4.2.2 离散型随机变量的分布列-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．2．2　离散型随机变量的分布列 1．理解离散型随机变量分布列的概念和性质，重点培养数学抽象核心素养． 2．掌握两点分布，会求简单的离散型随机变量的分布列，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　离散型随机变量的分布列 　同时掷两枚骰子向上的点数之和为X． ①求随机变量X的取值及其相应的概率； ②你能用表格表示随机变量取值及其相应概率吗？ 提示：①X的取值范围为{2,3,4，…，12}． P(X＝2)＝ ，P(X＝3)＝， P(X＝4)＝ ，P(X＝5)＝ ，P(X＝6)＝ ，P(X＝7)＝ ，P(X＝8)＝ ，P(X＝9)＝， P(X＝10)＝ ，P(X＝11)＝ ，P(X＝12)＝． ②能，列表表示为 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1．离散型随机变量的分布列 一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为离散型随机变量X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 2．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pk≥0，k＝1,2，…，n； (2)k＝p1＋p2＋…＋pn＝1． 3．当X与Y都是离散型随机变量而且Y＝aX＋b(a≠0)时，X与Y的分布列如下表所示： X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn Y＝aX＋b ax1＋b ax2＋b … axk＋b … axn＋b P p1 p2 … pk … pn [点睛] 1．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况． (2)离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示． 2．分布列的性质 (1)由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． (2)分布列的性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． 　两点分布 　篮球运动员罚球规则：命中的得1分，不中的得0分， 某运动员罚球命中的概率是P，X表示罚球一次得分，则X的分布列是什么？ 提示： X 1 0 P p 1－p 1．两点分布 一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1－p 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0—1分布)． 2．伯努利试验 一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的参数p也常被称为成功概率． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．(　　) (3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从两点分布．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．设离散型随机变量X的分布列如下 X 1 2 3 4 P p 则p的值为(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 解析：p＝1－－－＝． 答案：C 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　) A． B． C． D． 解析：掷两颗骰子包含的所有结果为C·C＝36种，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为＝． 答案：B 4．若随机变量ξ只能取两个值x1，x2，并且ξ取x1的概率是它取x2的概率的3倍，则P(ξ＝x2)＝________． 解析：因为P(ξ＝x1)＋P(ξ＝x2)＝1，P(ξ＝x1)＝3P(ξ＝x2)，∴P(ξ＝x2)＝． 答案： 　分布列的性质及其应用(变通探究) 　(本节例1迁移)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0．2 0．1 0．1 0．3 m 求η＝2X＋1的分布列． 【尝试解答】　由分布列的性质知，