4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦离散型随机变量的均值，系统梳理从定义（分布列中取值与概率乘积之和）到性质（线性变换下均值的计算），再到两点分布、二项分布、超几何分布均值公式的知识脉络，搭建从概念理解到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过驾照考试次数、粽子抽取等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维推导均值公式与性质，以题型分类及思维建模帮助学生用数学语言表达分布规律。课中助力教师分层教学，课后训练可辅助学生巩固知识、查漏补缺。

4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. 1.离散型随机变量均值的定义 一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示,它刻画了X的平均取值. 2.几种常见分布的均值 (1)两点分布的均值:若X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p. (2)二项分布的均值:若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np. (3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)=. 3.均值的性质 若Y=aX+b,其中a,b为常数,a≠0,X是随机变量, (1)Y也是随机变量; (2)E(aX+b)=aE(X)+b. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化. (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4. (　　) (4)随机变量X的均值E(X)=. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.已知随机变量X~B,Y~H(10,m,2),若E(X)=E(Y),则m= (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 解析:选B　由题意得E(X)=np=,E(Y)===.因为E(X)=E(Y),所以=,解得m=3. 3.若随机变量X的分布列如表,则X的数学期望为　　　　.  X -1 2 4 5 P 0.2 0.35 0.25 0.2 解析:E(X)=-1×0.2+2×0.35+4×0.25+5×0.2=2.5. 答案:2.5 题型(一)　离散型随机变量的均值 [例1]　某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值. 解:由题意知X的取值为1,2,3,4, 则P(X=1)=0.6, P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28, P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096, P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. 所以一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. |思|维|建|模|　求离散型随机变量X均值的步骤 　　[针对训练] 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率; (2)设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与数学期望. 解:(1)依题意,既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=. (2)由题意得X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. 题型(二)　三种特殊分布的均值 [例2]　盲盒中有大小相同的3个红球,2个黑球,随机有放回的摸两次球,记X为摸到黑球的个数,随机无放回的摸两次球,记Y为摸到黑球的个数,则 (　　) A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 解析:选B　由题意可知X~B,则E(X)=2×=,D(X)=2××=. Y的可能取值为0,1,2, 则P(Y=0)==,P(Y=1)===, P(Y=2)==, 可得E(Y)=0×+1×+2×=, D(Y)=×+×+×=,所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y). [例3]　某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中的2道便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望; (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大? 解:(1)设甲正确完成面试的题数为X,乙正确完成面试的题数为Y,则X可取1,2,3,Y可取0,1,2,3, 则P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==. 所以甲正确完成面试题数X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)=1×+2×+3×=2. P(Y=0)=××=, P(Y=1)=××=, P(Y=2)=××=, P(Y=3)=××=, 所以乙正确完成面试题数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 则E(Y)=0×+1×+2×+3×=2. (2)由(1)得D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=, D(Y)=×(0-2)2+×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=. 因为D(X)<D(Y),所以甲的成绩更稳定,所以甲面试通过的可能性大. 　　|思|维|建|模| 求常见的几种分布的均值的关注点 (1)关键:根据题意准确判断分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,则可直接代入公式求得均值. 　　[针对训练] 2.某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡,“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员,占比20%,“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员,占比50%,“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员,占比30%.现对会员进行水果质量满意度调查,根据调查结果得知,1号会员对水果质量满意的概率为,2号会员对水果质量满意的概率为,3号会员对水果质量满意的概率为. (1)随机选取1名会员,求其对水果质量满意的概率; (2)从会员中随机抽取2人,记抽取的2人中,对水果质量满意的人数为X,求X的分布列和数学期望. 解:(1)设事件A:随机选取1名会员,其对水果质量满意,则P(A)=0.2×+0.5×+0.3×=. (2)由题意知X的可能取值为0,1,2,且X~B,则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=np=2×=. 题型(三)　离散型随机变量均值的性质 [例4]　已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　. 解析:由离散型随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=,∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X)=-2×=. 答案: 　　[变式拓展] 1.本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y). 解:由公式E(aX+b)=aE(X)+b及E(X)=-,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×-3=-. 2.本例条件不变,若Y=aX+3,且E(Y)=-,求a的值. 解:因为E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,所以a=15. 　　|思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 (1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值. (2)性质法:直接套用公式E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b求解即可. 　　[针对训练] 3.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则以下正确的是 (　　) A.E(X)= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= 解析:选D　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,故E(X)=0×+1×=,故A错误;E(2X+3)=2E(X)+3=,故B错误;E(2X+2)=2E(X)+2=,故C错误;E(2X+1)=2E(X)+1=,故D正确. 4.[多选]已知随机变量X的分布列为 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)=7.5,则以下结论正确的是 (　　) A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 解析:选BCD　由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;∵E(X)=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,故C正确;E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $