4.1.2 第1课时 乘法公式与全概率公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式核心知识点，以条件概率为基础推导乘法公式，结合概率加法与乘法公式构建全概率公式，进而延伸推导贝叶斯公式，形成递进式学习支架。 资料采用“逐点理清式”设计，通过公式推导、微点助解深化理解，搭配选择、填空及实际情境解答题分层练习。以手机专卖店优质品概率、癌症诊断等实例，培养学生数学思维推理能力与用数学语言表达现实问题的能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化、查漏补缺。

　　　　 4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式与全概率公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.能利用条件概率公式得到乘法公式,理解乘法公式的含义. 2.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式,理解全概率公式的含义. 3.了解贝叶斯公式,会利用条件概率、乘法公式和全概率公式推导贝叶斯公式. 逐点清(一)　乘法公式 [多维理解] (1)公式:P(BA)=P(A)P(B|A). (2)公式的推导依据:根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率. |微|点|助|解| 　 (1)乘法公式是条件概率公式的变形应用. (2)乘法公式可理解为事件A与B同时发生的概率等于A发生的概率与A发生的条件下B发生的概率之积. [微点练明] 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(BA)= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意得P(BA)=P(A)P(B|A)=×=. 2.[多选]设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则 (　　) A.P(AB)= B.P(AB)= C.P(B)= D.P(B)= 解析:选AC　由题意得P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,由P(A|B)=,得P(B)==×2=. 3.某学校举办闯关比赛,已知某学生通过第一关的概率为0.8,在已知通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5,则该同学两关均通过的概率为　　　　.  解析:设该学生通过第一关为事件A,通过第二关为事件B,在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A),因为P(B|A)=,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=0.5×0.8=0.4. 答案:0.4 4.一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次.求: (1)第一次取得白球的概率; (2)两次都取得白球的概率; (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解:设事件A表示“第一次取得白球”,事件B表示“第二次取得白球”,则事件表示“第一次取得黑球”,由题意得, (1)P(A)==. (2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. (3)P(B)=P()P(B|)=×=. 逐点清(二)　全概率公式 [多维理解] 1.全概率公式 (1)公式:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). (2)公式的推导:一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,如图所示, 从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B). 由乘法公式可得全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 2.全概率公式的推广 定理1:若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)=P(BAi)= P(Ai)P(B). 上述公式也称为全概率公式.n=3时的情形可借助右图来理解. [微点练明] 1.已知P()=0.6,P(B|A)=0.35,P(B|)=0.2,则P(B)等于 (　　) A.0.26 B.0.27 C.0.28 D.0.29 解析:选A　P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.4×0.35+0.6×0.2=0.26. 2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机,其占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌 甲 乙 占有率 60% 40% 优质率 95% 90% 从该专卖店中随机购买一部智能手机,则买到的是优质品的概率是 (　　) A.93% B.94% C.95% D.96% 解析:选A　买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%. 3.长假期间,某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选,第一条路堵车的概率为,第二条路堵车的概率为,第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率. 解:设事件Bi(i=1,2,3)表示“走第i条路”,事件A表示“堵车”. 则P(B1)=P(B2)=P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=, 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 所以从甲地到乙地堵车的概率为. 逐点清(三)　*贝叶斯公式 [多维理解] 1.贝叶斯公式 一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有 P(A|B)= =. 2.贝叶斯公式的推广 定理2:若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B,有 P(Aj|B) = [微点练明] 1.若P(B)=0.4,P(A|B)=0.35,P(A|)=0.2,则P(B|A)等于 (　　) A.0.52 B.0.54 C.0.56 D.0.58 解析:选B　P(B|A)==≈0.54. 2.某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书,用Bk表示丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得P(A)=(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=,P(B1|A)===÷=. 3.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,试求P(C|A). 解:已知P(A|C)=0.95,P(A|)=1-P(|)=0.05,P(C)=0.005,P()=0.995,由贝叶斯公式,得P(C|A)=≈0.087. 学科网（北京）股份有限公司 $