4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“n次独立重复试验与二项分布”核心知识点，先梳理n次独立重复试验的两大特点，再构建二项分布的分布列及公式，明确其与两点分布的联系与区别，形成从概念到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过微点助解、题型分类及思维建模，结合射击、产品抽样等实例，培养学生用数学眼光观察试验独立性，用数学思维推理概率计算，用数学语言表达分布规律。课中助力教师分层教学，课后辅助学生通过训练查漏补缺，强化知识应用。

　　 4.2.3　二项分布与超几何分布 第1课时　n次独立重复试验与二项分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.理解n次独立重复试验的模型. 2.掌握二项分布公式. 3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题. 1.n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. |微|点|助|解| n次独立重复试验的特点 (1)同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同. (2)各次试验的结果相互独立. 2.二项分布的分布列 一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n,因此X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … n P p0qn p1 … pkqn-k … pnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是(q+p)n展开式p0qn+p1qn-1+…+pkqn-k+…+pnq0中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p). |微|点|助|解| 二项分布与两点分布的区别与联系 两点分布 二项分布 区别 只有两个结果,这两个结果是对立的,即要么发生,要么不发生 在每次试验中只有两个结果,这两个结果是对立的,即要么发生,要么不发生,但在n次独立重复试验中共有n+1个结果 联系 两点分布是特殊的二项分布,即X~B(n,p)中,当n=1时,二项分布便是两点分布,也就是说二项分布是两点分布的一般形式 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在n次独立重复试验中,各次试验结果之间没有影响. (　　) (2)在n次独立重复试验中,各次试验成功的概率可以不同. (　　) (3)在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样. (　　) (4)某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮命中的次数X是一个随机变量,且X~B(10,0.6). (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次射击中,恰好有一次未击中目标的概率为 (　　) A.0.1×0.93 B.×0.13×0.9 C.0.13×0.93 D.×0.1×0.93 答案:D 3.在100件产品中有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则 (　　) A.X~B(100,0.05)　　　　　　　　B.X~B(10,0.05) C.X~B(1 000,95)　　　　　　　　D.X~B(10,0.95) 答案:B 4.若随机变量X服从二项分布B,则P(X=3)的值为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 答案:C 题型(一)　n次独立重复试验中的概率计算 [例1]　若某射击手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1),每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中,“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的,则p的值为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选D　因为射击手每次射击击中目标的概率为p,且每次射击的结果相互独立,由题可得p3(1-p)5=p5(1-p)3,即(1-p)2=p2,解得p=或p=(舍去). [例2]　2025年3月12日植树节期间,某乡镇政府为了发展农村经济,根据当地的地理优势,计划从A,B,C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A,B,C的概率分别为,,,若从当地村民中随机选取4人进行交流,则其中至少有2人愿意种植A,且至少有1人愿意种植B的概率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选D　4人中,至少有2人愿意种植A,且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种:①有2人愿意种植A,愿意种植B,C的各有1人,②有2人愿意种植A,有2人愿意种植B,③有3人愿意种植A,有1人愿意种植B,故所求概率P=××××+×××+××=. 　　|思|维|建|模|　独立重复试验求概率的三个步骤 判断 依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验 分拆 判断所求事件是否需要分拆 计算 就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算 　　[针对训练] 1.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动1个单位,共移动6次.求下列事件的概率. (1)质点回到原点; (2)质点位于4的位置. 解:设质点向右移动的次数为X,质点每隔1 s等可能地向左或向右移动1个单位,共移动6次,且每次移动是相互独立的,则X~B. (1)当质点回到原点时,X=3, 则P(X=3)=××=,所以质点回到原点的概率是. (2)当质点位于4的位置时,X=5,则P(X=5)=××=, 所以质点位于4的位置的概率是. 题型(二)　 二项分布的简单计算 [例3]　已知随机变量X~B(4,p),若P(X=2)=,则p= (　　) A.　　　　B.或　　　　C.　　　　D.或 解析:选D　因为X~B(4,p),所以P(X=2)=p2(1-p)2=6p2(1-p)2=,且0<p<1,整理可得p(1-p)=,解得p=或p=. [例4]　某人寿保险公司规定,投保人没活过65岁时,保险公司要赔偿100万元,活过65岁时,保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9,随机抽取3个投保人,设其中活过65岁的人数为X,保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元.则P(Y<200)= (　　) A.0.972　　　　　　　 B.0.729 C.0.486　　　　　　　 D.0.243 解析:选A　依题意知X~B(3,0.9),因为3个投保人中,活过65岁的人数为X,所以没活过65岁的人数为3-X,因此Y=100(3-X)+5X=300-95X(X=0,1,2,3).所以P(Y<200)=P(X=2)+P(X=3)=×0.92×(1-0.9)+×0.93=0.972. 　　|思|维|建|模| (1)当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能应用,否则不能应用该公式. ②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. 　　[针对训练] 2.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选C　易知P(ξ=0)=(1-p)2=1-,∴p=,则P(η≥2)=p3+p2(1-p)=+=. 3.已知随机变量X~B,若使P(X=k)的值最大,则k= (　　) A.6或7　　　　　　　 B.7或8 C.5或6　　　　　　　 D.7 解析:选A　由随机变量X~B,可得P(X=k)=pkq20-k,其中p=,q=.由==>1,解得k<6.当k=6时,==1,所以P(X=7)=P(X=6).当k>6时,P(X=k+1)<P(X=k),所以P(X=7)和P(X=6)的值最大. 题型(三)　二项分布的实际应用 [例5]　高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验. (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率; (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数不大于5,求第二小组所做的种子发芽试验次数ξ的分布列. 解:(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,则P(X=3)=××=,P(X=4)=××=,P(X=5)=××=,所以至少有3次发芽成功的概率为P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++=. (2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=5)==.所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 　　[变式拓展] 　在本例条件不变的情况下,求: (1)第一小组做了3次试验(每次试验种一粒种子),该小组试验成功的次数为X,求X的分布列; (2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 解:(1)由题意,得随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且X~B. 则P(X=0)=××=, P(X=1)=××=, P(X=2)=××=, P(X=3)=×=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败,3次成功,每次试验又是相互独立的, 因此所求概率为P=×××=. 　　|思|维|建|模| 　　对于综合题,首先要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种;其次要判断事件是A+B还是AB,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别应用事件的加法或乘法公式;最后选用相应的古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解. 　　[针对训练] 4.为了增加系统的可靠性,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉,如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,它们之间相互不影响,设能正常工作的设备数为X. (1)写出X的分布列; (2)求出计算机网络不会断掉的概率. 解:(1)由题意知,X~B(3,0.9), 则P(X=0)=×0.90×(1-0.9)3=0.001, P(X=1)=×0.91×(1-0.9)2=0.027, P(X=2)=×0.92×(1-0.9)1=0.243, P(X=3)=×0.93×(1-0.9)0=0.729, 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 (2)要使得计算机网络不会断掉,也就是要求能正常工作的设备至少有一台,即X≥1,因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.001=0.999. 学科网（北京）股份有限公司 $