4.2.5 第2课时 正态分布的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正态分布的应用，系统梳理正态分布实际应用（如亩收入、考试成绩概率计算）、与二项分布综合（如竞赛获奖人数分布）、与统计结合（如频率分布直方图估计参数）等核心知识点，构建从基础计算到综合应用的学习支架。 该资料采用习题讲评式教学，通过高考真题（例1）和实际案例（例2竞赛、例3生产零件）引导学生用数学眼光观察现实问题，在解题中培养逻辑推理（数学思维）和数据处理（数学语言）能力。课中助力教师高效讲评，课后针对训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　正态分布的应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　正态分布的实际应用 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则 (　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 解析:选BC　依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12), 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误; P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2, 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误,故选BC. 　　|思|维|建|模| 　　解答此类题目的关键在于把实际问题转化到正态总体数据落在[μ-σ,μ+σ]、[μ-2σ,μ+2σ]及[μ-3σ,μ+3σ]三类区间内的概率.在解答过程中,要多注意应用正态曲线的对称性来转化区间. 　　[针对训练] 1.在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数. 解:(1)由ξ~N(100,100),知μ=100,σ=10. ∴P(80<ξ≤120)=P(100-20<ξ≤100+20)=0.954, 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954. (2)P(90<ξ≤110)=P(100-10<ξ≤100+10)=0.683, ∴P(ξ>110)=×(1-0.683)≈0.158 5, ∴P(ξ≥90)=0.683+0.158 5≈0.841 5. ∴估计及格人数约为2 000×0.841 5≈1 683. 题型(二)　二项分布与正态分布的综合 [例2]　为迎接“安全教育日”,某市组织中学生进行了一次安全知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在[70,80)内的学生获三等奖,得分在[80,90)内的学生获二等奖,得分在[90,100]内的学生获一等奖,其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100名学生的竞赛成绩,统计如下: 成绩/分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 6 12 18 24 18 12 10 (1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率; (2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(65,100),利用所得正态分布模型解决以下问题: ①若该市共有10 000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数(结果四舍五入到整数); ②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于100 000)随机抽取4名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y,求随机变量Y的分布列及数学期望. 参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997. 解:(1)从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,样本点总数为,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A, 则事件A包含的样本点的个数为,因为每个样本点出现的可能性都相等,所以P(A)==,故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为. (2)①因为μ+2σ=85,所以P(X>85)≈=0.023,所以参赛学生中成绩超过85分的学生数约为 10 000×0.023=230. ②由μ=65,得P(X>65)=,即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该生竞赛成绩在65分以上的概率为, 所以随机变量Y服从二项分布B. 则P(Y=0)==, P(Y=1)==, P(Y=2)==, P(Y=3)==, P(Y=4)==, 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P E(Y)=0×+1×+2×+3×+4×=2. 　　[针对训练] 2.已知某精密设备制造企业生产某种零件,根据长期检测结果,得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布N(64,100),且质量指标值在[54,84]内的零件称为优等品. (1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01); (2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件,随机变量X表示抽取的5件中优等品的个数,求X的分布列、数学期望和方差. 附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997. 解:(1)因为产品质量指标值X~N(64,102),则μ=64,σ=10, 所以优等品的概率P(54≤X≤84)=P(54≤X≤64)+P(64≤X≤84)=P(μ-σ≤X≤μ)+P(μ≤X≤μ+2σ)≈×0.683+×0.954≈0.82, 所以该企业生产零件为优等品的概率约为0.82. (2)由(1)知产品为优等品的概率为0.82,由题意知X~B(5,0.82), 随机变量X的取值为0,1,2,3,4,5, 故X的分布列为P(X=k)=(0.82)k(1-0.82)5-k(k=0,1,2,3,4,5),即 X 0 1 2 3 4 5 P 0.185 (0.82)1× (0.18)4 (0.82)2× (0.18)3 (0.82)3× (0.18)2 (0.82)4× (0.18)1 0.825 所以E(X)=5×0.82=4.1,D(X)=5×0.82×0.18=0.738. 题型(三)　正态分布与统计相结合 [例3]　某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽测了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm),经统计得到如图所示的频率分布直方图: (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2(用每组的中点代表该组的均值); (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N(μ,σ2),用直方图的平均数的估计值 作为μ的估计值,用标准差的估计值s作为σ的估计值. ①为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标,如果关键指标出现了(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标: 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用μ和σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备; ②若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽测的10个零件关键指标在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件个数,求P(X≥1)及X的数学期望. 参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997,≈0.105, ≈0.110,0.9979≈0.973,0.99710≈0.970. 解:(1)由频率分布直方图,得=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1, s2=(0.8-1)2×0.1+(0.9-1)2×0.2+(1-1)2×0.35+(1.1-1)2×0.3+(1.2-1)2×0.05=0.011. (2)①由(1)可知μ=1,σ=≈0.105, 所以μ-3σ=1-0.315=0.685,μ+3σ=1+0.315=1.315, 显然抽查中的零件指标1.33>1.315,故需停止生产并检查设备. ②抽测一个零件关键指标在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997, 所以抽测一个零件关键指标在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为1-0.997=0.003, 故X~B(10,0.003), 所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.99710≈1-0.970=0.03, X的数学期望E(X)=10×0.003=0.03. 　　[针对训练] 3.某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件,一天中,甲、乙两条生产线分别生产320件和1 280件M型零件,为了解该企业M型零件的生产质量,现利用分层随机抽样,从一天中生产的M型零件中随机抽取40件,测量其尺寸(单位:mm),所得尺寸数据的统计结果如下表: 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数; (2)求这40件M型零件尺寸的标准差s; (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2),其中用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值.试估计:这一天生产的M型零件中,尺寸小于60 mm的零件是否低于40件? 参考数据:①n个数x1,x2,x3,…,xn的方差为s2= (xi-)2= -;②若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3; ③2(62+802)+8(42+702)-10×722=360. 解:(1)由题设,p=40×=8,q=40×=32,所以==72. (2)由题设,甲的均值=80,方差=36,乙的均值=70,方差=16, 所以= (xi-80)2= -802, = (xj-70)2=-702, 而s2= (xk-72)2= -722, 即40(s2+722)=, 所以8(+802)=,32(+702)=, 而=+, 所以40(s2+722)=8(+802)+32(+702),可得s2=36⇒s=6. (3)由(1)(2)知零件服从N(72,36),则P(X<60)=P(X<μ-2σ)=≈0.022 75, 这一天生产的M型零件中,尺寸小于60 mm的零件有1 600×0.022 75=36.4<40,所以这一天生产的M型零件中,尺寸小于60 mm的零件低于40件. 学科网（北京）股份有限公司 $