4.2.5 第1课时 二项分布与正态曲线-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦“二项分布与正态曲线”，核心知识点包括二项分布直观图与正态曲线的联系、正态曲线的解析式、性质及与x轴所围面积计算。以二项分布“钟形”特点为支架，衔接前后知识，引导学生从已有认知过渡到新知学习。 资料通过知识点解析、分题型例题及跟踪训练，结合图形直观帮助学生理解正态曲线性质，培养直观想象素养。课后分层练习设计，兼顾不同水平学生，助力数学抽象能力提升，促进学生自主学习与知识内化。

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.2.5　正态分布 第1课时　二项分布与正态曲线 (教师独具内容) 课程标准：1.利用二项分布随机变量分布列的直观图，了解正态曲线的意义.2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数的意义． 教学重点：正态曲线的特点及其所表示的意义． 教学难点：正态曲线中参数对正态曲线形状的影响． 核心素养：通过正态曲线的学习培养数学抽象素养和直观想象素养． 知识点一　二项分布与正态曲线 (1)二项分布直观图的特点：当n充分大时，随机变量X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”． (2)正态曲线：φ(x)＝e，x∈R的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x))． 知识点二　正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点． (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1． (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 知识点三　正态曲线与x轴所围的面积 正态曲线与x轴在某区间内所围面积： (1)在区间[μ，μ＋σ]内所围面积约为0.3413； (2)在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围面积约为0.1359； (3)在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为0.0215． 如图． 1．(正态曲线的性质)(多选)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中，正确的是(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降；当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 答案：ABD 2．(正态曲线对应的函数解析式)已知随机变量X的正态曲线为f(x)＝e，x∈R，则X的均值为________，标准差为________． 答案：0　 3．(正态曲线与x轴所围的面积)已知正态曲线与x轴在区间(0.2，＋∞)内所围的面积为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 答案：0.2 题型一　正态曲线对应的函数解析式 例1　给出下列函数：①f(x)＝·e；②f(x)＝e；③f(x)＝·e；④f(x)＝e－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ>0，则可以作为正态曲线对应的函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　对于①，f(x)＝e，由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态曲线对应的函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝e，若σ＝，则应为f(x)＝e，均与所给函数不相符，故它不能作为正态曲线对应的函数；对于③，它是当σ＝，μ＝0时的正态曲线对应的函数；对于④，它是当σ＝时的正态曲线对应的函数．所以一共有3个函数可以作为正态曲线对应的函数．故选C. [答案]　C 【感悟提升】　熟记正态曲线对应的函数解析式的形式，理解解析式中μ，σ的意义，μ＝E(X)，σ＝. 【跟踪训练】　 1．已知正态曲线对应的函数f(x)＝e，x∈R，则μ，σ分别是(　　) A．0，4 B．0，2 C．0，8 D．0， 答案：B 解析：∵f(x)＝e＝e，∴μ＝0，σ＝2.故选B. 题型二　正态曲线及其性质 例2　(多选)已知三条正态曲线φi(x)＝e (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A．μ1<μ2＝μ3 B．σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3 D．σ1<σ2＝σ3 [解析]　∵正态曲线关于直线x＝μi对称，∴μ1<μ2＝μ3.∵σ越小，曲线越“瘦高”，且曲线的最值为，∴函数y＝φ2(x)中的σ2比函数y＝φ3(x)中的σ3要小，函数y＝φ1(x)和y＝φ2(x)的σi值相等．故选AB. [答案]　AB 【感悟提升】　μ，σ对正态曲线形状的影响 (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”． (3)牢记正态曲线的对称轴为直线x＝μ，正态曲线对应的函数的最值为. 【跟踪训练】　 2．(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态曲线，则下列说法正确的是(　　) A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B．三种品牌的手表日走时误差的方差相等 C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 答案：ACD 解析：根据正态曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确；由正态曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，所以B错误，C正确；由σ甲<σ乙<σ丙，可得甲品牌的手表最稳定，质量最好，所以D正确．故选ACD. 题型三　正态曲线与x轴所围的面积 例3　在一次测试中，测量结果X的正态曲线如图所示，若正态曲线与x轴在区间(0，2)内所围的面积为0.2.求正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积． (1)(0，4]； (2)(4，＋∞)． [解]　(1)由题意可知，正态曲线关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间(0，4]内所围的面积是在区间(0，2)内所围面积的2倍，即2×0.2＝0.4. (2)正态曲线与x轴在区间(2，4]内所围的面积与在区间(4，＋∞)内所围的面积的和为0.5，故在区间(4，＋∞)内所围的面积为0.5－0.2＝0.3. 【感悟提升】　熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，即正态曲线与x轴所围的面积在关于直线x＝μ对称的两个区间内相等． 【跟踪训练】　 3．已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)＝e，若正态曲线与x轴在区间(－∞，m]内所围的面积为0.3，则正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内所围的面积为________． 答案：0.7 解析：区间(－∞，6－m)与区间(m，＋∞)关于直线x＝3对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内与在区间(m，＋∞)内所围的面积相等，正态曲线在区间(m，＋∞)内与x轴所围的面积为1－0.3＝0.7，所以所求面积为0.7. 1.设随机变量X的正态曲线对应的函数为φ(x)＝e，则(　　) A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝ 答案：C 解析：由φ(x)＝e，得μ＝2，σ＝.故选C. 2．随机变量X1，X2的正态曲线如图所示，则(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 答案：A 解析：由图象可知，X1对应的曲线的对称轴在X2对应的曲线的对称轴的左侧，故μ1<μ2，又X1对应的曲线“瘦高”，X2对应的曲线“矮胖”，故σ1<σ2.故选A. 3．(多选)已知随机变量X的正态曲线对应的函数为f(x)＝e，x∈R，则下列说法正确的是(　　) A．正态曲线关于直线x＝80对称，且恒在x轴上方 B．函数f(x)是偶函数 C．正态曲线与x轴在区间(－∞，60]内与区间[120，＋∞)内所围的面积相等 D．正态曲线与x轴在区间(－∞，50]内与区间[110，＋∞)内所围的面积相等 答案：AD 解析：因为函数f(x)＝e，x∈R，所以μ＝80，σ＝10，其大致图象如图所示．由图可知，A，D正确，B，C错误．故选AD. 4．已知函数f(x)＝e，x∈R，则当x＝________时，函数f(x)取得最________值． 答案：1　大 解析：当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝＝，无最小值． 5．已知随机变量X的正态曲线关于直线x＝2对称，若正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围的面积和在区间(k，＋∞)内所围的面积是相等的，则k＝________． 答案：2 解析：由正态曲线的对称性可知，k＝2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 正态曲线对应的函数 由正态曲线的解析式判断正态曲线 已知正态曲线的最高点求方差 正态曲线平移对均值、方差的影响 由正态曲线比较实际问题中的平均数、标准差的大小 由正态曲线对应的函数解析式求均值 由正态曲线比较标准差的大小 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 求正态曲线与x轴在特殊区间内所围的面积 由正态曲线求解析式、均值、方差 正态曲线与x轴在特殊区间内所围的面积 线性关系下求随机变量对应的正态曲线的解析式 已知正态曲线对应函数的最大值求方差 由正态曲线对应函数的奇偶性、最值求解析式 实际问题背景下求正态曲线与x轴在特殊区间内所围的面积 一、选择题 1．下列是正态曲线对应的函数的是(　　) A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数 B．f(x)＝e C．f(x)＝e D．f(x)＝e 答案：B 解析：对照函数f(x)＝e (x∈R)，指数中的σ和系数中的σ要一致，以及指数部分是一个负数．故选B. 2．函数f(x)＝e (其中μ<0)的图象可能为(　　) 答案：A 解析：函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ<0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，所以排除C.故选A. 3．若随机变量X的正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　) A．10 B．100 C. D. 答案：C 解析：由正态曲线上的最高点为，知＝，即σ＝，所以D(X)＝σ2＝. 4．把一正态曲线C1沿着x轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(　　) A．曲线C2仍是正态曲线 B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等 C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2 D．以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2 答案：C 解析：曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没有改变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标不变，从而σ不变，所以方差不变，但图象平移后对称轴变了，即μ变了，均值比原来的均值大2. 5．(多选)某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．三科考试成绩的标准差相同 B．三科考试成绩的平均数相同 C．丙科考试成绩的平均数最小 D．甲科考试成绩的标准差最小 答案：BD 解析：由图象知甲、乙、丙三科考试成绩的平均数相同，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选BD. 二、填空题 6．设随机变量X的正态曲线对应的函数为f(x)＝e，则μ＝________． 答案：0 解析：由正态密度函数φμ，σ(x)＝e的结构特征可知，μ＝0. 7．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的正态曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：σ1<σ2<σ3 解析：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有σ1<σ2<σ3. 8．已知在某项测量中，测量结果X的正态曲线如图所示，若正态曲线与x轴在区间(0，2)内所围的面积为0.8，则正态曲线与x轴在区间[0，＋∞)内所围的面积为________． 答案：0.9 解析：由题图可知，正态曲线关于直线x＝1对称，又正态曲线与x轴在区间(0，2)内所围的面积为0.8，所以正态曲线与x轴在区间[0，1]内所围的面积为0.4，所以正态曲线与x轴在区间[0，＋∞)内所围的面积为0.4＋0.5＝0.9. 三、解答题 9．如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其对应函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，所以μ＝20. 由正态曲线的最大值是，得＝， 解得σ＝. 于是该图象对应函数的解析式是 φ(x)＝e－，x∈R. 总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. 10．若正态曲线对应的函数为φμ，σ(x)＝·e，分别写出正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积： (1)[μ－σ，μ]；(2)[μ－2σ，μ]． 解：(1)根据对称性，正态曲线与x轴在区间[μ，μ＋σ]内所围的面积与在区间[μ－σ，μ]内所围的面积相等，约为0.3413. (2)根据对称性，正态曲线与x轴在区间[μ－2σ，μ]内所围的面积与在区间[μ，μ＋2σ]内所围的面积相等，约为0.3413＋0.1359＝0.4772. 11．若随机变量X的正态曲线对应的函数为φμ，σ(x)＝e，则随机变量Y＝aX＋b对应的函数为(　　) A．φμ，σ(x)＝e B．φμ，σ(x)＝e C．φμ，σ(x)＝e D．φμ，σ(x)＝e 答案：D 解析：∵E(X)＝μ，D(X)＝σ2，∴E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝aμ＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)＝a2σ2.故φμ，σ(x)＝e. 12．已知正态分布密度曲线p(x)＝e，且p(x)max＝p(20)＝，则方差为________． 答案：2 解析：由正态分布密度曲线p(x)＝e，可知函数的最大值是，所以＝，即σ＝，所以方差为2. 13．若一条正态曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 ，求该函数的解析式． 解：由于该正态曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0. 由＝，得σ＝4. 故该函数的解析式是φμ，σ(x)＝e，x∈R. 14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(单位：kg)的正态曲线如图所示，且样本方差为4. 求该正态曲线与x轴在区间(58.5，62.5)内所围的面积(精确到0.001)． 解：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故该正态曲线与x轴在区间(58.5，62.5)内所围的面积是在区间(60.5，62.5)内所围面积的2倍，约为0.3413×2≈0.683. 10 学科网（北京）股份有限公司 $