4.3.2 独立性检验-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“独立性检验”核心知识点，以2×2列联表的统计意义为起点，逐步延伸至随机变量χ²的定义、独立性检验的基本思想与方法，最终通过实际案例展示其应用，构建“概念理解—方法掌握—实践应用”的完整学习支架。 该资料采用“逐点理清式”设计，通过“多维理解”抽象概念本质培养数学眼光，“微点练明”结合选择、解答题强化推理能力发展数学思维，典例与针对训练引导用数据和模型表达现实问题提升数学语言。课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾方法、查漏补缺。

4.3.2　独立性检验 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例理解2×2列联表的统计意义. 2.了解随机变量χ2的意义,通过对典型案例分析,了解独立性检验的基本思想和方法. 逐点清(一)　2×2列联表 [多维理解] 　　如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式: A 总计 B a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 在这个表格中,核心的数据是中间的4个格子,所以这样的表格通常称为2×2列联表. [微点练明] 1.下面是一个2×2列联表,其中a,b处填的值分别为 (　　) y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 A.52,54　　 B.54,52 C.94,146　　　 D.146,94 解析:选A　由题意可得解得所以a,b的值分别为52,54. 2.在2×2列联表中,两个变量有关系的可能性越大相差越大的两个比值为 (　　) A.与　　 B.与 C.与　　　 D.与 解析:选A　以表格为例,变量B与变量A相关性越强,则两个频率与相差越大. B 总计 A a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 3.为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象,分别对病人组和对照组的尿液做尿棕色素定性检查,结果如下表: 组别 阳、阴性情况 总计 阳性数B1 阴性数B2 铅中毒病人组A1 29 7 36 对照组A2 9 28 37 总计 38 35 73 问铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别?是否存在关联? 解:法一　由上述列联表可知,在铅中毒病人组中尿棕色素呈阳性的约占80.56%,而对照组中尿棕色素呈阳性的约占24.32%,说明它们之间有较大差别. 法二　假设A1,B1独立,则P(A1B1)=P(A1)P(B1). 因为P(A1B1)=≈39.73%,P(A1)P(B1)=×≈25.67%,很显然两者不相等,且相差较大, 所以铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有差别,存在关联. 逐点清(二)　独立性检验 [多维理解] 1.2×2列联表中随机事件的概率 A 总计 B a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 如上表,记n=a+b+c+d,则 (1)事件A发生的概率可估计为P(A)=; (2)事件B发生的概率可估计为P(B)=; (3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)=. 2.独立性检验 在2×2列联表中,定义随机变量 χ2=,任意给定一个α(称为显著性水平,通常取为0.05,0.01等),可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数). (1)若χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过α的前提下,可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有1-α的把握认为A与B有关; (2)若χ2<k成立,就说没有1-α的把握认为A与B有关. 这一过程通常称为独立性检验. 3.统计学中,常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示. α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [微点练明] 1.下列关于χ2的说法正确的是 (　　) A.χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B.χ2的值越大,两个事件相关的可能性就越大 C.χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量,当χ2的值很小时可以判定两个变量不相关 D.χ2= 解析:选B　χ2只适用于2×2列联表问题,且χ2只能推断两个变量相关,但不能判断两个变量不相关,故A、C错误.D中公式错误,分子上少了平方. 2.在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法正确的是 (　　) A.100个吸烟者中至少有99人患肺癌 B.1个人吸烟,那么这个人有99%的概率患肺癌 C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析:选D　独立性检验的结论是一个数学统计量,它与实际问题中的确定性是存在差异的,A、B、C错误. 3.(2025·全国Ⅰ卷)调查1 000人是否患某疾病与超声波检测结果的2×2列联表如下: 检测结果是否患病 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)若检测结果不正常者患病的概率为p,求p的估计值; (2)能否根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验认为样本数据中超声波检测结果与患该疾病有关? 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解:(1)根据表格可知,检查结果不正常的200人中有180人患病,所以p的估计值为=. (2)零假设为H0:超声波检查结果与患病无关. 根据表中数据可得χ2==765.625>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与患该病有关,该推断犯错误的概率不大于0.001. 逐点清(三)　独立性检验的应用 [典例]　某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验,其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练).在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示: 60分 以下 61~ 70分 71~ 80分 81~ 90分 91~ 100分 甲班(人数) 3 11 6 12 18 乙班(人数) 7 8 10 10 15 现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀. (1)试估计两个班级的优秀率; (2)由以上统计数据填写2×2列联表,根据以上数据,能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助? 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 乙班 总计 解:(1)由题意知,甲、乙两班均有学生50人, 甲班优秀人数为30人,优秀率为=60%, 乙班优秀人数为25人,优秀率为=50%, 所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)填写2×2列联表如下: 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 总计 55 45 100 因为χ2=≈1.010<3.841,所以没有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助. 　　|思|维|建|模| 这类问题的解决方法为先确定a,b,c,d,n的值,并求出χ2的值,再与临界值相比较,作出判断.解题时注意正确运用公式,代入数据准确计算. 　　[针对训练] 某校高三年级在一次全年级的大型考试中,数学成绩优秀和非优秀的学生中,物理、化学、总成绩优秀的人数如下表所示,能否认为数学成绩优秀与物理、化学、总成绩优秀有关系? 物理优秀 化学优秀 总分优秀 数学优秀 228 225 267 数学非优秀 143 156 99 注:该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人,非优秀的有880人. 解:列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下: 数学学科 物理学科 总计 物理优秀 物理非优秀 数学优秀 228 132 360 数学非优秀 143 737 880 总计 371 869 1 240 将表中数据代入独立性检验公式,得 =≈270.1>6.635. 列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下: 数学学科 化学学科 总计 化学优秀 化学非优秀 数学优秀 225 135 360 数学非优秀 156 724 880 总计 381 859 1 240 将表中数据代入独立性检验公式,得 =≈240.6>6.635. 列出数学成绩与总成绩的2×2列联表如下: 数学学科 总分情况 总计 总分优秀 总分非优秀 数学优秀 267 93 360 数学非优秀 99 781 880 总计 366 874 1 240 将表中数据代入独立性检验公式,得 =≈486.1>6.635. 所以有99%的把握认为数学成绩优秀与物理、化学、总成绩优秀都有关系. 学科网（北京）股份有限公司 $