4.3.1 第2课时 相关系数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学相关系数核心知识点，系统梳理其定义、性质（|r|≤1，正负相关充要条件，|r|与相关性强弱关系），通过基础训练、题型（判断强弱、计算、应用）构建从概念理解到实际运用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，结合散点图分析培养数学眼光，通过相关系数计算发展数学思维，以减脂、充电桩与销量等实例强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后训练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第2课时　相关系数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标]　会通过相关系数判断两个变量的相关性强弱,并会求相关系数. 1.相关系数 来衡量y与x的线性相关性强弱,这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 2.相关系数r的性质 (1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是 r>0,y与x负相关的充要条件是 r<0. (2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值. (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验. (　　) (2)两个变量的相关系数越大,它们的相关程度越强. (　　) (3)若相关系数r=0,则两变量x,y之间没有关系. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)× 2.若回归直线方程中的回归系数=0,则相关系数r=　　　　.  解析: 答案:0 题型(一)　相关系数与相关关系的强弱 [例1]　对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其相关系数的比较,正确的是 (　　) A.r2<r4<0<r3<r1　　 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1　　　 D.r2<r4<0<r1<r3 解析:选A　由散点图可知图(1)与图(3)是正相关,故r1>0,r3>0,图(2)与图(4)是负相关,故r2<0,r4<0,且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近,因此r2<r4<0<r3<r1.故选A. 　　|思|维|建|模| 相关关系强弱的定量分析与定性分析 (1)定量分析:相关系数r的范围为-1≤r≤1,r为正时,成对数据正相关;r为负时,成对数据负相关;|r|越接近于1,成对数据的线性相关程度越大;|r|越接近于0,成对数据的线性相关程度越小;当|r|=1时,所有数据点都在一条直线上. (2)定性分析:相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近,两变量的线性相关关系越强;样本点在某条直线附近越分散,两变量的线性相关关系越弱. 　　[针对训练] 1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则哪位同学的试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性 (　　) A.甲　　 B.乙 C.丙　　　 D.丁 解析:选D　|r|越接近1,相关性越强. 2.在一组成对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若这组成对数据的相关系数为-1,则所有的成对数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)满足的方程可以是 (　　) A.y=-x+1　　 B.y=x-1 C.y=x+1　　　 D.y=-x2 解析:选A　∵这组成对数据的相关系数为-1,∴这一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)线性相关,且是负相关.故选A. 题型(二)　相关系数的计算 [例2]　减脂是现在很热门的话题,人体内的脂肪会受年龄的影响而不同,为了解脂肪和年龄是否有关系,某兴趣小组得到年龄和脂肪观测值的如下数据: 年龄 23 27 39 41 45 50 53 56 脂肪值 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 28.2 29.6 31.4 并计算得≈41.8,≈23.9,=14 930,≈4 941, xiyi=8 562.5.求年龄和脂肪值的样本相关系数.(精确到0.01) 解: ≈ = ≈ ≈0.96. 　　|思|维|建|模| 求相关系数的注意点 (1)一般情况下,题目会给出求相关系数的公式,注意代入计算, (2)特别地,当r=±1时,说明所有散点均在一条直线上. 　　[针对训练] 3.一唱片公司研究预支出费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系,从其所发行的唱片中随机抽选了10千张,得到如下的资料:xi=28,=303.4,yi=75,=598.5,xiyi=237,则y与x的相关系数r=　　　　.  解析: 答案:0.3 题型(三)　相关系数的实际应用 [例3]　国家为了加快新能源汽车的普及,在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2020~2024年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示: 年份 2020 2021 2022 2023 2024 充电桩数量x/万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量y/万辆 25 37 48 58 72 (1)由上表中新能源汽车年销量y和充电桩数量x的样本数据所画出的散点图知,它们的关系可用线性回归模型拟合,请用所学统计知识进行定量分析;(结果精确到0.001) (2)求y关于x的回归直线方程,且预测当该地区充电桩数量为24万台时,新能源汽车的年销量是多少万辆? 参考数据:=40,=1 326,xiyi=1 430,≈230.304 1. 解:(1)由题知=×(1+3+5+7+9)=5,=×(25+37+48+58+72)=48, 又=40,=1 326,xiyi=1 430, =≈≈0.999. 因为y与x的相关系数近似为0.999,非常接近1, 所以y与x的线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合y与x的关系. (2) 所以y关于x的回归直线方程为=5.75x+19.25.当x=24时,=5.75×24+19.25=157.25, 故当该地区充电桩数量为24万台时,新能源汽车的年销量约为157.25万辆. 　　|思|维|建|模| 相关系数常与回归直线方程相结合考查.先利用相关系数说明两个变量有关系,再求回归直线方程. 　　[针对训练] 4.国家发展改革委制定了煤改气、煤改电价格扶持新政策,从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加.下面条形图反映了某省连续7个月的煤改气、煤改电的用户数量. (1)在给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图,并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性; (2)建立y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01),预测该省第11个月的煤改气、煤改电的用户数量. 解:(1)作出散点图如图所示,y与t的数据点集中在一条直线附近,y与t具有线性相关性. ∴r≈≈0.99. ∵y与t的相关系数近似为0.99,∴y与t的线性相关性相当高. (2)由==1.32及(1)得, ∴=-≈1.32-0.10×4=0.92, ∴y关于t的回归直线方程为 =0.10t+0.92.将t=11代入回归直线方程得, =0.10×11+0.92=2.02,∴预测该省第11个月的煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户. 学科网（北京）股份有限公司 $