4.2.3 二项分布与超几何分布(课时2）学案-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.3二项分布与超几何分布（课时2超几何分布） 1、 学习目标 1.理解超几何分布的概念，掌握超几何分布的概率公式 2.能利用超几何分布解决简单的实际问题，了解二项分布和超几何分布之间的关系 二、重难点 重点：理解超几何分布的概念，掌握超几何分布的概率公式运算 难点：二项分布和超几何分布之间区分 新知识导入 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件 (n≤N) ，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量.X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 是 M 与 n 中的较小者，t 在 n 不大于乙类物品件数（即 n≤N−M ）时取0，否则 t 取 n 减乙类物品件数之差（即 t=n−(N−M)），且 则 X 称为服从参数 N，n，M 的超几何分布，记作X~H(N，n，M). 三、知识梳理 1.超几何分布：一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件 (M < N) ，从所有物品中随机取出 n 件 ，则这 n 件中所含甲类物品数 X 是一个离散型随机变量，X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 是 M 与 n 中的较小者，t 在 n 不大于乙类物品件数（即 ）时取0，否则 t 取 n 减乙类物品件数之差（即 ），而且，，这里称 X 服从 的 ，记作 .，特别地，如果 X ~ H(N，n，M) 且 ，则 X 能取所有不大于 s 的自然数，此时 X 的分布列如下表所示. 2.二项分布与超几何分布的辨析：若 N 件产品中共有 M 件次品，当我们从这些产品中每次抽取一件，共抽取 n 次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到的次品数 X 服从的是 ；若是不放回地抽样且 ，则抽到的次品数 X 服从的是 . 四、例题讲解 例1 学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求P(X≤1). 例2 袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 例3某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，某人只能答对10道题目中的6道. （1）求在抽出的3道题目中，他能答对的题目数的分布列； （2）求他能通过初试的概率. 5、 课堂练习 1 某校团委举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为( ) A. B. C. D. 2.从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为( ) A. B. C. D. 3.一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为( ) A. B. C. D. 4.一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是( ) A. B. C. D. 5.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 六、课后练习 1.课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是( ) A. B. C. D. 2.一批零件共有10个，其中有2个不合格，随机抽取3个零件进行检测，则至少取到1件不合格的概率为( ) A. B. C. D. 3.某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是( ) A. B. C. D. 4.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件的概率等于的是( ) A.至少有1个深度贫困村 B.有1个或2个深度贫困村 C.有2个或3个深度贫困村 D.恰有2个深度贫困村 5.（多选）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是( ) A.两件都是一等品的概率是 B.两件中有1件是次品的概率是 C.两件都是正品的概率是 D.两件中至少有1件是一等品的概率是 6.（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( ) A.取出的白球个数X服从二项分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 7.（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( ) A. B. C.随机变量X服从超几何分布 D.随机变量X服从二项分布 9.设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则______________. 9.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的教师中女教师的人数为X，则_________. 答案及解析 三、知识梳理 1.参数为 N，n，M 超几何分布 X ~ H(N，n，M) 2.二项分布 超几何分布 四、例题讲解 例题1 解：由题意知，X 服从参数为7，3，2的超几何分布，即X~H(7，3，2). 例题2 解：（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为. 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此， 所以，， ，. 因此 的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数 服从参数为10,3,2的超几何分布，即Y~H(10，3，2)， 因此，，. 因此Y的分布列为 X 0 1 2 P 例题3 解：（1）设随机抽出的3道题目中，他能答对的题目数为X， 则，且X服从超几何分布， ,,,， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）要至少答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况， 即答对其中2道和答对3道，这两种情况是互斥的， 根据（1）的计算可得. 五、课堂练习 1.解析：由题意知，若X表示抽到高二年级同学的作品数，则，，，， ,故选A. 2.答案：A 解析：由题意，从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品， 则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为. 故选：A. 3.答案：B 解析：根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 4.答案：A 解析：一批产品共50件，其中有3件不合格品，有47件合格品， 所有的取法有种，恰有1件不合格品的取法有种， 故从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率为， 故选：A. 5.答案：A 解析：根据超几何分布的概念可知选A. 六、课后练习 1.答案：A 解析：由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布， 所以. 故选：A. 2.答案：A 解析:设X表示抽取的3个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，且， ，.因此，分布列为，. . 故选：A. 3.答案：D 解析：取值是：0，1，2，3，4，5， ，，， ，，， 所以. 故选：D. 4.答案：B 解析：用X表示这3个村中深度贫困村数，X服从超几何分布，则.所以，，，.因为，所以有1个或2个深度贫困村. 故选：B. 5.答案：ABD 解析：两件都是一等品的概率为， 两件中有一件次品的概率为， 两件都是正品的概率为， 两件中至少有1件是一等品的概率为：. 故选：ABD. 6.答案：BD 解析：对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确； 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故D正确. 故选：BD. 7.答案：BC 解析：由题意知随机变量X服从超几何分布; X的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， 故选：BC. 8.答案： 解析：由随机变量X服从超几何分布， 可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10， 根据超几何分布公式可得. 故答案为：. 9.答案： 解析：由题意可得，，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $