4.2.3 第2课时 超几何分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学超几何分布核心知识点，系统梳理其定义（参数N、n、M）、特点（不放回抽样、两类对象）、分布列及应用，构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接离散型随机变量前期知识，对比二项分布深化认知。 该资料采用梯度进阶式教学，通过基础训练（判断、多选）巩固概念，分层题型（概念辨析、概率计算、与二项分布综合）提升能力。以实例分析培养数学眼光，逻辑判断发展数学思维，分布列构建强化数学语言，课中助力教师分层授课，课后辅助学生查漏补缺。

第2课时　超几何分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过实例,理解超几何分布及其特点. 2.掌握超几何分布列及其导出过程,并能进行简单的应用. (1)定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参数为N,n,M的超几何分布. (2)记法:X~H(N,n,M). (3)分布列:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … s P … … 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成. (　　) (2)超几何分布的模型是不放回抽样. (　　) (3)超几何分布的随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量. (　　) (4)超几何分布中随机变量的取值一定从0开始. (　　) (5)超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2.[多选]下列随机变量,服从超几何分布的是 (　　) A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台,记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X 解析:选ABD　依据超几何分布定义可知,A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布. 3.已知8名学生中有5名男生,从中选出4名代表,记选出的代表中男生人数为X,则P(X=3)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 解析:选B　X=3表示选出的4个代表中有3个男生1个女生,则P(X=3)==. 题型(一)　超几何分布的概念 [例1]　[多选]下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是 (　　) A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球时的总次数 解析:选ACD　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布,故选ACD. 　　|思|维|建|模| 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 　　[针对训练] 1.[多选]下列随机变量中,服从超几何分布的是 (　　) A.抛掷三枚骰子,向上的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽种子的个数X C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数X D.某班级有男生25人,女生20人,选派4名学生参加学校组织的活动,其中女生的人数X 解析:选CD　A、B是n次独立重复试验问题,服从二项分布,不服从超几何分布,故A、B不符合题意;C、D符合超几何分布的特征,样本都可分为两类,随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数,服从超几何分布. 题型(二)　 利用超几何分布求概率 [例2]　某校高一、高二的学生组队参加辩论赛,高一推荐了3名男生、2名女生,高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训,最终从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列. 解:(1)高一、高二共推荐6名男生和6名女生, 高一没有学生入选代表队的概率为==,所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)根据题意知,X的所有可能取值为1,2,3. 则P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 　　|思|维|建|模| (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,那么抽到的次品数服从超几何分布. (2)如果随机变量X服从超几何分布,那么只需代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值. 　　[针对训练] 2.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文数量的分布列; (2)他能及格的概率. 解:(1)设该同学抽到能背诵的课文篇数为X,X的可能取值为0,1,2,3, 则X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,用表格表示为 X 0 1 2 3 P (2)由(1)知他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 题型(三)　超几何分布与二项分布的综合应用 [例3]　某批N件产品的次品率为1%,现在从中随机抽出2件进行检验,问: (1)当N=100,1 000,10 000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?(精确到0.000 01) (2)根据(1),谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识. 解:(1)当N=100时,如果放回抽取,则是二项分布,抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99=0.019 80; 如果不放回抽取,则是超几何分布,100件产品中次品数为1,正品数为99,从100件产品里抽出2件,恰有1件次品的概率为=0.020 00. 当N=1 000时,如果放回抽取,则是二项分布,抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99=0.019 80; 如果不放回抽取,则是超几何分布,1 000件产品中次品数为10,正品数为990,从1 000件产品里抽出2件,恰有1件次品的概率为≈0.019 82. 当N=10 000时,如果放回抽取,则是二项分布,抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99=0.019 80; 如果不放回抽取,则是超几何分布,10 000件产品中次品数为100,正品数为9 900,从10 000件产品里抽出2件,恰有1件次品的概率为≈0.019 80. (2)对超几何分布与二项分布关系的认识: ①超几何分布是不放回抽取,二项分布是放回抽取;②超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量; ③当总体容量很大时,超几何分布近似于二项分布. 　　|思|维|建|模| 　　由独立重复试验得出二项分布,由古典概型得出超几何分布.这两个分布的关系:若采用有放回抽样,则随机变量服从二项分布;若采用不放回抽样,则随机变量服从超几何分布. 　　[针对训练] 3.某学校为了提升学生学习数学的兴趣,举行了“趣味数学”闯关比赛,每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答,每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列; (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立,问:小明同学在5轮闯关比赛中,需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大? 解:(1)由题知X可取0,1,2,3,则 P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,概率为p=+=, 记小明同学在5轮闯关比赛中闯关成功的次数为Y,则Y~B. 故P(Y=k)=··(k=0,1,…,5), 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 故小明同学在5轮闯关比赛中,需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 学科网（北京）股份有限公司 $