4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

33 4号依题意得x的取值可能为01,2,3，且P(X=0)= =法PX=2)=3-斋PX=) 27 =房枚E0=0 125*1 27 .54 5贺2.4 [解析]方法一：依题意，X的可能取值为1、23， 总的选取可能数为53=125 其中X=1:三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 51 故P(X=1)=125=25 X=2:恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现 一次)， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种 方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能 情况有5×4×3=60种， 故P(X=2)=25-25 6012 X=3:三种不同球被取出 由排列数可知事件X=3的可能情况有5×4×3=60种， 故Prx=3)=份号。 所以E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3) .12 1261 =1×25+2×25+3×25=25 方法二：依题意，假设随机变量X,其中i=1,2,3,4,5: 其中X=人，这3次选取中，球至少被取出一次， 0,这3次选取中，球i一次都没被取出， 则X=∑X, 由于球的对称性，易知所有E(X)相等 则由期望的线性性质，得E(X)=E(∑X,)=∑E(X)= 5E(X,) 由题意可知，球i在单次指取中未被取出的概率为于 由于抽取独立，三次均未取出球i的概率为 PX=0)=(告)广=路 64 因此球i至少被取出一次的概率为 P(X,=1)=1-25=125 6461 .61 故E(X:)=125 所以(0=58)=5×g5-2g 第2课时离散型随机变量的方差 必备知识探新知 知识点一(1)[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]22+…+ [x,-E(X)]'p, [,-E(X)]p,(2)离散程度波动大小 (3)a2D(X) 知识点二p(1-p)p(1-p) 思考：由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊 与一般的关系.即若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p),取n=1, 则D(X)=p(1-p)就是两点分布的方差 关键能力攻重难 例1：(1)X的分布列为 16 0 2 3 1 3 1 2 20 10 20 (0=0×+1×20+2×0+3×+4×写=1.5 1 3 D)=(0-1.5)2x3+(1-15)×20+(2-1.5)× 1 +(3-1.5)2×8+4-150×写-25. 1 3 (2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,即a=±2. 又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时，由1=2×1.5=b,得 b=-2; 当a=-2时，由1=-2×1.5+b,得b=4, 六化22或[842即为所求 ,11 对点训练1：由分布列的性质，知2+4+a=l,故a=4 所以X的均值E(X)=(-)×分+0×+1×子 4 (1)x的方差D0)-(-1+4)x7+(0+)x+ 0+x好6 (2)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)= 42D(X)=11. 例2：(1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且 X-B(6,3） (0=6x号=2，)=6×号×-号）=号 (2)由已知得Y=30x,E(Y)=30E(X)=60, D(Y)=900D(X)=1200. 对点训练2：(1)0.16依题意知：X服从两点分布，所以 D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16. (2)6号由题意知，X服从二项分布B(n,P),由E(X) p=3,D(X)=(1-p)=号， 得1-p=分，所以p=子a=6 1 例3：由题意，E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1, E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.所以E(X1) =E(X2). D(X1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2 ×0.3=0.49. D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2 ×0.4=0.69, 所以D(X)<D(X2), 所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加。 对点训练3：(1)设顾客所获的奖励额为X(单位：元). )依题意，得P(X=60)=Cg=号， 即顾客所获的奖励额为60元的概率为？ (ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20,60 PX=60)=7P(X=20)=是=7 C_1 所以X的分布列为 6 20 60 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20× +60x 2 =40. (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以 先寻找期望为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的 情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60是面值之和的最 大值，所以期望不可能为60：如果选择(50,50,50,10)的方案 因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60，因此 可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20， 20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20， 40.40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额 (单位：元)为X1,则X的分布列为 四 60 100 2 6 6 所以X,的期望为E(X1)=20× 1 +60× 2 6 -+100× 3 6 60,X的方差为D(X)=(20-60)2×石+(60-60)2×号 (10-602×6-160 3 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额 (单位：元)为X2,则X的分布列为 40 60 80 1 P 2 6 6 2 所以X2的期望为E(X2)=40× 6+60×5+80×6 60,名的方差为D()=(40-60)2×石+(60-60)尸×号+ (80-60)2×石-9 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2的奖 励额的方差比方案1的小，故应该选择方案2. 例4：设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为 1、2、3、4、5 X=k表示前k-1次没打开此门，第k次才打开了此门. P(X=)=5,P(X=2)= 4,11 4=5 P(X=3)= C.11 3=5, P(X=4)= 11 Cs 2=5 p(X=5)=C 1=5 1 故随机变量X的概率分布列为： 2 4 5 5 16 B(0=1x写+2x写+3x5+4x5+5x5=3. 00=(1-3)2×5+(2-3》2×5+(3-3)产×5+ (4-3)2×5+(5-3)2×5 =5×(2+1P+02+1+2)=2 课堂检测固双基 1.C由题意得E(X)=np=6,D(X)=仰(1-p)=3,六p=2, n=12P(x=)=Cx(2）x(分) =3×20.故选C 2.B设摸得白球的概率为p, 由题意得，X~B(4,p), D0=4p(1-p）=1p=3 B(0=4p=4x7=2 故选B. .A由题意可知~B(,号) 子=B(E)=24n=36 又D)=nx号×(1-号)=号×36=8 214 4.C:E(X)=3x+3=3 =4-20=(告-x号+（告-x3=子 5 解得{ 3' 2 x=3 4由题意得，石+p+号=1， p=2 由期望公式得()=0×行+2×号+a×兮=2， ∴.a=3. D(0=0-22×6+(2-22×7+(3-22×号=1. 故D(2X-3)=22×D(X)=4. 4.2.5正态分布 必备知识探新知 知识点一(2)①x=4中间高两边低②1③σ越大 o越小(3)0.34130.13590.0215 思考1：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所 以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强， 所以曲线越“瘦”. 知识点二(1)面积9。(x)均值标准差方差 (2)68.3%95.4%99.7%(3)0.3% 知识点三(1)μ=0且σ=1(3)1 关键能力攻重难 例1：(1)证明：X~N(10,1), .正态曲线94。(x)关于直线x=10对称，而区间(1,2)和 (18,19)关于直线x=10对称， 即P(1<X<2)=P(18<X<19).069 课堂检测 固双基 1.某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出4.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割 海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损 为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 则出海的期望效益是 ( X,则X的均值E(X)= A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元 2.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人 从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期 望是 () A.6 B.7.8 C.9 D.12 3.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公5.(2025·全国一卷)一个箱子里有5个相同的 司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试 球，分别以1~5标号，若有放回地取三次，记 的概率为号，得到乙，丙两公司面试的概率均为， 至少取出一次的球的个数X,则数学期望 E(X)= 且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该 毕业生得到面试的公司个数若P(X=0)= 2,则 夯基提能作亚 随机变量X的数学期望E(X)= 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 离散型随机变量的方差 素养目标 定方向 课程标准 学法解读 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的 1.通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会 概念 数学抽象的素养 2.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布 2.借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差 的方差 解题，提高数学运算的素养 3.会用方差解决一些实际问题. 必备知识 探新知 知识点一 离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示 X P P P2 Pk 因为X的均值为E(X),所以D(X)= 称为离散型随机变量X 的方差，一般地，√D(X)称为离散型随机变量X的标准差 (2)意义：离散型随机变量的方差和标准差都刻画离散型随机变量相对于均值的 (或 (3)性质：D(aX+b)= 070 知识点二 两点分布与二项分布的方差 思考：两点分布与二 X X服从两点分布 X~B(n,p) 项分布的方差间存在 怎样的联系。 D(X) (其中p为成功概率) [思考] 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一离散型随机变量的方差 例.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10 个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取 一球，X表示所取球的标号： (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b 的值. [分析](1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分 布列，再利用均值、方差的公式求解。 (2)运用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X),求a,b. 规律方法： 1.求离散型随机变量X的方差的基本步 骤 理解X的意义，写出 X可能取的全部值 写出X取每个值的概率 P[规律方法] 写出X的分布列 对点训练1 由均值的定义求出E(X) 已知X的分布列如表： -1 0 利用公式D(X)= 1 (x:-E(X))2p 2 4 求值 (1)求X的方差； 2.对于变量间存在关系的方差，在求解 (2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差 过程中应注意方差性质的应用，如D (店+b)=a2D(),这样处理既避免 了求随机变量η=a吃+b的分布列，又 避免了繁杂的计算，简化了计算过程。 ●071 题型二两点分布、二项分布的方差 例2某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各 个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是} (1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差； (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差 规律方法： 1.如果随机变量X服 从两点分布，那么其 方差D(X)=p(1-p) (p为成功概率). 2.如果随机变量X服 从二项分布，即X~ B(n,p),那么方差 D(X)=np(1-p), 计算时直接代入求 解，从而避免了繁杂 的计算过程 [规律方法] 】对点训练2 (1)某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X 的方差为 (2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等 植物.某人一次种植了株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率 为p,设X为成活沙柳的株数，已知E(X)=3,D(X)=弓，则n= p= 072 题型三方差的实际应用问题 例3，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为： X(甲得分) 0 2 P(X1=x,) 0.2 0.5 0.3 X(乙得分) 0 P(X2=x;) 0.3 0.3 0.4 欲从甲、乙两运动员中选一人参加2021年东京夏季奥运会，你认为选派 哪位运动员参加较好？ [分析]从期望和方差两方面去判断 规律方法： 利用均值和方差的意 义分析解决实际问题 的步骤 (1)比较均值.离散型 随机变量的均值反映 了离散型随机变量取 值的平均水平，因 ·[规律方法] 此，在实际决策问题 〉对点训练3 中，需先计算均值， 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规看一下谁的平均水 定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球， 平高. 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额， (2)在均值相等的情 (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10 况下计算方差.方差 元，求： 反映了离散型随机变 量取值的稳定与波 (ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率； 动、集中与离散的程 (ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. 度.通过计算方差，分 (2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标 析一下谁的水平发挥 有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成。 相对稳定 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励(3)下结论.依据方差 额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 的意义做出结论 073 ●易错警示 要准确理解随机变量取值的含义 例4某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开 此门所需试开次数X的均值和方差， [错解】5把钥匙中只有一记能打开房门，任取一把打开房门的概率为了，故试开次数X~ 85,),由二项分布均值与方差的定义知B(X)=5x写=1，D0(0=5×写×1-司=号 [辨析]首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去 这把后，第二次试开就只有4把钥匙了. 其次X=k的含义是前k-1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门. [正解] 课堂检测 固双基 1.若X-B(a,P,且E()=6,D(X)二3，则4若X是离散型随机变量，P(X=)=号，P(X P(X=1)的值为 ( A.3×2-2 B.24 =)=行，且名<，又已知E(X0=青，D(X C.3×2-10 D.2-8 2 2.一个箱子中装有大小、形状完全相同的5个白 =9,则+西的值为 () 球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回地摸取 A.S C.3 01 4次，每次随机摸取一球，设摸得白球的个数 3 为X,若D(X)=1,则E(X)= ( 5.已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)= A.1 B.2 C.3 D.4 2,则p= ,D(2X-3)= 3设随机变量∈的分布列为P(=)=C引 0 2 a 1 (兮k=0.1,2.…且E)=24则D()的 6 值为 夯基提能作业 A.8 B.12 D.16 请同学们认真完成练案[15]