(讲义) 4.1.3 独立性与条件概率的关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.1.3　独立性与条件概率的关系 1．了解独立性与条件概率的关系．(难点) 2．会求相互独立事件同时发生的概率．(重点) 3．综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题．(重点、难点) 1．通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养． 2．借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养． 俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”．其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%．比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功． 问题：该挑战能否成功？ [提示]　三个臭皮匠都没答对题目的概率为P＝(1－50%)(1－40%)(1－30%)＝0.21，所以“臭皮匠”团队中至少有1个答对该题的概率为1－0.21＝0.79<80%，故该挑战不能成功． 知识点　事件的独立性 (1)事件A与B相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)P(B)． (2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． 说明：当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的．事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等． 如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立吗？ [提示]　成立．P(B|A)＝＝＝P(B)． 1．(对接教材)已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________． 0.3　[∵P()＝0.7，∴P(A)＝1－0.7＝0.3， 又A与B独立，∴P(A|B)＝P(A)＝0.3．] 2．某人提出问题，甲先答，答对的概率是0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则该问题由乙答对的概率为________． 0.3　[由题意可知，甲答错，乙答对，故所求概率P＝(1－0.4)×0.5＝0.6×0.5＝0.3．] 类型1　相互独立事件的判断 【例1】　判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)法一：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}， ∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝． ∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)， ∴事件A与B相互独立． 法二：由法一可知P(B|A)＝， 又P(B)＝＝， ∴P(B|A)＝P(B)， ∴事件A与B相互独立． 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． [跟进训练] 1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． [解]　法一：(利用定义)(1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 共有4个元素，由等可能性知概率均为． 这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝． 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， 由等可能性知这8个元素的概率均为，这时A中含有6个元素，B中含有4个元素，AB中含有3个元素．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝