4.1.3 独立性与条件概率的关系-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

044 4.1.3独立性与条件概率的关系 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.了解独立性与条件概率的关系 1.通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学 2.会求相互独立事件同时发生的概率. 抽象素养 3.综合应用互斥事件的概率加法公式及相互2.借助相互独立事件同时发生的概率公式解题， 独立事件同时发生的概率公式解题 提升数学运算素养。 必备知识 探新知 知识点 事件的独立性 (1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)= 思考：如果P(A)>0, A与B独立，则P(B (2)当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(AIB)=P(A). P[思考] A)=P(B)成立吗？ 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一相互独立事件的判断 例1判断下列各对事件是否相互独立事件 (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、乙两组 中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组 中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出 1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还 是白球”； 规律方法： (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 判断事件是否相互独 [分析]常用定义法、公式法判断两个事件是否相互独立. 立的方法 1.定义法：事件A,B 相互独立一P(A∩B) =P(A)·P(B). 2.由事件本身的性质 直接判定两个事件发 生是否相互影响. 3.条件概率法：当 P(A)>0时，可用 P(BIA)=P(B)判断. ·[规律方法] ●045 》对点训练1 从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”, 记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B是不是相互独立事件？ 题型二相互独立事件发生的概率 例2面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有4，B,C三 个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是子 1.求： 4’31 (1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； 规律方法： (3)他们能够研制出疫苗的概率. 1.求相互独立事件同 [分析]明确已知事件的概率及其关系，再把待求事件的概率表示成已时发生的概率的步骤 知事件的概率，最后选择公式计算求值. (1)首先确定各事件 之间是相互独立的。 (2)确定这些事件可 以同时发生 (3)求出每个事件的 概率，再求积 2.使用相互独立事件 同时发生的概率计算 公式时，要掌握公式 的适用条件，即各个 事件是相互独立的， 而且它们能同时 发生. P[规律方法] 046。 》对点训练2 甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为子和子假设两人射击是 否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有 影响 (1)求甲、乙各射击一次均击中目标概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次击中目标则会被终止射击，求乙恰好射 击4次后被终止射击的概率. 题型三相互独立事件概率的综合应用 例3，三支球队中，甲L胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0,5，丙 队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是 第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四 局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率 规律方法： [分析]乙队每局胜利的事件是相互独立的，可由其公式计算概率. (1)求复杂事件的概 率一般可分三步进 行：①列出题中涉及 的各个事件，并用适 当的符号表示它们： ②理清各事件之间的 关系，列出关系式 ③根据事件之间的关 系准确地运用概率公 式进行计算 。[规律方法](2)直接计算符合条 》对点训练3 件的事件个数较复 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够 杂，可间接地先计算 闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 对立事件的个数，求 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率. 得对立事件的概率， 再求出符合条件的事 件的概率 047 ●易错警示 因混淆独立事件和互斥事件而致错 例4.设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是4，求事件 A和事件B同时发生的概率 [错解】“1与B湘互往立，且只有4发生的授率和只有B发生的概率都是子， P)=P-子P(》=PA)PR=子×好- [辨析] 在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件AB 发生 [正解] 课堂检测 固双基 1.已知事件A、B相互独立，且P(A)=0.4,P(B)4.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6， =0.5,则P(A1B)= () 从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲 A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.14 表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表 2.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每 示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示 个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时 事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示 落在奇数所在区域的概率是 事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 ( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 5.加工某零件需经过三道工序，每道工序均为正 B.3 D. 9 9 3 品时该零件才为正品.设第一、二、三道工序的 3.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学 次品率分别为7069'68 111 且各道工序互不影 生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学 响，则加工出来的零件的正品率为 参加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概 率是 B.S 夯基提能作亚 12 D 3 请同学们认真完成练案[104 P0-鹄-要子 P(A) 2 课堂检测固双基 1.A设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B1A) =PAB)-Q031 P(=Q55,所以当数学不及格时，该学生语文也不及 .1 格的概率为5 2.B因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖 券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是3 3c41剧=8-8号 P(BIA)=P(AB)_0.12 3 P(A)-0.2-5 4.C由题意可知， n(B)=C·22=12,n(AB)=A=6 所以P(AIB)=n(AB2=6-L n(B)=12=2 5号“甲排在第一跑道”记为事件A,“乙排在第二跑道”记为 事件B. A 则P(A)= A_1 A= 6,P(AB) A=30 1 所以P(B1A)=P(AB_=30_1 P(4)=15 6 4.1.2乘法公式与全概率公式 必备知识探新知 知识点一同时发生 思考1：P(AB)=P(B)P(AIB).((PIB)>0)》 知识点二(1)P(A)P(B1A)+P(A)P(BIA) (2)①互斥 ②2③∑P(BA,)P(A)P(BIA:) 思考2：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用 化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可. 知识点三（I)P(A)P(B1A)+P(A)P(BA) P(A)P(BIA) (2)-P(A)P(BIA) P(A)P(BIA) 关键能力攻重难 例1：设“取到的产品是一等品”为事件A,“取到的产品是 合格品”为事件B,则P(AIB)=45%,P(B)=4%, 于是P(B)=1-P(B)=96%, 故由题可得P(A)=P(AB)=P(B)P(AIB)=96%×45% =43.2%. 对点训练1：设事件A,表示第i次摸到的是黑球(i=1,2, 3),则事件AA2表示两次摸到的均为黑球. （D由题意知P(4)=O,P4M,)=号 于是，根据乘法公式，有P(4A)=P(A)P(4A,)=品× 2 9-15 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为 黑球的概率为古 19 (2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则A=A4,A 由题意知P(4)P(,a)=号P(41(a)=是 于是，根据乘法公式，有P(AA2A)=P(A1)P(A2IA1) 637 P(A1(A1A)=10×9×8=40 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球 的概率为 例2：0.915设事件A,B,C分别表示和第一代、第二代、第 三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)= 0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D1A)=0.95,P(D1B)=0.9 P(D1C)=0.85, P(D)=P(DIA)P(A)+P(DIB)P(B)+P(DIC)P(C) =0.95×0.5+0.9×0.3+0.85×0.2=0.915. ∴.小明被感染的概率为0.915. 对点训练2：设事件B,表示所取到的产品是由第i家元件 制造厂提供的(i=1,2,3),事件A表示取到的是一件次品.其中 B,B,,B1两两互斥，A发生总是伴随着B,B,,B3之一发生，即 A=B,AUB,AUB2A,且B,A,B,A,B2A两两互斥.运用互斥事件 概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)=P(BA)+P(B,A)+P(BA) =P(B)P(AIB)+P(B2)P(AIB,)+P(B)P(AIB) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.0125, 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率 为0.0125. 例3：设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”， 则A为“发送的信号为1”，B为“接收到的信号为1”。 由题意得P(A)=P(A)=0.5,P(B1A)=0.9,P(B1A)=0.1, P(B1A)=0.05,P(BIA)=0.95. (1)P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=0.5×0.9+0.5 ×0.05=0.475: P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525 (2)P(A1B)=PA)P(B1A=0.5x0.051 P(B) 0.475=19 对点训练3：设B,B2,B,分别表示事件任取的零件为甲、 乙、丙机器生产的，A:抽取的零件是不合格品，由条件知， P(B)=0.40,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35, P(A1B1)=0.10,P(AIB2)=0.05,P(AIB3)=0.01, (I)所求概率为P(B,IA),P(B1A)=P(B)P(AIB,)。 P(B)P(AIB) 0.714. (2)类似(1)的计算可得P(B,IA)≈0.223，P(B,IA)≈ 0.063,比较可知是机器甲生产出来的可能性大. 例4：BCD由条件概率的计算公式知A错误：B,C显然正 确：D选项中，因为P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB),故D正确 课堂检测固双基 1.A2.C3.C4.D 5.0.04835设B=取出的球全是白球}， A,=掷出i点}(i=1,2,…,6), 由贝叶斯公式，得： 1 Cs P(AIB)=- (A)PB1A)=6C5=0.04835. P(A)P(BIA,) 61C5 1=1 4.1.3独立性与条件概率的关系 必备知识探新知 知识点(1)P(A)P(B) 思考：成立.P(B1A)=PAE=P(》PB=P(B. P(A) P(A) 关键能力攻重难 例1：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件星否发生，对 “从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以 它们是相互独立事件 (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 各，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取 出的仍是白球”的概率为号：若前一事件没有发生，则后一事件 发生的概率为号，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的 概率有影响，所以二者不是相互独立事件 (3)法一：记A:出现偶数点，B:出现3点或6点，则A={2, 4,6},B={3,6},AB=6}, PA)=音=分P()=名=分P4nB)=石 .P(A∩B)=P(A)·P(B), .事件A与B相互独立 法二：由法一可知P(B1A)=3, 1 又P(B)=2=1 6=3, ∴.P(BIA)=P(B), .事件A与B相互独立. 对点训练1：因为52张牌中有4张K, 所以P(4)=克=古，红牌有26张，红K有2张，所以在抽 得红牌的条件下抽得K的藏率PA1因)一元=方=代A).因比 事件A与B相互独立. 例2：令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构 在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A,B,C相 互独立，且P(A)=5,P(B)=4,PC)=3 (1)他们都研制出疫苗，即事件A,B,C同时发生，故 P代AnROG)=PaP(BPG)=方×牙X号=而 (2)他们都失败即事件A,B,C同时发生，故 P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) =(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C)) =1-5)(1-4(1-) (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结 合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 P=1-P(inBnc))=1-号=} 对点训练2：(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示 “乙击中目标”. 依题意知，事件A和事件B相互独立 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)=P(A)· r=号x子-安 （2)记事件A,表示“甲第i次射击击中目标”（其中i=1,2, 3,4),并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C, 则C=A1A2A3A4UAA2A3A4,且A1A2A3A4与A1A2A3A是互 斥事件. 由于A1,A2,A3,A4之间相互独立， 16 所以A,与4(ij=1,2,3,4,且ij)之间也相互独立. 由于PA)=P4)=PA,)=P(A,)=子， P(C)=P(A AA A UAAAA) =P(A)P(A2)P(A3)P(A)+P(A)P(A2)P(A)P(A.) 16 (3)记事件B,表示“乙第i次射击击中目标”（其中i=1,2, 3,4),并记事件D表示“乙在第4次射击后终止射击”， 则D=BB2B3B4UB1B2B3B4 且BB2B3B4与B1B2BB4是互斥事件 由于B1,B2,B3,B4之间相互独立， 所以B,与B,(iJ=1,2,3,4,且i)之间也相互独立. 由于P(B)=(i=1,23,4, P(D)=P(B B2 B:B UB B2 B:B) =P(B1)P(B2)P(B)P(B4)+P(B1)P(B2)P(B3)P(B4) =()×(+×()=a .3. 3 例3：设乙队连胜四局为事件A,有下列情况： 第一局中乙胜甲(A1),其概率为1-0.4=0.6， 第二局中乙胜丙(42)，其概率为0.5， 第三局中乙胜甲(A),其概率为1-0.4=0.6， 第四局中乙胜丙(A4),其概率为0.5， 因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为 P(A)=P(A1AA3A4)=(0.6)2·(0.5)2=0.09. 对点训练3：如图所示，分别记这段 时间内开关J,J,J能够闭合为事件 A,B,C.由题意，这段时间内3个开关是 JB。 否能够闭合相互之间没有影响，根据相 Icd 互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合 的概率是P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027 于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是1-P(ABC)=1-0.027=0.973. 例4：在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件AB发 生，只有B发生即事件AB发生. :A和B相互独立，∴A与B,A和B也相互独立. P(AB)=P(A)·P(B)=P(A)·[1-P(B)]=4,① P(AB)=P(A·P(B)=[I-P(A)]·P(B)=子② ①-②得P(A)=P(B).③ 联立①③可解得P(A)=P(A)= 111 .P(AB)=P(A)·P(B)=2X2=4 课堂检测固双基 1.C因为事件A、B相互独立，所以P(AIB)=P(A)=0.4. 2.A设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A) 二子B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P(B =子放P(A)=PA)·P)=子x子=号 3.C两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A,B分别为 甲班、乙班派出的三好学生，则事件AB为两班派出的都是三 好学生，则P4B)=P代4)·P(B)=名×名= 4.B事件甲发生的概率P(甲)=石，事件乙发生的概率P(乙) =。,事件丙发生的概率P(丙)6文66，事件丁发生的 61 概率P(丁)=6X66事件甲与事件丙同时发生的概率为 0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误：事件甲与事件丁同时 发生的概率为66P(甲)=P(甲)P(T),放B正确： 事件乙与事件丙同时发生的概率为6文6名P(乙丙) P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相 互独立事件，故D错误.选B. 36 0 [解析】加工出来的零件的正品率为(1-0)× (1-动)×(1-点)-% 4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 必备知识探新知 知识点一（1)唯一确定(3)所有可能 思考：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果， 试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是 试验结果所对应的数. 知识点二(1)互斥 (2)对立1 知识点三(2)离散型区间 知识点四随机变量P(Y=at+b) 关键能力攻重难 例1：C随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随 机变量.一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变 量.故选C. 对点训练1：(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100℃， 是常量，故不是随机变量 (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随 机变量. (3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因 此是随机变量. (4)体积是64cm㎡的正方体的棱长是4cm,因此不是随机 定量. 例2：(1)C击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X=5,则说明前4次均未击中目标 (2)这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四 种结果，相应得分为300分，200分，100分，0分 ①所以X的取值范围是{300,200,100,0} ②因为事件X>0为“不得0分”，X<300为“不得满分” 所以X=0与X>0是对立事件，X=300与X<300是对立事件， 又P(X=0)=0.06,P(X=300)=0.43,所以P(X>0)= 1-P(X=0)=1-0.06=0.94: P(X<300)=1-P(X=300)=1-0.43=0.57 对点训练2：设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…, 10,11, X=i表示前i-1次取到红球，第i次取到白球，这里i=1, 2,…,11. 例3：(1)当X=25时，Y=25×100+1500=4000. (2)由题意可知Y=100X+1500. (3)由Y>3500可知100X+1500>3500,即X>20. .P(X>20)=P(Y>3500)=0.7 ∴.P(X≤20)=1-0.7=0.3. 对点训练3：-2，-1,0}因为随机变量X的取值范围是 -1,0,1},且Y=X-1, 16 所以-1-1=-2,0-1=-1,1-1=0，所以Y的取值范围 是{-2，-1,0}. 课堂检测固双基 1.D 2.A因为随机变量Y=2X,当X=1时，Y=2,所以P(Y=2)= P(X=1)=0.1. 3.D专=4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚 都是2点. 4.D的所有可能取值为-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5， 即-5≤E≤5，eZ. 5.(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) 4.2.2离散型随机变量的分布列 必备知识探新知 知识点一(2)P4p4(3)①0②1 思考1：(1)随机变量的所有可能取值；(2)取每一个值的概 率的大小 知识点二(1)p(2)两种两点p 思考2：是的 关键能力攻重难 例1：108=+2+3+1=1a=10, 则P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2) =0+品 .23 (2)由a=10,可得P分<X<) /1 =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)》 1233 =10+10+10=5 对点训练1：(1)D由离散型随机变量分布列的性质得 2+(1-2g)+g2=1, 0≤1-2g≤1， 解得g=1-2 2 lg≤1， （2)(3,4因为PX=)=6i=1,23,4).所以P(X= 0=0X=2)=品-5P=)=0PX=4)-0 号义P1≤X<a)=号故3a4 3 例2：(1)由题意知P(X=0)=号，P(X=1)=号 。3 所以X的分布列为： X 0 1 P ； (2)由题意知P(X=0)=元=方， PX=I)=1-PX=0)=9 所以X的分布列为： X 0 1 P 6 7 对点训练2：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种惜况.P(X=1)二C0三则 P(X=0)=1-P(X=1)=1-2=3 5=5