性质有＋a＋b＋＝1，解得a＋b＝＝，由P(ξ＝0)＝，P(ξ＝3)＝可知， 解得所以p＋q＝＋＝1. 答案：　1 14．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值范围为{0，1}．P(X＝1)＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为 X 0 1 P 15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|，则P(|ξ－1|＝1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴左侧，所以－＜0，即a，b同号且均不为零，c可取{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的任意值，所以共有3×3×7×2＝126种不同的情况．因为ξ＝|a－b|，所以ξ的取值范围是{0，1，2}，其中ξ＝0的可能情况为a＝b且a，b∈{－3，－2，－1，1，2，3}，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以P(ξ＝0)＝＝，ξ＝1的可能情况为(a，b)∈{(－3，－2)，(－2，－3)，(－2，－1)，(－1，－2)，(3，2)，(2，3)，(2，1)，(1，2)}且c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以P(ξ＝1)＝＝，ξ＝2的可能情况为(a，b)∈{(－3，－1)，(－1，－3)，(3，1)，(1，3)}且c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3} ，所以P(ξ＝2)＝＝，所以P(|ξ－1|＝1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝＋＝.故选A. 16．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和－p，其中0＜p＜. (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P1＝×＝；乙在初赛的两轮中均获胜的概率为P2＝×＝；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3＝p·(－p)＝－p2＋p，因为所以＜p＜，所以P3＝－(p－)2＋＜，所以甲进入决赛可能性最大． (2)P＝P1×P2×P3＝××(－p2＋p)＝，整理得18p2－27p＋10＝0， 解得p＝或p＝，又因为＜p＜，所以p＝，所以丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3＝×(－)＝，进入决赛的人数ξ的取值范围为{0，1，2，3}，P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝，故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $