4.3.2 独立性检验-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

1 12 10 6 42 01234x 根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y= 上，令t=,则y=,原数据变为： 3 1 0.50.25 y 16 12 52 由置换后的数值表作散点如图所示： 6 品 8 6 2· 01 2347 由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系.列表 如下： tiyi 4 16 64 16 256 2 2 12 24 4 144 3 1 5 1 25 4 0.5 2 1 0.25 4 50.25 1 0.250.0625 ∑7.753694.2521.3125 430 所以t=1.55,y=7.2 ∑ty:-5ty 所以6= ≈4.1344.a=y-bt≈0.8. -5 所以y=4.1344t+0.8. 所以y与x的回归方程是=4.1344+0.8， 课堂检测固双基 1.A观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某 一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相 关，1rl值相比于其他3图更接近1.故选A. 2D因为x=0+1+2+3=1.5,=1+3+5+7=4,所以▣归 4 4 直线必过点(1.5,4) 3.C 4.D 5.69.96用回归方程对身高为178cm的人的体重进行预测 当x=178时，y=0.72×178-58.2=69.96(kg). 4.3.2独立性检验 必备知识探新知 n(ad-bc)2 知识点一(2)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a+b+c+d -17 知识点二(1)显著性水平分位数a1- 思考：不对，若X<k成立，则说明有1-α的把握认为事件 A与B无关 关键能力攻重难 例1：(1)由调查数据知，男顾客对该商场服务满意的概率 的估计值为0.8：女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 -06 (2)X=-100×40x20-:30x10Y≈4.762 50×50×70×30 由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该 商场服务的评价有差异 对点训练1：(1)根据题目所给数据得到如下2×2的列 联表： 使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计 A型 30 70 100 B型 50 50 100 总计 80 120 200 所以X=200×(50×70-30×50)2 ≈8.333 100×100×80×120 查表可得P(x≥6.635)=0.01 由于8.333>6.635， 所以有99%的把握认为出租车的使用寿命与汽车车型 有关 (2)记事件A为“小李选择A型车，3年内（含3年）不换 车”，事件B为“小李选择B型车，3年内（含3年）不换车”，所以 P(A)=45+25=0.7,P(B)=40+10=0.5,因为P(A)>P(B), 100 100 所以小李应选择A型车 例2：(1)列联表补充如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球合计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 (2)由X=28×20×32×16 48×(220-60)2 ≈4.286. 因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关 (3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2. 其概率分别为 P(X=0)= Ci09 38, P(X=1)= CioCio10 C -199 P(X=2)=C=9 ΓC3 -38 故X的分布列为 0 1 2 9 10 9 38 19 38 X的均值为E(X)=0+ 10.9 19+19=1 0 对点训练2：(1)根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得K=150×(26×30-24×70)2-75 =4.6875, 50×100×96×54 16 因为3.841<4.6875<6.635 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在 差异 (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的 优级品的颜率为总-064， 用频率估计概率可得p=0.64 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, 则p+1.65。 D-05+1.6、5a5=0.5+ n 150 1.65×0.5 12247≈0.568， 可知p>p+1.65 e(1-p) 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优 级品率提高了. 例3X=90x10×38:7x35)2=0.653, 17×73×45×45 0.653<3.841 所以没有充分证据认为成绩与班级有关 课堂检测固双基 1.C根据独立性检验的思想方法，正确选项为C. 2.B由a+35=45,得a=10.由a+7=m,得m=17.由m+73 =3,得8=90.由45+n=s,得n=45. 3.CX越大，“事件A,B有关”的可信度越大，“事件A,B无 关”的可信度越小X越小，“事件A,B有关”的可信度越小， “事件A,B无关”的可信度越大. 4.A易知当x≥6.635时，有99%的把握认为事件A和B有 关.故选A 5.0.01因为7.353>6.635，所以这种判断出错的最大可能性 为0.01. 章末知识梳理 核心知识归纳 思考1：不是.这是对全概率公式的形式主义的认识，完全 把它作为一个“公式”来理解是不对的.其实，我们没有必要去 背这个公式，根据B=B2=BA1+BA2+…+BA.,应着眼于A1, A2,…,A的结构.事实上，对于具体问题，若能设出n个事件A =1,2,m),使之清足A+,+A。=（任意两个事 1A,4=0 件互斥，i,J=1,2,…,n,i≠j).（1)就可得B=B2=BA1+BA2+ …+BA·(2)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式. 因此，能否使用全概率公式，关键在于(2)，而要有(2)，关 键又在于适当地对2进行一个分割，即有(1). 思考2：①两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二 项分布. ②超几何分布与二项分布之间的关系：n次试验中，X为事 件A出现的次数，当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项 分布；当这n次试验是不放回摸球，事件A为摸到某种特性（如 某种颜色)的球时，X服从超几何分布.但是当袋子中的球的数 目N很大时，超几何分布近似于二项分布，并且随着N的增加 -17 这种近似的精确度也增加： ③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时 的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看 成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样， 取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同 的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何 分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样 思考3：散点图可以形象直观地展示两个变量的关系，通过 散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否 能直接用线性回归模型来拟合原始数据。 要点专项突破 例1：13 解法一：记“至少出现2枚正面朝上”为事件A, “恰好出现3枚正面朝上”为事件B,所求概率为P(B1A),事件A 包含的基本事件的个数为n(A)=C:+C+C:+C=26 事件B包含的基本事件的个数为n(B)=C=10, .P(BIA)=n(AB)=n(B)10 5 n(A)n(A)26=13 解法二：事件A,B同上，则P(A)=G兮+CG+C+C_26 25 32 A8=)-号-品 所以P(B1A)=PAB=P(B-5 P(A)P(A)=3 例2：(1)P(2张都没有中奖)= C6_15=1 即该顾客2张都没中奖的概率为了 (2)X的所有可能值为0,10,20,50,60 且PX0e9-Px=0:Gg C=子，P(x=20)= C 5P(X=50) CiC2P(X=60)=1 C C。 -151 故X的分布列为 X 10 20 50 60 1 2 1 1 15 15 从而期望E(X)=0x分+10×号+20×古+50×名+0× 2 516 例3：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶 段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， .比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)= 0.686. (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛 成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]g3, 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15分的概率为P,=[1-（1-g)3]·p, 0<p<9, ∴.P甲-Pz=q3-(g-pq)3-p3+(p-p9)3 =(g-p)(g+pg+p2)+(p-q）·[(p-pg)2+(q-p9)2 +(p-pg)(9-pg)] =(p-q)(3p2q2-3p2q-3pg2) =3pg(p-9)(p9-p-q)=3pg(p-q)[(1-p)(1-9)-1] >0. ∴.P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛。 (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取 值为0,5,10,15，086 课堂检测 固双基 1.(2024·天津卷)下列图中，线性相关性系数最 系数为r1,B组数据的相关系数为r2,则 大的是 ● A组数 B组数 A A.1=r2 B.r<r2 C.r>r2 D.无法判定 4.对于线性相关系数r,叙述正确的是( A.r∈（-，+o),且r越大，相关程度越大 B.r∈（-∞，+∞)，且Irl越大，相关程度 C D 越大 2.已知x与y之间的一组数据： C.r∈[-1,1]，且r越大，相关程度越大 01 D.r∈[-1,1]，且rl越大，相关程度越大 2 5.正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y 若y与x线性相关，则y与x的回归直线y= (kg)对身高x(cm)的回归方程为y=0.72x- 58.2,张红同学(20岁)身高为178cm,她的体 bx+a必过 重应该在 kg左右. A.点(2,2) B.点(1.5,0) C.点(1,2) D.点(1.5,4) 3.如图所示，给出了样本容量均为7的A,B两组 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关 4.3.2 独立性检验 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 象的素养。 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及 2.借助x2计算公式进行独立性检验，培养数学运 其应用 算和数据分析的素养. 087 必备知识探新知 知识点一2×2列联表 (1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式 A 总计 B b a+b B c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为 思考：若X<k成立， 2×2列联表。 则说明事件A与B无 (2)x2计算公式：X= ,其中n= 关，对吗？ 知识点二独立性检验 (1)任意给定一个α（称为 通常取为0.05,0.01等)，可以 找到满足条件P(X≥)=α：的数k(称为显著性水平α对应的 ), 就称在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为A与B不独立（也 称为A与B有关)；或说有 的把握认为A与B有关.若X<k成立， 就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验， (2)统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示. a=P(X≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 D[思考] 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一由X进行独立检验 例某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务 给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ n(ad-be)2 附：x=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(X2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 088 [分析]（(1)根据列联表，用频率代替概率，可分别估计男、 女顾客对该商场服务满意的概率；(2)求出X的值，与临界值表对 比可得结论， 规律方法： 解决独立性检验问题的基本步骤 认真读题，根据相关数据列 列表 ·[规律方法] 出2×2列联表 》对点训练1 将2x2列联表中的数据代入 计算 2024年春季，某出租汽车公司决定更换一批小汽车以代替原 公式求X2的值 来报废的出租车，现有A,B两款车型的使用寿命（单位：年）频数 将求得的X2的值与临界值 比较 表如下： 进行比较 使用寿命/年 6 7 8 总计 结论→由比较结果得出相应结论 A型出租车/辆 10 20 45 25 100 B型出租车/辆 15 35 40 100 (1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用 寿命与汽车车型有关； 使用寿命 使用寿命不 总计 不高于6年 低于7年 A型 B型 总计 (2)司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了 4年的B型车中选择，为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换 车，试通过计算说明，他应如何选择 ●089 题型二独立性检验的综合应用 例2为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问 卷调查，得到了如下的2×2列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 6 女生 0 合计 48 已知在全斑48人中随机辑取1人，抽到客爱打釜球的学生的概率为号 (1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别 有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 规律方法： X,求X的分布列与均值， 1.检验两个变量是否 [分析](1)由古典概型的概率求得2×2列联表. 相互独立，主要依据 (2)计算X,判断P(X2>3.841)=0.05是否成立. 是计算X2的值再利 用该值与分位数飞进 (3)结合超几何分布求解 行比较作出判断. 2.X2计算公式较复 杂，一是公式要清楚； 二是代入数值时不能 张冠李戴；三是计算 时要细心 3.统计的基本思维模 式是归纳，它的特征 [规律方法] 之一是通过部分裁据 的性质来推测全部裁 》对点训练2 据的性质，因此，统计 (2024·全国甲卷理科)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造 推断是可能犯锆误 后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 的，即从数据上体现 优级品 合格品 不合格品 总计 的只是统计关系，而 甲车间 26 24 0 50 不是因果关系 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 090 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲， 乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级 品率.如果p>p+1.65 (1-卫，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的 n 数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（√150≈12.247) n(ad-be)2 附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ●易错警示 没有准确掌握公式中参数的含义致误 例3.有甲，乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列 联表 班级与成绩列联表 优秀 不优秀 总计 甲班 10 35 45 乙班 > 38 45 总计 17 73 90 试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？ [错解] 由公式得X_90×(10x7-35×38) 17×73×45×45 =5686, 56.86>6.635所以有99%的把握认为“成绩与班级有关系”. [辨析]由于对2×2列联表中α，b,c,d的位置不清楚，在代入公式时代错了数值导致计算结 果的错误。 [正解] [点评]独立性检验中，参数X公式复杂计算量大，要弄清公式特点熟记公式，小心计算避免 粗心致误 091 课堂检测 固双基 1.通过随机询问110名性别不同的大学生是否4.利用独立性检验对事件A和B是否有关进行 爱好某项运动，得到如下的列联表： 研究时，若有99%的把握认为事件A和B有 男 女 总计 关，则计算出的X的取值范围是 爱好 40 20 60 P(X≥k) 0.050 0.010 0.001 不爱好 20 30 50 k 3.841 6.635 10.828 总计 60 50 110 A.X2≥6.635 B.X2<6.635 经计算得X= 110×(40×30-20×20)2 C.X≥3.841 D.X2<3.841 60×50×60×50 5.某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两 7.8. 个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2 则正确的结论是 ( 个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数 A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认 据如表所示： 为“爱好该项运动与性别有关” 甲广 B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认 乙厂 总计 优质品 360 320 680 为“爱好该项运动与性别无关” 非优质品 140 180 320 C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与 总计 500 500 1000 性别有关” 根据表中数据得 D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与 性别无关” X-1000x360×180-320x140)2≈7.353. 680×320×500×500 2.一个2×2列联表如下： 从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那 y 总计 么这种判断出错的最大可能性为 1 a 35 子 附： 7 6 之 P(X≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001 总计 m 73 k 2.706 3.841 6.635 10.828 则表中m,n的值分别是 ( A.10,38 B.17,45 C.10,45 D.17,38 3.下列关于X的说法中正确的是 ( AX越大，“事件A,B有关”的可信度越小 BX越大，“事件A,B无关”的可信度越大 CX越小，“事件A,B有关”的可信度越小 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18 D.X越小，“事件A,B无关”的可信度越小