4.1.3 独立性与条件概率的关系(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 件的２倍，现任取一零件，则它是合格品的概率 为 （Ｄ ） Ａ． ０． ２１ Ｂ． ０． ０６ Ｃ． ０． ９４ Ｄ． ０． ９５ ５．袋中有１０个黑球，５个白球．现掷一枚均匀的骰 子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出 的球全是白球，则掷出３点的概率为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［９         ］ ４． １． ３　 独立性与条件概率的关系 !"#$%&'( 课程标准 １．了解独立性与条件概率的关系． ２．会求相互独立事件同时发生的概率． ３．综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题． 学法解读 １．通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养． ２．借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养． )*+,%-.+ 事件的独立性 　 　 （１）事件Ａ与Ｂ相互独立的充要条件是 Ｐ（ＡＢ）＝ 　 　 　 　 　 ． （２）当Ｐ（Ｂ）＞０时，Ａ与Ｂ独立的充要条件是 Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ）． 思考：如果Ｐ（Ａ）＞０，Ａ与Ｂ独立，则Ｐ（Ｂ ｜Ａ） ＝ Ｐ（Ｂ）成立吗          ？ /012%345 题型探究 题型一 相互独立事件的判断 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．判断下列各对事件是否相互独立事件． （１）甲组３名男生，２名女生；乙组２名男生， ３名女生．现从甲、乙两组中各选１名同学参加演 讲比赛，“从甲组中选出１名男生”与“从乙组中 选出１名女生”； 　 　 （２）容器内盛有５个白乒乓球和３个黄乒乓 球，“从８个球中任意取出１个，取出的是白球”与 “从剩下的７个球中任意取出１个，取出的还是白 球”； （３）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 ３点或６点”． ［分析］　 常用定义法、公式法判断两个事件 是否相互独立                ． !$% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 判断事件是否相互独立的方法 １．定义法：事件Ａ，Ｂ相互独立Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． ２．由事件本身的性质直接判定两个事件发生 是否相互影响． ３．条件概率法：当Ｐ（Ａ）＞０时，可用Ｐ（Ｂ ｜ Ａ） ＝ Ｐ（Ｂ）判断． 对点训练? 从一副不含大小王的扑克 牌（５２张）中任抽一张，记事件Ａ为“抽得Ｋ”，记 事件Ｂ为“抽得红牌”，则事件Ａ与Ｂ是不是相互 独立事件？ 题型二 相互独立事件发生的概率 ２．面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都 在研究疫苗，现有Ａ，Ｂ，Ｃ三个独立的研究机构在 一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是１５， １ ４， １ ３ ．求： （１）他们都研制出疫苗的概率； （２）他们都失败的概率； （３）他们能够研制出疫苗的概率． ［分析］　 明确已知事件的概率及其关系，再 把待求事件的概率表示成已知事件的概率，最后 选择公式计算求值． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．求相互独立事件同时发生 的概率的步骤 （１）首先确定各事件之间是相互独立的． （２）确定这些事件可以同时发生． （３）求出每个事件的概率，再求积． ２．使用相互独立事件同时发生的概率计算公 式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互 独立的，而且它们能同时发生． 对点训练? 甲、乙两人各射击一次，击 中目标的概率分别为２３和 ３ ４ ．假设两人射击是否 击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否 击中目标相互之间也没有影响． （１）求甲、乙各射击一次均击中目标概率； （２）求甲射击４次，恰有３次连续击中目标的 概率； （３）若乙在射击中出现连续２次击中目标则 会被终止射击，求乙恰好射击４次后被终止射击 的概率                                                                        ． !$& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型三 相互独立事件概率的综合应用 ３．三支球队中，甲队胜乙队的概率为０． ４，乙 队胜丙队的概率为０． ５，丙队胜甲队的概率为０． ６， 比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一 局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一 局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败 者，求乙队连胜四局的概率． ［分析］　 乙队每局胜利的事件是相互独立 的，可由其公式计算概率． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 （１）求复杂事件的概率一般可 分三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适 当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系，列 出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概 率公式进行计算． （２）直接计算符合条件的事件个数较复杂， 可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件 的概率，再求出符合条件的事件的概率． 对点训练? 在一段线路中并联着３个自 动控制的常开开关，只要其中１个开关能够闭合， 线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是０． ７，计算在这段时间内线 路正常工作的概率． 易错警示 　 　 因混淆独立事件和互斥事件而致错 ４．设事件Ａ与Ｂ相互独立，两个事件中只有 Ａ发生的概率和只有Ｂ发生的概率都是１４，求事 件Ａ和事件Ｂ同时发生的概率． ［错解］　 ∵ Ａ与Ｂ相互独立，且只有Ａ发生 的概率和只有Ｂ发生的概率都是１４， ∴ Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ １４，∴ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）· Ｐ（Ｂ）＝ １４ × １ ４ ＝ １ １６． ［辨析］　 在Ａ与Ｂ中只有Ａ发生是指Ａ发 生和Ｂ不发生这两个事件同时发生，即事件Ａ Ｂ 发生． ［正解］                                                          　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知事件Ａ、Ｂ相互独立，且Ｐ（Ａ）＝ ０． ４，Ｐ（Ｂ） ＝０． ５，则Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ （Ｃ ） Ａ． ０． ６ Ｂ． ０． ５ Ｃ． ０． ４ Ｄ． ０． １ ２．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个 数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落 在奇数所在区域的概率是 （Ａ ） Ａ． ４９ Ｂ． ２ ９ Ｃ． ２ ３ Ｄ． １          ３ !$' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ３．甲、乙两班各有３６名同学，甲班有９名三好学 生，乙班有６名三好学生，两班各派１名同学参 加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概率 是 （Ｃ ） Ａ． ５２４ Ｂ． ５ １２ Ｃ． １ ２４ Ｄ． ３ ８ ４．有６个相同的球，分别标有数字１，２，３，４，５，６， 从中有放回地随机取两次，每次取１个球．甲表 示事件“第一次取出的球的数字是１”，乙表示 事件“第二次取出的球的数字是２”，丙表示事 件“两次取出的球的数字之和是８”，丁表示事 件“两次取出的球的数字之和是７”，则（ 　 ） Ａ．甲与丙相互独立 Ｂ．甲与丁相互独立 Ｃ．乙与丙相互独立 Ｄ．丙与丁相互独立 ５．加工某零件需经过三道工序，每道工序均为正 品时该零件才为正品．设第一、二、三道工序的 次品率分别为１７０， １ ６９， １ ６８，且各道工序互不影响， 则加工出来的零件的正品率为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１０                   ］ ４． ２　 随机变量 ４． ２． １　 随机变量及其与事件的联系 !"#$%&'( 课程标准 １．理解随机变量的含义． ２．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义． ３．会借助随机变量间的关系解题． 学法解读 １．通过学习随机变量，培养数学抽象的素养． ２．借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养． )*+,%-.+ 随机变量 　 　 （１）定义：一般地，如果随机试验的样本空间 为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量Ｘ都对 应有　 　 　 　 的实数值，就称Ｘ为一个随机变量． （２）表示：用大写英文字母Ｘ，Ｙ，Ｚ，…或小写 希腊字每ξ，η，ζ，…表示． （３）取值范围：随机变量所有可能　 的取值 组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 思考：随机变量与随机试验的结果的关系是 怎样的                ？ !$( （２）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）Ｐ（Ｂ） ＝ ０． ５ × ０． ０５ ０． ４７５ ＝ １ １９ ． 　 　 对点训练３：设Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３ 分别表示事件任取的零件为甲、 乙、丙机器生产的，Ａ：抽取的零件是不合格品，由条件知， Ｐ（Ｂ１）＝ ０． ４０，Ｐ（Ｂ２）＝ ０． ２５，Ｐ（Ｂ３）＝ ０． ３５， Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）＝ ０． １０，Ｐ（Ａ ｜Ｂ２）＝ ０． ０５，Ｐ（Ａ ｜Ｂ３）＝ ０． ０１， （１）所求概率为Ｐ（Ｂ１ ｜ Ａ），Ｐ（Ｂ１ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）  ３ ｊ ＝ １ Ｐ（Ｂｊ）Ｐ（Ａ ｜Ｂｊ） ≈ ０． ７１４． （２）类似（１）的计算可得Ｐ（Ｂ２ ｜ Ａ）≈０． ２２３，Ｐ（Ｂ３ ｜ Ａ）≈ ０． ０６３，比较可知是机器甲生产出来的可能性大． 　 　 例４：ＢＣＤ　 由条件概率的计算公式知Ａ错误；Ｂ，Ｃ显然正 确；Ｄ选项中，因为Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ），故Ｄ正确． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ２． Ｃ　 　 ３． Ｃ　 　 ４． Ｄ　 ５． ０． ０４８ ３５　 设Ｂ ＝｛取出的球全是白球｝， Ａｉ ＝｛掷出ｉ点｝（ｉ ＝ １，２，…，６）， 由贝叶斯公式，得： Ｐ（Ａ３ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ ｜Ａ３）  ６ ｉ ＝ １ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ ｜Ａｉ） ＝ １ ６ × Ｃ３５ Ｃ３１５  ６ ｉ ＝ １ １ ６ × Ｃｉ５ Ｃｉ１５ ＝ ０． ０４８ ３５． ４． １． ３　 独立性与条件概率的关系 必备知识·探新知 　 　 知识点　 （１）Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） 思考：成立． Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ） ＝ Ｐ（Ｂ）． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）“从甲组中选出１名男生”这一事件星否发生，对 “从乙组中选出１名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以 它们是相互独立事件． （２）“从８个球中任意取出１个，取出的是白球”的概率为 ５ ８ ，若这一事件发生了，则“从剩下的７个球中任意取出１个，取 出的仍是白球”的概率为４７ ；若前一事件没有发生，则后一事件 发生的概率为５７ ，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的 概率有影响，所以二者不是相互独立事件． （３）法一：记Ａ：出现偶数点，Ｂ：出现３点或６点，则Ａ ＝｛２， ４，６｝，Ｂ ＝｛３，６｝，ＡＢ ＝｛６｝， ∴ Ｐ（Ａ）＝ ３６ ＝ １ ２ ，Ｐ（Ｂ）＝ ２ ６ ＝ １ ３ ，Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ １ ６ ． ∴ Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）， ∴事件Ａ与Ｂ相互独立． 法二：由法一可知Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ １３ ， 又Ｐ（Ｂ）＝ ２６ ＝ １ ３ ， ∴ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）， ∴事件Ａ与Ｂ相互独立． 　 　 对点训练１：因为５２张牌中有４张Ｋ， 所以Ｐ（Ａ）＝ ４５２ ＝ １ １３，红牌有２６张，红Ｋ有２张，所以在抽 得红牌的条件下抽得Ｋ的概率Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ２２６ ＝ １ １３ ＝ Ｐ（Ａ），因此 事件Ａ与Ｂ相互独立． 　 　 例２：令事件Ａ，Ｂ，Ｃ分别表示Ａ，Ｂ，Ｃ三个独立的研究机构 在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件Ａ，Ｂ，Ｃ相 互独立，且Ｐ（Ａ）＝ １５ ，Ｐ（Ｂ）＝ １ ４ ，Ｐ（Ｃ）＝ １ ３ ． （１）他们都研制出疫苗，即事件Ａ，Ｂ，Ｃ同时发生，故 Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝ １５ × １ ４ × １ ３ ＝ １ ６０ ． （２）他们都失败即事件Ａ，Ｂ，Ｃ同时发生，故 Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ） ＝（１ － Ｐ（Ａ））（１ － Ｐ（Ｂ））（１ － Ｐ（Ｃ）） ＝ １ －( )１５ １ －( )１４ １ －( )１３ ＝ ４５ × ３ ４ × ２ ３ ＝ ２ ５ ． （３）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结 合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 Ｐ ＝ １ － Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝ １ － ２５ ＝ ３ ５ ． 　 　 对点训练２：（１）记事件Ａ表示“甲击中目标”，事件Ｂ表示 “乙击中目标”． 依题意知，事件Ａ和事件Ｂ相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）· Ｐ（Ｂ）＝ ２３ × ３ ４ ＝ １ ２ ． （２）记事件Ａｉ表示“甲第ｉ次射击击中目标”（其中ｉ ＝ １，２， ３，４），并记“甲４次射击恰有３次连续击中目标”为事件Ｃ， 则Ｃ ＝ Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４∪Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４，且Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４与Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４ 是互 斥事件． 由于Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４之间相互独立， 所以Ａｉ与Ａｊ（ｉ，ｊ ＝１，２，３，４，且ｉ≠ｊ）之间也相互独立． 由于Ｐ（Ａ１）＝ Ｐ（Ａ２）＝ Ｐ（Ａ３）＝ Ｐ（Ａ４）＝ ２３ ， 故Ｐ（Ｃ）＝ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３ Ａ４∪Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４） ＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ４）＋Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ４） ＝ ( )２３ ３ × １３ ＋ １ ３ × ( )２３ ３ ＝ １６８１ ． （３）记事件Ｂｉ表示“乙第ｉ次射击击中目标”（其中ｉ ＝ １，２， ３，４），并记事件Ｄ表示“乙在第４次射击后终止射击”， 则Ｄ ＝ Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４∪Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４， 且Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４与Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４是互斥事件． 由于Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，Ｂ４之间相互独立， 所以Ｂｉ与Ｂｊ（ｉ，ｊ ＝１，２，３，４，且ｉ≠ｊ）之间也相互独立． 由于Ｐ（Ｂｉ）＝ ３４ （ｉ ＝ １，２，３，４）， 故Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４∪Ｂ１Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４） ＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ｂ３）Ｐ（Ｂ４）＋ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ｂ３）Ｐ（Ｂ４） ＝ ( )３４ ２ × ( )１４ ２ ＋ ３４ × ( )１４ ３ ＝ ３６４ ． 　 　 例３：设乙队连胜四局为事件Ａ，有下列情况： 第一局中乙胜甲（Ａ１），其概率为１ － ０． ４ ＝ ０． ６， 第二局中乙胜丙（Ａ２），其概率为０． ５， 第三局中乙胜甲（Ａ３），其概率为１ － ０． ４ ＝ ０． ６， 第四局中乙胜丙（Ａ４），其概率为０． ５， 因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为 Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４）＝（０． ６）２·（０． ５）２ ＝ ０． ０９． 　 　 对点训练３：如图所示，分别记这段 时间内开关ＪＡ，ＪＢ，ＪＣ 能够闭合为事件 Ａ，Ｂ，Ｃ．由题意，这段时间内３个开关是 否能够闭合相互之间没有影响，                                                                      根据相 —１３６— 互独立事件的概率乘法公式，这段时间内３个开关都不能闭合 的概率是Ｐ（ＡＢＣ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ） ＝［１ － Ｐ（Ａ）］［１ － Ｐ（Ｂ）］［１ － Ｐ（Ｃ）］ ＝（１ － ０． ７）（１ － ０． ７）（１ － ０． ７）＝ ０． ０２７， 于是这段时间内至少有１个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是１ － Ｐ（ＡＢＣ）＝ １ － ０． ０２７ ＝ ０． ９７３． 　 　 例４：在相互独立事件Ａ和Ｂ中，只有Ａ发生即事件Ａ Ｂ发 生，只有Ｂ发生即事件ＡＢ发生． ∵ Ａ和Ｂ相互独立，∴ Ａ与Ｂ，Ａ和Ｂ也相互独立． ∴ Ｐ（Ａ Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·［１ － Ｐ（Ｂ）］＝ １４ ，① Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝［１ － Ｐ（Ａ）］·Ｐ（Ｂ）＝ １４ ．② ① －②得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）．③ 联立①③可解得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ １２ ． ∴ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 因为事件Ａ、Ｂ相互独立，所以Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＝ ０． ４． ２．Ａ　 设Ａ表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则Ｐ（Ａ） ＝ ２３ ，Ｂ表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则Ｐ（Ｂ） ＝ ２３ ．故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ２ ３ × ２ ３ ＝ ４ ９ ． ３． Ｃ　 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件Ａ，Ｂ分别为 甲班、乙班派出的三好学生，则事件ＡＢ为两班派出的都是三 好学生，则Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ９３６ × ６ ３６ ＝ １ ２４ ． ４． Ｂ　 事件甲发生的概率Ｐ（甲）＝ １６ ，事件乙发生的概率Ｐ（乙） ＝ １６ ，事件丙发生的概率Ｐ（丙）＝ ５ ６ × ６ ＝ ５ ３６，事件丁发生的 概率Ｐ（丁）＝ ６６ × ６ ＝ １ ６ ．事件甲与事件丙同时发生的概率为 ０，Ｐ（甲丙）≠Ｐ（甲）Ｐ（丙），故Ａ错误；事件甲与事件丁同时 发生的概率为１６ × ６ ＝ １ ３６，Ｐ（甲丁）＝ Ｐ（甲）Ｐ（丁），故Ｂ正确； 事件乙与事件丙同时发生的概率为１６ × ６ ＝ １ ３６，Ｐ（乙丙）≠ Ｐ（乙）Ｐ（丙），故Ｃ错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相 互独立事件，故Ｄ错误．选Ｂ． ５． ６７７０ 　 ［解析］　 加工出来的零件的正品率为１ － １( )７０ × １ － １( )６９ × １ － １( )６８ ＝ ６７７０ ． ４． ２　 随机变量 ４． ２． １　 随机变量及其与事件的联系 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）唯一确定　 （３）所有可能 思考：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果， 试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是 试验结果所对应的数． 　 　 知识点２　 （１）互斥　 （２）对立　 １ 　 　 知识点３　 （２）离散型　 区间 　 　 知识点４　 随机变量　 Ｐ（Ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ） 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ｃ　 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随 机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变 量．故选Ｃ． 　 　 对点训练１：（１）在标准大气压下，水沸腾的温度是１００ ℃， 是常量，故不是随机变量． （２）王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随 机变量． （３）作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因 此是随机变量． （４）体积是６４ ｃｍ３的正方体的棱长是４ ｃｍ，因此不是随机 定量． 　 　 例２：（１）Ｃ　 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 Ｘ ＝ ５，则说明前４次均未击中目标． （２）这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四 种结果，相应得分为３００分，２００分，１００分，０分． ①所以Ｘ的取值范围是｛３００，２００，１００，０｝． ②因为事件Ｘ ＞ ０为“不得０分”，Ｘ ＜ ３００为“不得满分”， 所以Ｘ ＝ ０与Ｘ ＞ ０是对立事件，Ｘ ＝ ３００与Ｘ ＜ ３００是对立事件， 又Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ ０． ０６，Ｐ（Ｘ ＝ ３００）＝ ０． ４３，所以Ｐ（Ｘ ＞ ０）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １ － ０． ０６ ＝ ０． ９４； Ｐ（Ｘ ＜ ３００）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ３００）＝ １ － ０． ４３ ＝ ０． ５７． 　 　 对点训练２：设所需的取球次数为Ｘ，则Ｘ ＝ １，２，３，４，…， １０，１１， Ｘ ＝ ｉ表示前ｉ － １次取到红球，第ｉ次取到白球，这里ｉ ＝ １， ２，…，１１． 　 　 例３：（１）当Ｘ ＝ ２５时，Ｙ ＝ ２５ × １００ ＋ １ ５００ ＝ ４ ０００． （２）由题意可知Ｙ ＝ １００Ｘ ＋ １ ５００． （３）由Ｙ ＞ ３ ５００可知１００Ｘ ＋ １ ５００ ＞ ３ ５００，即Ｘ ＞ ２０． ∴ Ｐ（Ｘ ＞ ２０）＝ Ｐ（Ｙ ＞ ３ ５００）＝ ０． ７， ∴ Ｐ（Ｘ≤２０）＝ １ － ０． ７ ＝ ０． ３． 　 　 对点训练３：｛－ ２，－ １，０｝　 因为随机变量Ｘ的取值范围是 ｛－ １，０，１｝，且Ｙ ＝ Ｘ － １， 所以－ １ － １ ＝ － ２，０ － １ ＝ － １，１ － １ ＝ ０，所以Ｙ的取值范围 是｛－ ２，－ １，０｝． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 ２． Ａ　 因为随机变量Ｙ ＝ ２Ｘ，当Ｘ ＝ １时，Ｙ ＝ ２，所以Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０． １． ３． Ｄ　 ξ ＝ ４可能出现的结果是一枚是３点，一枚是１点或两枚 都是２点． ４． Ｄ　 ξ的所有可能取值为－ ５，－ ４，－ ３，－ ２，－ １，０，１，２，３，４，５， 即－ ５≤ξ≤５，ξ∈Ｚ． ５．（１，６），（２，６），（３，６），（４，６），（５，６） ４． ２． ２　 离散型随机变量的分布列 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （２）ｐｋ 　 ｐｋ 　 （３）①０　 ②１ 思考１：（１）随机变量的所有可能取值；（２）取每一个值的概 率的大小． 　 　 知识点２　 （１）ｐ　 （２）两种　 两点　 ｐ 思考２：是的． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）∵ ４ ｉ ＝ １ ｐｉ ＝ １ ａ ＋ ２ ａ ＋ ３ ａ ＋ ４ ａ ＝ １，∴ ａ ＝ １０， 则Ｐ（Ｘ ＝ １或Ｘ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ２） ＝ １１０ ＋ ２ １０ ＝ ３ １０ ． （２）由ａ ＝ １０，可得Ｐ １２ ＜ Ｘ ＜( )                                                                       ７ ２ —１３７—