4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦随机变量核心知识点，系统梳理随机变量的定义、离散型与连续型分类，构建与事件的联系（如X=a、X≤b表示事件）及变量间线性关系（Y=aX+b）的学习支架，层层递进帮助学生理解概念内涵与应用逻辑。 资料以“多维理解+微点练明+典例解析”为特色，通过扑克牌取牌、取球等实例引导学生用数学眼光抽象随机变量，借助促销员工资等情境培养数学思维分析变量关系，用数学语言表达实际问题。课中助力概念辨析与例题讲解，课后通过针对性练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

4.2 随机变量 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其表示的事件. 3.理解随机变量之间的关系. 逐点清(一)　随机变量的概念 [多维理解] 　　随机变量的相关概念 定义 一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有唯一确定的实数值与之对应,就称X为一个随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围 分类 (1)离散型随机变量:随机变量的所有可能的取值可以一一列举出来. (2)连续型随机变量:连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值 |微|点|助|解| (1)随机变量的取值由随机试验的结果决定. (2)随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果,试验的结果对应着随机变量的值,即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数. [微点练明] 1.[多选]一副扑克牌共有54张牌,其中52张是正牌,另2张是副牌(大王和小王),从中任取4张,则随机变量可能为 (　　) A.所取牌数 B.所取正牌和大王的总数 C.这副牌中正牌数 D.取出的副牌的个数 解析:选BD　所取牌数为4,是一个常数,不是随机变量,所以A错误;4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3,4,所以是随机变量,所以B正确;这副牌中正牌数为52,是一个常数,不是随机变量,所以C错误;4张牌中所取出的副牌的个数可能为0,1,2,所以是随机变量,所以D正确.故选BD. 2.袋中有大小相同、质地均匀的5个黑球、3个白球,从中任取2个,则可以作为随机变量的是 (　　) A.至少取到1个黑球　　　　　　　　B.取到黑球的个数 C.至多取到1个黑球　　　　　　　　D.取到球的个数 解析:选B　根据随机变量的定义,正确的是B选项,其中A、C选项是事件,D选项取到球的个数是2,为确定值.故选B. 3.下列变量中,哪些是随机变量,哪些是离散型随机变量?并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量; (2)某单位办公室一天中接到电话的次数; (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数; (4)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 解:(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量. (4)由于果汁的容量在498 mL~502 mL之间波动,是随机变量,但不是离散型随机变量. 逐点清(二)　随机变量的取值与试验结果的对立　　　 [多维理解] 1.随机变量与事件的联系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且: (1)当a≠b时,事件X=a与X=b互斥; (2)事件X≤a与X>a相互对立,因此P(X≤a)+P(X>a)=1. 2.解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 (1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. (2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果. [微点练明] 1.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为 (　　) A.25　　　　B.10　　　　C.7　　　　D.6 解析:选C　X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9,共7个. 2.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为 (　　) A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 解析:选B　可能回答全对,两对一错,两错一对,全错四种结果,相应得分为300分,100分,-100分,-300分,因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个. 3.写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数; (2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和. 解:(1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,11,X=i表示“前(i-1)次取到的均是红球,第i次取到白球”,这里i=1,2,3,4,…,11. (2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,6,7. X=3表示“取出标有1,2的两张卡片”; X=4表示“取出标有1,3的两张卡片”; X=5表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”; X=6表示“取出标有2,4的两张卡片”; X=7表示“取出标有3,4的两张卡片”. 逐点清(三)　随机变量之间的关系 　　一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b). [典例]　某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的:底薪500元,每工作1 h再获取35元.从该商场促销员中任意抽取一名,设其月工作时间为X h,获取的税前月工资为Y元. (1)当X=80时,求Y的值; (2)若P(Y>2 950)=0.27,求P(X≤70)的值. 解:(1)由题意知Y=500+35X,当X=80时,Y=500+35×80=500+2 800=3 300. (2)当Y>2 950时,500+35X>2 950, ∴35X>2 450,解得X>70, 即P(Y>2 950)=P(X>70)=0.27. ∴P(X≤70)=1-P(X>70)=1-0.27=0.73. 　|思|维|建|模| 　求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对于变量间的关系问题,可类比函数关系求解. 　　[针对训练] 　某快递员是按下述方式获取税前月工资的:底薪1 200元,每送取一件商品获取3元.从该快递公司中任意抽取一名快递员,设其月送商品件数为X,获取的税前月工资为Y元. (1)写出X,Y之间的关系式; (2)当X=1 200时,求Y的值; (3)若P(X≤2 000)=0.6,求P(Y>7 200)的值. 解:(1)由题意得Y=3X+1 200. (2)当X=1 200时, Y=1 200×3+1 200=4 800. (3)当X≤2 000时,Y≤7 200, ∴P(X≤2 000)=P(Y≤7 200)=0.6, ∴P(Y>7 200)=1-P(Y≤7 200)=1-0.6=0.4. 学科网（北京）股份有限公司 $