4.2.3 第2课时 超几何分布-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案围绕超几何分布展开，引导学生理解超几何分布的概念、参数意义及概率计算方法，通过实例辨析、例题示范及与二项分布的对比，构建从离散型随机变量到超几何分布的知识脉络，搭建学习支架。 资料注重通过具体问题抽象数学概念，培养学生的数学抽象素养，分题型讲解及分层练习设计，助力学生提升逻辑推理与数学运算能力，帮助学生用数学思维分析实际问题，形成严谨的数学表达习惯。

数学　选择性必修 第二册 RJ 第2课时　超几何分布 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题． 教学重点：超几何分布的分布列及概率求解． 教学难点：二项分布与超几何分布的区别与联系． 核心素养：1.通过学习超几何分布的概念培养数学抽象素养.2.通过利用超几何分布解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，这里称X服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)． 特别地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … 1．(超几何分布的概念)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 答案：B 2．(对超几何分布中参数的理解)在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 答案：A 3．(超几何分布的概率计算)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________． 答案： 题型一　超几何分布的概念 例1　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三个骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列． [解]　(1)样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题． (2)样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题． (3)样本符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X表示抽取3件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布问题． (4)样本符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X表示抽取4件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布问题． (5)样本没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不是超几何分布问题． 【感悟提升】　判断一个随机变量是否服从超几何分布的三个关注点 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 【跟踪训练】　 1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 答案：B 解析：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布．故选B. 题型二　超几何分布的分布列 例2　某海域共有A型、B型两种搜救船10艘，其中A型船7艘，B型船3艘，假设每艘A型船的搜救能力指数为5，每艘B型船的搜救能力指数为10.现从这10艘船中随机抽出4艘执行搜救任务，设搜救能力指数为ξ，求ξ的分布列． [解]　解法一：依题意，ξ的取值范围为{20，25，30，35}，且P(ξ＝20)＝＝，P(ξ＝25)＝＝，P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝35)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 20 25 30 35 P 解法二：设随机抽取的4艘船中含有B型船的艘数为η，依题意，η服从超几何分布，且N＝10，n＝4，M＝3. 而搜救能力指数ξ＝10η＋5(4－η)＝20＋5η，其中η的取值范围为{0，1，2，3}， 所以ξ的取值范围为{20，25，30，35}， 且P(ξ＝20)＝P(η＝0)＝＝， P(ξ＝25)＝P(η＝1)＝＝， P(ξ＝30)＝P(η＝2)＝＝， P(ξ＝35)＝P(η＝3)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 20 25 30 35 P 【感悟提升】　求超几何分布的分布列的一般步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率模型为超几何分布模型； (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义； (3)列分布列：把求得的概率值通过表格表示出来． 【跟踪训练】　 2．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数． (1)求X的分布列； (2)求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 解：(1)依题意，X服从参数为10，4，6的超几何分布， 即X～H(10，4，6)， ∴P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)， ∴P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (2)解法一(直接法)： P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 解法二(间接法)： 由分布列的性质，得 P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]＝1－＝. 题型三　二项分布与超几何分布的区别与,联系) 例3　袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次抽取1个球． (1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． [解]　(1)由题意可知，X的取值范围为{0，1，2，3}，X～H(9，3，3)， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次取到黑球的概率均为＝， 由题意可知，Y的取值范围为{0，1，2，3}， Y～B， P(Y＝0)＝C××＝， P(Y＝1)＝C××＝， P(Y＝2)＝C××＝， P(Y＝3)＝C×＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 【感悟提升】　在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布． 区别 ①当n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 【跟踪训练】　 3．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表： 包装质量/克 [490，495] (495，500] (500，505] (505，510] (510，515] 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在(495，510]克的产品为一等品，其余为二等品． (1)估计从该流水线上任取1件产品为一等品的概率； (2)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列． 解：(1)样本中一共有3＋4＋7＋5＋1＝20件产品，包装质量在(495，510]克的产品有4＋7＋5＝16件，故从该流水线上任取1件产品为一等品的概率P＝＝. (2)依题意，X的取值范围为{0，1，2}， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P (3)依题意Y～B， 则Y的取值范围为{0，1，2}． P(Y＝0)＝C×＝， P(Y＝1)＝C××＝， P(Y＝2)＝C×＝. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 1.已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为X，则P(X＝3)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：X＝3表示选出的4名代表中有3名男生，1名女生，则P(X＝3)＝＝.故选C. 2．某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门，学校要求每位高中学生在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X≤3) B．P(X＝3) C．P(X≤5) D．P(X＝5) 答案：D 解析：某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生在高中三年内选学其中的8门课程，则有C种选法，因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门，则有C种选法，然后从其他9门课程中选3门，有C种选法，所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为.故选D. 3．(多选)在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列说法正确的是(　　) A．2件都不是一等品的概率为 B．2件恰有1件是一等品的概率为 C．2件至少有1件是一等品的概率为 D．2件至多有1件是一等品的概率为 答案：ABD 解析：2件都不是一等品的概率P1＝＝，A正确；2件恰有1件是一等品的概率P2＝＝，B正确；2件至少有1件是一等品的概率P3＝1－P1＝，C错误；2件至多有1件是一等品的概率P4＝P1＋P2＝＋＝，D正确．故选ABD. 4．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为________． 答案： 解析：由题意可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为1－＝1－＝. 5．已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球都是等可能的)，用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则a＝________，b＝________． X 0 1 2 P a b 答案：　 解析：由题意可得，P(X＝1)＝＝＝，解得n＝2或n＝1(舍去)，则a＝P(X＝0)＝＝，b＝P(X＝2)＝＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 超几何分布的概率计算 超几何分布的概率表示 已知超几何分布的概率求参数 由概率值判断对应的事件 超几何分布的概念及概率求解 利用超几何分布的参数求概率 超几何分布的概率、互斥事件的概率 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 超几何分布的概率与函数最值结合 古典概型、超几何分布的分布列 全概率公式；超几何分布的分布列 已知超几何分布的概率求参数 超几何分布的概率、互斥事件的概率 二项分布与超几何分布的综合 超几何分布的分布列、全概率公式、贝叶斯公式的综合 一、选择题 1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意知，10件产品中有2件次品，故P(恰好取到1件次品)＝＝. 2．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则下列概率为＋的是(　　) A．P(ξ≤1) B．P(ξ＝1) C．P(ξ>1) D．P(ξ>2) 答案：A 解析：由题意，随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，所以＋＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝P(ξ≤1)．故选A. 3．已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是，则a＝(　　) A．1 B．4或6 C．4 D．6 答案：B 解析：设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝＝＝，解得a＝4或a＝6.故选B. 4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是次品，现从盒中随机抽取4个，那么等于(　　) A．恰有1个是次品的概率 B．恰有2个是合格品的概率 C．4个全是合格品的概率 D．至多有2个是次品的概率 答案：B 解析：A中恰有1个是次品的概率为P1＝＝；B中恰有2个是合格品的概率为P2＝＝；C中4个全是合格品的概率为P3＝＝；D中至多有2个次品的概率为P4＝P1＋P2＋P3＝.故选B. 5．(多选)中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等，是中国民间的传统节日，中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗，流传至今，经久不息．在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝2)＝ B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D．P(1<X<4)＝ 答案：ACD 解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(1<X<4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，故A，D正确．故选ACD. 二、填空题 6．已知X～H(8，5，3)，则P(X＝2)＝________． 答案： 解析：因为X～H(8，5，3)，所以P(X＝2)＝＝. 7．在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替补队员组成代表队参加比赛．如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为________． 答案： 解析：将主力队员上场的人数记为X，则X>5－X，X>，则所求概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝. 8．一个袋中装有黑球、白球和红球共n(n∈N＋)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球，当n＝________时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，且最大概率为________． 答案：5　 解析：由题意，得袋中黑球的个数为(n＝5，10，15，20，…)．记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件C，则P(C)＝1－＝＋，所以当n＝5时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为. 三、解答题 9．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 解：(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M， 则P(M)＝＝. (2)由题意知，X的取值范围为{0，1，2，3，4}， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 10.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． (1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； (2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率． 解：(1)设“随机选取1件产品，能够通过检测”为事件A，则事件A等于事件“选取一等品通过检测或者选取二等品通过检测”， 则P(A)＝×1＋×＝. 故随机选取1件产品，能够通过检测的概率为. (2)由题意可知，X的取值范围为{0，1，2，3}． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”为事件B，则事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”， 所以P(B)＝×＝. 所以随机选取3件产品，这3件产品都不能通过检测的概率为. 11．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 答案：A 解析：用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5⇒＋>，所以＋>，结合n∈N＋，得15≤n≤50，即n至少为15.故选A. 12．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________． 答案： 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点，一共能组成三角形的个数为C＝10.其中直角三角形有△ABC，△ABD，△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故所求概率为P＝＋＝. 13．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸出4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回， ①求中一等奖的概率； ②若至少摸出3个红球就中奖，求中奖的概率． 解：(1)若摸出后放回，设摸出白球的个数为ξ， 则ξ～B，中一等奖即事件“ξ＝1”， 所以P(ξ＝1)＝C××＝. (2)设X表示“摸出的红球的个数”． ①由题意可知，X服从超几何分布(N＝30，n＝5，M＝10)，由公式得，P(X＝4)＝＝， 所以中一等奖的概率为. ②X的取值范围为{0，1，2，3，4，5}，根据公式可得，至少摸出3个红球的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝，故中奖的概率为. 14．ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF(人类反馈强化学习)技术．在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%. (1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这7个问题中抽取3个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列； (2)已知输入的问题出现语法错误的概率为15%， ①求ChatGPT的回答被采纳的概率； ②若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率． 解：(1)易知ξ的取值范围为{1，2，3}， 此时P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P (2)①记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“ChatGPT的回答被采纳”为事件C， 易知P(B)＝0.15，P(A)＝0.85，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5， 所以P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.85×0.9＋0.15×0.5＝0.84. ②若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率P(A|C)＝＝＝＝. 15 学科网（北京）股份有限公司 $