4.3.2 独立性检验-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“独立性检验”，核心涵盖2×2列联表的统计意义、随机变量χ²的意义及独立性检验方法。通过铅中毒病人尿棕色素检查等实例导入，先解析列联表结构与数据关系，再过渡到χ²公式推导及检验步骤，构建从具体实例到抽象方法的学习支架。 其亮点在于采用“逐点理清式”教学，结合“多维理解+微点练明+典例分析”，以吸烟与肺癌、数学与语文成绩关联等案例，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维推理逻辑关系、用数学语言表达数据结论的核心素养。丰富的课时跟踪检测助力学生巩固，教师可直接依托系统流程提升教学效率。

4.3.2 独立性检验 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.通过实例理解2×2列联表的统计意义. 2.了解随机变量χ2的意义，通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　2×2列联表 逐点清(二) 独立性检验 逐点清(三) 独立性检验的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 2×2列联表 01 多维理解 如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式： 在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表.   A 总计 B a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 微点练明 1.下面是一个2×2列联表，其中a，b处填的值分别为 (　　) A.52，54　　 B.54，52 C.94，146　　 D.146，94   y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 √ 解析：由题意可得解得所以a，b的值分别为52，54. 2.在2×2列联表中，两个变量有关系的可能性越大相差越大的两个比值为 (　　) A.与　　 B.与 C.与　　　 D.与 √ 解析：以表格为例，变量B与变量A相关性越强，则两个频率与相差越大.   B 总计 A a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 3.为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液做尿棕色素定性检查，结果如下表： 问铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别?是否存在关联? 组别 阳、阴性情况 总计 阳性数B1 阴性数B2 铅中毒病人组A1 29 7 36 对照组A2 9 28 37 总计 38 35 73 解：法一　由上述列联表可知，在铅中毒病人组中尿棕色素呈阳性的约占80.56%，而对照组中尿棕色素呈阳性的约占24.32%，说明它们之间有较大差别. 法二　假设A1，B1独立，则P(A1B1)=P(A1)P(B1). 因为P(A1B1)=≈39.73%，P(A1)P(B1)=×≈25.67%，很显然两者不相等，且相差较大， 所以铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有差别，存在关联. 逐点清(二) 独立性检验 02 多维理解 1.2×2列联表中随机事件的概率 如上表，记n=a+b+c+d，则 (1)事件A发生的概率可估计为P(A)=______； (2)事件B发生的概率可估计为P(B)=______； (3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)=___.   A 总计 B a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 2.独立性检验 在2×2列联表中，定义随机变量 χ2=，任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数). (1)若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率_________的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有____的把握认为A与B有关； 不超过α 1-α (2)若χ2<k成立，就说没有1-α的把握认为A与B有关. 这一过程通常称为独立性检验. 3.统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示. α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 微点练明 1.下列关于χ2的说法正确的是 (　　) A.χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B.χ2的值越大，两个事件相关的可能性就越大 C.χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量，当χ2的值很小时可以判定两个变量不相关 D.χ2= √ 解析：χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推断两个变量相关，但不能判断两个变量不相关，故A、C错误.D中公式错误，分子上少了平方. 2.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法正确的是 (　　) A.100个吸烟者中至少有99人患肺癌 B.1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌 C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 √ 解析：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的，A、B、C错误. 3.(2025·全国Ⅰ卷)调查1 000人是否患某疾病与超声波检测结果的2×2列联表如下： (1)若检测结果不正常者患病的概率为p，求p的估计值； 检测结果是否患病 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1 000 解：根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以p的估计值为=. (2)能否根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验认为样本数据中超声波检测结果与患该疾病有关? 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：零假设为H0：超声波检查结果与患病无关. 根据表中数据可得χ2==765.625>10.828=x0.001， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不大于0.001.   逐点清(三) 独立性检验的应用 03 [典例]　某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练).在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示： 现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.   60分以下 61~70分 71~80分 81~90分 91~100分 甲班(人数) 3 11 6 12 18 乙班(人数) 7 8 10 10 15 (1)试估计两个班级的优秀率； 解：由题意知，甲、乙两班均有学生50人， 甲班优秀人数为30人，优秀率为=60%， 乙班优秀人数为25人，优秀率为=50%， 所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)由以上统计数据填写2×2列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助?   优秀人数 非优秀人数 总计 甲班       乙班       总计       解：填写2×2列联表如下： 因为χ2=≈1.010<3.841，所以没有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助.   优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 总计 55 45 100 |思|维|建|模| 这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值，并求出χ2的值，再与临界值相比较，作出判断.解题时注意正确运用公式，代入数据准确计算. 针对训练 某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总成绩优秀的人数如下表所示，能否认为数学成绩优秀与物理、化学、总成绩优秀有关系? 注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人.   物理优秀 化学优秀 总分优秀 数学优秀 228 225 267 数学非优秀 143 156 99 解：列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下： 将表中数据代入独立性检验公式，得 =≈270.1>6.635. 数学学科 物理学科 总计 物理优秀 物理非优秀 数学优秀 228 132 360 数学非优秀 143 737 880 总计 371 869 1 240 列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下： 将表中数据代入独立性检验公式，得 =≈240.6>6.635. 数学学科 化学学科 总计 化学优秀 化学非优秀 数学优秀 225 135 360 数学非优秀 156 724 880 总计 381 859 1 240 列出数学成绩与总成绩的2×2列联表如下： 将表中数据代入独立性检验公式，得 =≈486.1>6.635. 所以有99%的把握认为数学成绩优秀与物理、化学、总成绩优秀都有关系. 数学学科 总分情况 总计 总分优秀 总分非优秀 数学优秀 267 93 360 数学非优秀 99 781 880 总计 366 874 1 240 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 2 1.如果有95%的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据 (　　) A.χ2>3.841　　 B.χ2<3.841 C.χ2>6.635　　　 D.χ2<6.635 解析：χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度.当χ2>6.635时，有99%的把握判断A与B有关系；当χ2>3.841时，有95%的把握判断A与B有关系；当χ2>2.706时，有90%的把握判断A与B有关系；当χ2≤2.706时，就没有充分的证据判断A与B有关系. √ 1 5 6 7 8 2 3 4 2.假设有两个变量X与Y，它们的可能取值分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表为 则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱 (　　) A.8 B.9 C.14 D.19 解析：由10×26=18m，解得m≈14.4，所以当m=14时，X与Y的关系最弱. X Y Y1 Y2 X1 10 18 X2 m 26 √ 1 5 6 7 8 3 4 2 3.为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用2×2列联表进行检验.经计算得χ2=3.526，参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过 (　　) A.10%　　 B.5% C.1%　　　 D.0.1% 解析：因为χ2=3.526，结合表格可知χ2=3.526>2.706，所以认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过10%. α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 √ 1 5 6 7 8 3 4 2 4.现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解赞成“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表： 附：   赞成“自助游” 不赞成“自助游” 总计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 总计 75 25 100 α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 5 6 7 8 3 4 2 参照公式，得到的正确结论是 (　　) A.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关” B.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关” C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与 性别无关” D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与 性别有关” √ 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由2×2列联表中的数据得χ2=≈3.030，∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”. 1 5 6 7 8 3 4 2 5.[多选]某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生喜欢攀岩的占80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则 (　　) A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C.若参与调查的男、女生人数均为100，则依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联 D.无论参与调查的男、女生人数为多少，都可以依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联 √ √ 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由题意设参加调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表： 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错误.   喜欢攀岩 不喜欢攀岩 总计 男生 0.8m 0.2m m 女生 0.3m 0.7m m 总计 1.1m 0.9m 2m 1 5 6 7 8 3 4 2 由列联表中的数据，计算得到χ2==，χ2的值与调查的男、女生人数有关系，当m=100时，χ2==≈50.505>6.635，所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据独立性检验，我们有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关联，故C正确，D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 3 4 2 6.(5分)若两个变量X与Y的2×2列联表为 则有______的把握认为“X与Y之间有关系”. 附：χ2=，其中n=a+b+c+d.   Y 总计 X 10 15 25 40 16 56 总计 50 31 81 P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 99% 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由列联表数据，可求得χ2=≈7.227>6.635， 所以有99%的把握认为“X与Y之间有关系”. 1 5 6 7 8 3 4 2 7.(10分)某学校随机调查了1 000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： (1)判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联?(5分) 附：χ2=，其中n=a+b+c+d.当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联. 数学成绩 语文成绩 总计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 总计 600 400 1 000 1 5 6 7 8 3 4 2 解：根据列联表中的数据，得χ2==≈27.8. 因为27.8>6.635，所以有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联. 1 5 6 7 8 3 4 2 (2)按数学成绩是否优秀用分层抽样的方法从1 000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率.(5分) 解：由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为×5=3，不优秀的学生人数为5-3=2， 则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为=. 1 5 6 7 8 3 4 2 8.(15分)石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.   A材料 B材料 总计 实验成功       实验失败       总计       1 5 6 7 8 3 4 2 (1)由等高堆积条形图提供的信息，填写2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关；(5分) 解： 由表得χ2==≈0.476<2.706， 所以没有90%的把握认为试验的结果与材料有关.   A材料 B材料 总计 实验成功 4 3 7 实验失败 1 2 3 总计 5 5 10 1 5 6 7 8 3 4 2 (2)以实验结果成功的频率作为概率，用A材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望.(10分) 解：设产品制作成功件数为X，由题意可知成功的概率为，且X服从二项分布， 即X~B，则X的可能取值为0，1，2，∴P(X=0)=××=，P(X=1)=××=，P(X=2)=××=，∴X的分布列为 ∴E(X)=0×+1×+2×=. X 0 1 2 P 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $