4.1.1 条件概率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“条件概率”核心知识点，从定义入手，结合古典概型阐释条件概率的含义，系统梳理其性质（如取值范围、互斥事件可加性等），通过定义法、缩小样本空间法构建计算框架，并延伸至互斥事件的条件概率应用，形成梯度进阶的学习支架。 该资料采用“深化学习课——梯度进阶式教学”设计，通过“微点助解”辨析易混概念培养数学思维，“思维建模”总结方法提升数学语言表达，结合掷硬币、选景点等生活化实例发展数学眼光。课中助力教师分层教学，课后可帮助学生通过基础训练与题型示例查漏补缺，强化知识应用能力。

　概率与统计 　　　　　　4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标]结合古典概型,了解条件概率的定义.掌握条件概率的计算方法.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 1.条件概率的定义 一般地,当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时,已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)=. |微|点|助|解| P(B|A),P(A|B)与P(AB)的区别与联系 (1)P(B|A)与P(A|B)都表示条件概率,但意义不同.前者表示A发生的条件下B发生的概率,后者表示B发生的条件下A发生的概率,其值未必相同.而P(AB)表示A,B同时发生的概率. (2)由条件概率公式易得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B). 2.条件概率的性质 假设A,B,C都是事件,且P(A)>0. (1)0≤P(B|A)≤1; (2)P(A|A)=1; (3)如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)P(B|A)<P(AB). (　　) (2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. (　　) (3)P(A|A)=0. (　　) (4)P(B|A)=P(A|B). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)为 (　　) A. B. C. D. 答案:B 3.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次,设事件A为“第一次出现正面”,事件B为“第二次出现正面”,求P(A|B)与P(B|A). 解:由题意可知,事件A包含的样本点为(正,正),(正,反),事件B包含的样本点为(正,正),(反,正),事件AB包含的样本点为(正,正),所以P(A|B)==,P(B|A)==. 题型(一)　条件概率的概念 [例1]　下列命题是条件概率的为 (　　) A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率 B.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率 C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学途中遇到红灯的概率 解析:选C　条件概率的定义:某一事件已发生的条件下,另一事件发生的概率.选项A,甲、乙各投篮一次投中的概率,不是条件概率;选项B,抽2件产品恰好抽到一件次品,不是条件概率;选项C,甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率,是条件概率;选项D,一次上学途中遇到红灯的概率,不是条件概率. |思|维|建|模| 判断是不是条件概率，主要看一个事件的发生是否在另一个事件发生的条件下进行的. 　　[针对训练] 1.[多选]下列命题是条件概率的为 (　　) A.某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,则高一的女生获得冠军的概率 B.掷一枚骰子,求掷出的点数为3的概率 C.在一副52张(去掉两张王牌后)的扑克中任取1张,已知抽到梅花的条件下,求抽到的是梅花5的概率 D.商场进行抽奖活动,某位顾客中奖的概率 答案:AC 2.已知事件A,B,若P(B)=,P(AB)=,则P(A|B)= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)==. 题型(二)　条件概率的计算 方法1　定义法 [例2]　现有4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为　　　　.  解析:设事件A表示“男生甲被选中”,事件B表示“女生乙被选中”,则由题意可得P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)==. 故在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为. 答案: |思|维|建|模| 方法2　缩小样本空间法 [例3]　甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项,记事件A:甲和乙选择的活动各不同,事件B:甲和乙恰好一人选择①,则P(B|A)等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题意知,n(A)==20,n(AB)==8,所以P(B|A)===. |思|维|建|模| 　　[针对训练] 3.太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉,都准备从C,D,E,F4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”,事件B为“甲和乙选择的景点不同”,则条件概率P(B|A)= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意知,两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩,共有4×4=16种,其中事件A的情况有4×4-3×3=7种,事件A和事件B共同发生的情况有2×3=6种,所以P(A)=,P(AB)==, 所以P(B|A)===. 4.抛掷一枚质地均匀的骰子,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},求P(A),P(B),P(AB),P(A|B). 解:由题意可得AB={2,5}, 由古典概型可知P(A)==, P(B)=,P(AB)==. 法一:定义法　由条件概率公式得P(A|B)===. 法二:缩小样本空间法　因为B={1,2,4,5,6},AB={2,5},则n(B)=5,n(AB)=2, 所以P(A|B)==. 题型(三)　互斥事件的条件概率 [例4]　在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率. 解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 法一　∵P(A)=,P(AB)==, P(AC)==, ∴P(B|A)===, P(C|A)===. ∵事件B与C互斥, ∴P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.故所求的概率为. 法二　∵n(A)==9,n((B∪C)∩A)=+=5,∴P((B∪C)|A)=.故所求的概率为. |思|维|建|模| 当所求事件的概率较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P（(B∪C)|A）＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率. 　　[针对训练] 5.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机抽取两瓶,若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率. 解:设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥,易求得P(A)==, P(AB)==,P(AC)==, 故P(D|A)=P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=. 学科网（北京）股份有限公司 $