4.1.3 独立性与条件概率的关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“独立性与条件概率的关系”核心知识点，前承条件概率基础，通过“P(A|B)=P(A)”建立相互独立事件的充要条件，结合乘法公式“P(AB)=P(A)P(B)”深化理解，对比互斥与独立事件的概率关系，构建完整知识支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，从概念性质到基础训练，再到判断、计算、实际应用三类题型，通过射击、猜成语等实例培养数学眼光与思维。课中助教师分层教学，课后学生可借训练查漏补缺，强化知识应用能力。

4.1.3　独立性与条件概率的关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件,会对事件的独立性进行判断. 2.掌握相互独立事件概率的乘法公式,会求相互独立事件同时发生的概率. 1.相互独立的概念 当P(B)>0时,A,B独立的充要条件是P(A|B)=P(A),且有P(A∩B)(或P(AB))=P(A)P(B). 2.相互独立的性质 (1)一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立. (2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). |微|点|助|解| 　 　　一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A∪B. (2)A,B都发生为事件AB. (3)A,B都不发生为事件 . (4)A,B恰有一个发生为事件A∪B. 它们之间的概率关系如表所示. A,B互斥 A,B相互独立 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1-[P(A)+P(B)] P()P() 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　) (3)如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B). (　　) (4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.9与0.6,且预报准确与否相互独立,求在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率. 解:甲气象台预报不准确的概率为1-0.9=0.1,乙气象台预报不准确的概率为1-0.6=0.4,故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是0.1×0.4=0.04. 题型(一)　相互独立事件的判断 [例1]　判断下列事件是否相互独立: (1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以两个事件相互独立. (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不相互独立. |思|维|建|模| 两个事件是否相互独立的判断方法 直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B相互独立. (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B) 判断. 　　[针对训练] 1.[多选]下列事件A,B不是相互独立事件的是 (　　) A.一枚硬币掷两次,事件A表示“第一次为正面向上”,事件B表示“第二次为反面向上” B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两次,每次摸一个球,事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,事件A表示“出现点数为奇数”,事件B表示“出现点数为偶数” D.事件A表示“人能活到20岁”,事件B表示“人能活到50岁” 解析:选BCD　对于A,A,B两个事件发生没有关系,故是相互独立事件;对于B,A事件发生时,影响到B事件,故不是相互独立事件;对于C,由于掷的是同一枚骰子,A,B是对立事件,所以不是相互独立事件;对于D,能活到20岁的,可能也能活到50岁,故A,B不是相互独立事件,故选BCD. 2.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析:选B　P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).故选B. 题型(二)　相互独立事件发生的概率 [例2]　甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率. 解:记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与,与为相互独立事件,P(A)=0.8,P(B)=0.9. (1)2人都射中目标的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72, ∴2人都射中目标的概率是0.72. (2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件A发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件B发生).根据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式,得所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26, ∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)法一　2人至少有1人射中目标包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+P(A)+P(B)=0.72+0.26=0.98. 法二　“2人至少有一人射中目标”与“2人都未射中目标”为对立事件,2人都未射中目标的概率是P( )=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02, ∴2人至少有1人射中目标的概率为P=1-P( )=1-0.02=0.98. |思|维|建|模| 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积. 　　[针对训练] 3.某地医疗科研机构都在研究某种疫苗,现有甲、乙、丙三个独立的科研机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)恰有一个机构研制出疫苗的概率; (3)至少有一个机构研制出疫苗的概率. 解:设“甲机构在一定时期内能研制出疫苗”为事件A,“乙机构在一定时期内能研制出疫苗”为事件B,“丙机构在一定时期内能研制出疫苗”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)他们都研制出疫苗的概率为 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=. (2)设“恰有一个机构研制出疫苗”为事件M, 则P(M)=P(A ∪ B∪ C)=P(A )+P( B )+P( C) =××+××+××=. (3)设“至少有一个机构研制出疫苗”为事件N, 则P(N)=1-P( )=1-P()P()P()=1-××=. 题型(三)　相互独立事件的实际应用 [例3]　甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为p,乙每轮猜对的概率为q.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知每轮甲、乙同时猜错的概率为,恰有一人猜错的概率为. (1)求p和q; (2)若p>q,求“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率. 解:(1)设M表示事件“每轮甲、乙同时猜错”,N表示事件“恰有一人猜错”, 则P(M)=(1-p)(1-q)=, P(N)=(1-p)q+p(1-q)=, 解得p=,q=或p=,q=. (2)由p>q和(1)可知p=,q=, 设Ai表示事件甲在两轮中猜对i个成语, Bi表示事件乙在两轮中猜对i个成语(i=0,1,2), X表示“星队”在两轮活动中猜对成语的个数, 由于两轮猜的结果相互独立, 所以P(X=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=++=, 所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为. |思|维|建|模| (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． 　　[针对训练] 4.甲、乙进行射击比赛,两人轮流朝一个靶射击,若击中靶心得3分,击中靶心以外的区域得1分,两人得分之和大于或等于6分即结束比赛,且规定最后射击的人获胜,假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶,经过抽签,甲先射击. (1)求甲需要射击三次的概率; (2)比赛结束时两人得分之差最大为多少?求这个最大值发生的概率; (3)求乙获胜的概率. 解:(1)甲需要射击三次,则两人前四次射击均只得1分,所以甲需要射击三次的概率为=. (2)比赛结束时,两人得分之差最大为5分,他们得分情况为:甲3,乙1,甲3,所以这个最大值发生的概率为××=. (3)根据他们轮流射击的得分,分四种情况: ①甲3,乙3,概率为=; ②甲1,乙1,甲1,乙3,概率为×=; ③前三次射击中有一次3分,两次1分,概率为××=; ④前五次射击均得1分,概率为=. 所以乙获胜的概率为+++=. 学科网（北京）股份有限公司 $