4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差这一核心知识点，系统讲解方差与标准差的概念、方差性质（如D(aX+b)=a²D(X)）、两点分布及二项分布的方差公式，构建起从均值到离散程度的完整随机变量数字特征体系。 以甲、乙射击成绩比较的问题情境引入，培养用数学眼光发现问题，通过概念辨析与性质推导发展数学思维，结合射击技术比较等实例提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后例题与练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　离散型随机变量的方差 知识 层面 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．　3.会用方差解决一些实际问题. 素养 层面 通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养；借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学建模、数学运算的素养. 问题1.要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平． 问题2.试想用什么指标区分甲、乙两名同学的射击水平？ 提示：可以考虑用度量数据离散程度的指标． 知识点　离散型随机变量的方差、标准差 1．定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn 称D(X)＝[x1－E(X)]2 p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2 pi为随机变量X的方差. [微提醒]　方差公式的常用变形 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn ＝(xp1＋xp2＋…＋xpn)－2(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)E(X)＋[E(X)]2·(p1＋p2＋…＋pn) ＝pi－2E(X)·E(X)＋[E(X)]2 ＝E(X2)－[E(X)]2. 2．意义：离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示． 一般地，称为离散型随机变量X的标准差． 它们两个都可以刻画随机变量X相对于均值E(X)的离散程度(或波动大小)． [微提醒]　1.离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量相对于均值的离散程度，方差或标准差越小，离散型随机变量相对于均值的离散程度越小． 2．由离散型随机变量的方差的定义可知，离散型随机变量的方差与随机变量本身的单位不同，标准差与随机变量本身的单位相同． [概念辨析]　离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系 离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而变化，是客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差． 学生用书↓第71页 3．性质：D(aX＋b)＝a2D(X)． [知识拓展] (1) 特例 均值 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b)＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 (2)常见分布的方差 随机变量X 方差公式 服从参数为p的 两点分布 D(X)＝p(1－p) X～N(n，P) D(X)＝np(1－p) X～H(N，n，M) D(X)＝ ＝E(X)· 1．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度 D．离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同 答案：BCD 解析：方差反映了随机变量偏离期望的平均程度，方差越大，随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为0，故B正确；离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同，故D正确． 2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为 (　　) A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝，D(X)＝ C．E(X)＝0，D(X)＝ D．E(X)＝，D(X)＝1 答案：A 解析：由题意可得：E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0， D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1. 3．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 答案：D 解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21. 4．已知随机变量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P 则ξ的均值为________，方差为________． 答案：－　 解析：均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差D(ξ)＝×＋×＋×＝. 5．已知随机变量Y只取a，1这两个值，且P(Y＝a)＝a，则当E(Y)取最小值时，D(Y)＝________． 答案： 解析：因为随机变量Y只取a，1这两个值．且P(Y＝a)＝a，0＜a＜1，所以P(Y＝1)＝1－a，所以E(Y)＝a2＋1－a＝＋，所以当a＝时，E(Y)取最小值为，所以此时D(Y)＝×＋×＝. 题型一　离散型随机变量的方差与标准差 例1　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 解：(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 所以或 学生用书↓第72页 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 对点练1.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数． (1)求X的分布列、期望及方差； (2)求Y的分布列、期望及方差． 解：(1)X的可能取值为0，1，2. 若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝， 同理，有P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝×＋×＋×＝＋＋＝. (2)Y的可能取值为1，2，3，显然X＋Y＝3. 方法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝， P(Y＝3)＝P(X＝0)＝， 所以Y的分布列为 Y 1 2 3 P E(Y)＝1×＋2×＋3×＝， D(Y)＝×＋×＋×＝. 方法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝， D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝. 题型二　两点分布、二项分布的方差 例2　某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的5G芯片进行检测．若每块芯片的生产成本为1 000元，一级品每个芯片可卖1 500 元，二级品每个芯片可卖900元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100个5G芯片的柱状图如图所示(用样本的频率代替概率)． (1)若该生产线每天生产2 000个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值； (2)若从出厂的所有5G芯片中随机取出3个，求其中二级品个数X的分布列、期望与方差． 解：(1)该生产线每天利润的平均值 ＝20×(70×500－20×100－10×1 000) ＝460 000元． (2)由题意得X～B， P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝. 其分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝np＝3×＝. D(X)＝np(1－p)＝3××＝ 1．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)． 2．如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． 对点练2.(1)设一随机试验的结果只有A和A (_)，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) (2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，则p＝________． 答案：(1)D　(2)或 解析：(1)随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1－m m 所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)． (2)因为X～B(3，p)，所以D(X)＝3p(1－p)， 由3p(1－p)＝，得p＝或p＝. 题型三　离散型随机变量方差的性质 例3　设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　　 ) A．－ B． C． D． 学生用书↓第73页 [思路点拨]　利用方差的定义和性质求解均可． 答案：D 解析：由题意知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，故D(X)＝×＋×＋ ×＝，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝. 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是用公式D(aX＋b)＝a2D(X)来求解． 对点练3.已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P p 若E(X)＝. (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． 解：由分布列的性质，得＋＋p＝1，解得p＝， 因为E(X)＝0×＋1×＋x＝， 所以x＝2. (1)D(X)＝×＋×＋×＝＝. (2)因为Y＝3X－2， 所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，所以＝. 题型四　均值、方差的实际应用 例4　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． [思路点拨]　　(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列． (2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值． 解：(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7； D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好． 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 第一步：比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高； 第二步：在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定； 第三步：下结论．依据方差的几何意义做出结论． 对点练4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 解：(1)由题意得ξ的取值范围是{2，3，4，5，6}．故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由题意知η的分布列为 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝，D(η)＝×＋×＋×＝.化简得解得故a∶b∶c＝3∶2∶1. 学生用书↓第74页 易错点　要准确理解随机变量取值的含义 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差． [易错分析]　弄不清随机变量X取值的含义是本题解题的易错点，X＝k表示前k－1把钥匙是从4把打不开房门的钥匙中取的，故P(X＝k)＝·. [误区警示]　准确理解题意是解决此类问题的关键． [正解]　设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5. X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门． P(X＝1)＝，P(X＝2)＝·＝，P(X＝3)＝·＝， P(X＝4)＝·＝，P(X＝5)＝·1＝， 故随机变量X的概率分布列为 X 1 2 3 4 5 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3. D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2× ＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. 1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 答案：B 解析：因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 若E(X)＝，则D(X)等于(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝， 所以D(X)＝×＋×＋×＝.故选B． 3．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　) A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 答案：B 解析：由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，所以1－p＝0.6，所以p＝0.4，n＝6. 4．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 2 a P b 其中a>0，b>0，且E(X)＝2，则b＝________， D(2X－1)＝________． 答案：　24 解析：由题意 解得b＝，a＝6.所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(6－2)2×＝6，所以D(2X－1)＝22·D(X)＝24. 学科网（北京）股份有限公司 $