4.2.1 随机变量及其与事件的联系 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.1随机变量及其与事件的联系 1、 学习目标 1. 了解随机变量的概念 2. 理解随机变量与随机事件的关系 3. 理解随机变量之间的关系 2、 重难点 重点：随机变量与随机事件的关系 难点：随机变量的概念理解和取值 新知识导入 为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω. (1)Ω中包含的样本点数目是多少？ (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对于Ω中每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且是随机选取，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值. 但对于不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中任意一个. 数学中，X这样的变量称为随机变量. 三、知识梳理 1.一般地，如果随机试验的样本空间为 ，而且对于 中的每一个样本点，变量 X 都有唯一确定的实数值与之对应，就称 X 为一个 . 随机变量一般用大写英文字母 X，Y，Z，或小写希腊字母 表示.随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的 . 2.一般地，如果 X 是一个随机变量，都是任意实数，那么 ，， 等都表示事件，而且： （1） 当 时，事件 与 ； （2） 事件 与 相互对立，因此 . 3.随机变量之间的关系：一般地，如果 X 是一个随机变量， 都是实数且 ，则 也是一个随机变量. 由于 的充要条件是 ，因此 . 四、例题讲解 例1 先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω. （1）借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω； （2）求出随机变量X的取值范围. 例2为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元.假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50.从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为Y元，则X与Y均为随机变量. （1）当X=3时，Y的值是多少？总结X与Y之间的关系. （2）分别写出X，Y的取值范围. 例3 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作一小时获取30元.从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元. （1）当X=110时，求Y的值； （2）写出X与Y之间的关系式； （3）若P（X≤120）=0.6，求P（Y>4600）的值. 五、课堂练习 1.袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是( ) A.0，1，2 B.1，2，3 C.2，3，4 D.0，1，2，3 2.一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( ) A.所取球的个数 B.其中含红球的个数 C.所取白球与红球的总数 D.袋中球的总数 3.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) A.两次掷得的点数 B.两次掷得的点数之和 C.两次掷得的最大点数 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 4.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( ) A.5 B.9 C.10 D.25 5.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( ) A.出现7点的次数 B.出现偶数点的次数 C.出现2点的次数 D.出现的点数大于2小于6的次数 6.某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则表示的试验结果是( ) A.第4次投篮命中 B.第4次投篮未命中 C.前3次投篮均未命中 D.投篮命中4次 7.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，… 8.从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是( ) A.至多取到1个黑球 B.至少取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 9.在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值是___________. 10.在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，甲、乙两队进行抢答，比赛规定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得 -1分），若每道抢答题都有队伍抢答，X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是________. 六、课后练习 1.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为( ) A. B. C. D. 2.甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场.用表示甲的得分，则表示( ) A.甲赢三场 B.甲赢一场、输两场 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 3.抛掷两枚骰子，如果将其正面向上的点数之和记为X，那么表示的随机试验结果是( ). A.一枚是3点，另一枚是1点 B.一枚是3点，另一枚是1点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 4.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元，从中任取2支，若以Y表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则Y的所有可能取值为( ) A.10，20，30，40，50，60，70，80 B.10，20，30，40，50，60，70 C.10，20，30，40 D.20，30，40 5.下列变量中不是随机变量的是( ) A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数 C.标准状态下，水在100℃时会沸腾 D.某人早晨在车站等出租车的时间 6.（多选）下列说法正确的是( ) A.随机变量的取值只能是有限个 B.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，“出现正面的次数”为随机变量 C.随机变量是用来表示不同试验结果的量 D.体积为的球的半径是随机变量 7.（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为( ) A.所取牌的个数 B.所取正牌和大王的总数 C.这副牌中正牌的个数 D.取出的副牌的个数 8.（多选）下列变量是随机变量的是( ) A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数 B.一台机器在一段时间内出现故障的次数 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D.方程的实根个数 9.（多选）如果是一个随机变量，那么下列命题中的真命题有( ) A.的每一个可能值的概率都是非负数 B.的所有可能值的概率之和是1 C.的取值与自然数一一对应 D.的取值是实数 10.下列对于随机变量的说法正确的是___________________(填写出所有正确的序号). ①随机事件个数与随机变量一一对应； ②随机变量与自然数一一对应； ③随机变量的取值是实数. 答案及解析 三、知识梳理 1.随机变量 取值范围 2.互斥 3. 四、例题讲解 例题1 解：(1)用FZ表示第1枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上，其他事件用相同方法表示，则样本空间Ω={FF，FZ，ZF，ZZ} (2)因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一枚硬币正面朝上，还有可能两枚硬币都正面朝上，因此X的取值范围是{0，1，2}. 例题2 （1）因为 X=3 表示超额完成了3件产品， 所以按照奖励制度可知 Y= 100×3=300. 依照题意可知 Y=100X. （2）由于 X 的取值范围是 {0，1，2，3，⋯，50}， 因此 Y 的取值范围是{0，100，200，300，⋯，5000}. 例题3 解：（1）当X=110时，表示工作了110个小时， 所以Y=110×3+1000=4300. （3） 根据题意有Y=30X+1000. （3）∵X≤120 ⇔ 30X≤3600 ⇔ 30X+1000≤4600 ⇔ Y≤4600， ∴P(Y≤4600)=P(X≤120) = 0.6， 从而P(Y>4600) = 0.4. 五、课堂练习 1.答案：D 解析：因为10个球中有3个白球，7个红球 所以从中任意取3个出来，取出的白球数量可能为0个、1个、2个、3个， 故选：D. 2.答案：B 解析：对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确； 对于B：从中任取2个其中含红球的个数为0，1，2是随机变量，故选项B正确； 对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确； 对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确； 故选：B. 3.答案：A 解析：因为随机变量为一个变量， 而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数， 所以不能作为随机变量， 故选：A. 4.答案：B 解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个. 故选：B. 5.答案：A 解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，∴出现7点的次数不能作为随机变量. 6.答案：C 解析：根据变量X的意义可知：表示前3次投篮均未命中， 可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C. 7.答案：B 解析：从袋中每次取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球. 8.答案：C 解析：根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，是不确定的，由试验结果决定，满足条件的只有取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C. 9.答案：300，100，-100，-300 解析：可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分. 10.答案：-1，0，1，2，3 解析：表示甲队抢到1道题且答错，乙队抢到2道题且均答错.表示甲队没有抢到题，乙队抢到3道题且至少答错其中的2道题，或甲队抢到2道题且答对1道题，答错1道题，乙队抢到1道题且答错.表示甲队抢到1道题且答对，乙队抢到2道题且至少答错其中的1道题，或甲队抢到3道题且答对其中的2道题，乙队没有抢到题.表示甲队抢到2道题且均答对.表示甲队抢到3道题且均答对.则X的可能取值是-1，0，1，2，3. 六、课后练习 1.答案：B 解析：根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故. 故选：B. 2.答案：D 解析：由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以可以分成两种情况，即或，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次. 故选：D. 3.答案：B 解析：由题意知表示的随机试验结果为一枚是3点，另一枚是1点或两枚都是2点. 4.答案：D 解析：任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为，，，，，，故取到的钢笔的较高单价为20元，30元，40元，即Y的所有可能取值为20，30，40. 5.答案：C 解析：由随机变量的概念可知，标准状态下，水在100℃时会沸腾不是随机变量. 6.答案：BC 解析：因为随机变量的每一个取值均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个，因此A错误； 因为抛掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，的取值是0，1，因此B正确； 由随机变量的定义可知选项C正确； 球的体积为时，球的半径为定值，不是随机变量.D错误. 故选：BC. 7.答案：BD 解析：对于A，所取牌的个数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误； 对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确； 对于C，这副牌中正牌的个数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误； 对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确. 故选：BD. 8.答案：ABC 解析：随机变量的定义：做一次试验，其结果有多种可能；选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确；方程的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.故选：ABC. 9.答案：ABD 解析：根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 10.答案：③ 解析：引入随机变量，使我们可以研究一个随机试验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确. 学科网（北京）股份有限公司 $