4.1.2乘法公式与全概率公式第2课时学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.1.2乘法公式与全概率公式（课时2） 1、 学习目标 1.掌握全概率公式的概念，会利用全概率公式计算概率 2.了解贝叶斯公式 二、重难点 重点：全概率公式的理解，利用全概率公式计算概率 难点：全概率公式运用 新知识导入 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽. （1） 如果想求乙中奖的概率P(B)，该怎样计算？ （2）一般地，如果已知P(BA)与P(B ̅)，则P(B) 可以如何表示？ 如果已知P(B|A)，P(A)，， P()，则P(B) 又可以如何表示？ （1）中乙中奖可以分为两种情况：①甲中奖且乙中奖；②甲没中奖且乙中奖. 即 B = BA +B ̅.这两种情况是不可能同时发生的(即是互斥的). 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与是互斥的，且 如图所示，从而 当P(A)>0，且P()>0时，因为由乘法公式有 所以 （2）一般地，如果已知P(BA)与，则P(B) 可以如何表示？ 如果已知P(B|A)，P(A)，， ，则P(B) 又可以如何表示？ （1）中乙中奖可以分为两种情况：①甲中奖且乙中奖；②甲没中奖且乙中奖. 即 ̅.这两种情况是不可能同时发生的(即是互斥的). 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与是互斥的， 且 如图所示，从而 当P(A)>0，且时，因为由乘法公式有 所以 三、知识梳理 1.全概率公式：当 且 时，因为由乘法公式有 ，，所以 ，称为全概率公式. 2.全概率公式的推广：若样本空间 中的事件 满足： （1） 任意两个事件均互斥，即 ，； （2） ； （3） ，. 则对 中的任意事件 B ，都有 ，有 .此公式也称为全概率公式. 3.贝叶斯公式：一般地，当 且 时，有 ，称为贝叶斯公式. 4.贝叶斯公式的推广：若样本空间 中的事件 满足： （1） 任意两个事件均互斥，即 ，； （2） ； （3） ，. 则对 中的任意概率非零的事件 B ，有 ，此公式也称为贝叶斯公式. 四、例题讲解 例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占，乙班中女生占. 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 例2 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如下表所示. 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 例3. 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80％. 当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为 95％；否则，第一件产品合格的概率为60％. 某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率（精确到0.1％）. 5、 课堂练习 1 某疾病在人群中的患病率为,该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为,阴性人群被检测为阳性的概率为,则一个人检测结果为阳性的概率为( ) A. B. C. D. 2.已知，，，则的值为( ) A. B. C. D. 3.有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率( ) A.0.078 B.0.077 C.0.076 D.0.075 4.运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为( ) A.0.47 B.0.49 C.0.51 D.0.53 5.两批同种规格的产品，第一批占，次品率；第二批占，次品率，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为( ) A.0.042 B.0.044 C.0.046 D.0.048 6.某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为，乙的市场占有率为55%.已知甲品牌一等品比例为，乙品牌一等品的比例为.现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是________________. 六、课后练习 1.某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为( ) A. B. C. D. 2.已知随机事件A，B满足，，，则( ) A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 3.某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个.现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为，.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( ) A. B. C. D. 5.某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分100分，得分80分及其以上为“优秀”.比赛的结果是:高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是( ) A. B. C. D. 6.（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯的统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4，0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学( ) A.第二天去甲餐厅的概率为0.54 B.第二天去乙餐厅的概率为0.44 C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 7.（多选）设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，，则( ) A. B. C. D. 8.某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是______________． 9.小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为________. 10.设表示事件M发生的概率，若，，，则__________. 答案解析 三、知识梳理 1. 2. 3. 4. 四、例题讲解 例题1 解：如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的， B表示是女生. 则根据已知，有而且 由全概率公式可知 例题2 解：用 A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品， 则依据已知可得 P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%， 且 P(B∣A1)=95%，P(B∣A2)=90%，P(B∣A3)=70%， 因此，由全概率公式有 P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+P(A3)P(B∣A3) =50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. 例题3 解：用A表示生产线初始状态良好，B表示生产产品为合格品 则由已知有P(A)=80%，P(B|A)=95%，P()=60% 从而P( ̅)=20%，因此由贝叶斯公式可知： 五、课堂练习 1.解析：用事件A表示一个人患此种疾病,用事件B表示检测结果为阳性, 则,,, 所以． 故选：B. 2.答案：B 解析：， 解得， 故选：B. 3.答案：D 解析：根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D， 则，，，，， 任取一个零件是次品的概率： . 故选：D 4.答案：D 解析：设表示“甲使用自由泳参加比赛”， 表示“甲使用蛙泳参加比赛”，表示“甲使用仰泳参加比赛”， B表示“甲没有获得奖牌”， 则 . 故选：D 5.答案：B 解析：设事件，分别表示产品来自第一、第二批，事件B表示产品为次品， 则由题，，，， 从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 . 故选：B. 6.答案： 解析：设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为：. 6、 课后练习 1.答案：C 解析:事件“选一人是男生”，“选一人发现近视”， 则，，， 因此， 所以此人是男生的概率为. 故选：C 2.答案：C 解析：随机事件A，B满足，， 则 又， 则. 故选：C. 3.答案：B 解析：记“随机选定的车间为甲、乙、丙车间分别为事件，，2，3”，“该产品为一等品”为事件B， 依题意可知，且，，; 所以该产品是一等品的概率为. 故选：B 4.答案：A 解析：设分别表示产品由甲、乙车间生产；B表示产品为优品， 由题可得：，，， 故. 故选：A. 5.答案：C 解析：根据全概率公式可得: . 故选：C. 6.答案：AC 解析：设事件表示“第一天去甲餐厅”，表示“第二天去甲餐厅”，表示“第一天去乙餐厅”，表示“第二天去乙餐厅”，则，，，，所以，所以A正确.，所以B不正确.因为，所以，所以，所以选项C正确.，所以D不正确. 故选：AC. 7.答案：ACD 解析：对A，，A正确； 对B，根据全概率公式可得， ，B错误； 对C，，C正确； 对D，， ，D正确； 故选：ACD. 8.答案： 解析：设选取的苹果来自A基地为事件M，选取的苹果来自B基地为事件N， 选到新鲜苹果为事件C， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是0.88. 故答案为：0.88. 9.答案：/0.3 解析:设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件AB， 由题意可知:，，且， 由全概率公式可知:， 即，解得， 所以. 故答案为：. 10.答案： 解析：因为， ， 则 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $