3.3 第3课时 二项式定理的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

第3课时　二项式定理的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解二项式定理及其性质，能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 题型(一)　两个多项式乘积的特定项 [例1]　(1)在(1+2x)3(1-x)4的展开式中，含x项的系数为 (　　) A.10 B.-10 C.2 D.-2 (2)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于 (　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析:(1)(1+2x)3(1-x)4展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为·(2x)0··(-x)1+·(2x)1··(-x)0，其系数为××(-1)+×2×=-4+6=2. (2)由二项式定理得(1+x)5展开式的通项为Tk+1=·xk，所以(1+ax)(1+x)5展开式中含x2的项的系数为+·a=5，所以a=-1. 答案:(1)C　(2)D |思|维|建|模| 求多项式乘积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a+bx)n(s+tx)m的展开式中一般项为Tk+1·Tr+1=an-k(bx)k·sm-r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值. 　　[针对训练] 1.(1+2x2)(1+x)4展开式中x3的系数为 (　　) A.12 B.16 C.20 D.24 解析:选A　法一　(1+2x2)(1+x)4展开式中x3的系数为1×+2×=12. 法二　∵(1+2x2)(1+x)4=(1+2x2)(1+4x+6x2+4x3+x4)，∴x3的系数为1×4+2×4=12. 2.(x-y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字作答)  解析:由二项式通项可知，含x2y7的项可表示为x·xy7-y·x2y6，故(x-y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为-=8-28=-20. 答案:-20 题型(二)　三项展开式问题 [例2]　(x-y+2)5的展开式中，x3y的系数为 (　　) A.80 B.40 C.-80 D.-40 解析:选D　(x-y+2)5=[x-(y-2)]5的展开式中含x3的项为x3(y-2)2，(y-2)2的展开式中含y的项为y(-2)， 所以(x-y+2)5的展开式中，x3y的系数为××(-2)=-40. |思|维|建|模| (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零;求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏;也可利用排列组合的知识求解. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 　　[针对训练] 3.(x2+2x-y)5的展开式中，x5y2项的系数为 (　　) A.10 B.-30 C.60 D.-60 解析:选C　因为(x2+2x-y)5=[x2+(2x-y)]5的展开式通项为Ar+1=·(x2)5-r·(2x-y)r(r=0，1，2，3，4，5)，(2x-y)r的展开式通项为Bk+1=·(2x)r-k·(-y)k=·(-1)k·2r-k·xr-kyk(k=0，1，2，…，r)， 所以(x2+2x-y)5的展开式通项为Tr+1，k+1=·(-1)k·2r-k·x10-r-k·yk. 由可得所以展开式中x5y2项的系数为·(-1)2·2=60. 4.(x2-x-2)6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0= (　　) A.-32 B.0 C.32 D.64 解析:选C　令x=1，可得a12+a11+a10+…+a1+a0=(12-1-2)6=64，令x=-1，可得a12-a11+a10-a9+…+a2-a1+a0=0，所以a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0==32. 题型(三)　整除和余数问题 [例3]　(1)试求2 01910除以8的余数; (2)求证:-8n-9(n∈N+)能被64整除. 解:(1)2 01910=(8×252+3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310=95=(8+1)5， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1. (2)证明:-8n-9=(8+1-8n-9 =8n+1+8n+…+-8n-9 =8n+1+8n+…+82+(n+1)×8+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. |思|维|建|模| 　　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 　　[针对训练] 5.求证:2n+2·3n+5n-4(n∈N+)能被25整除. 证明:原式=4·6n+5n-4=4(5+1)n+5n-4 =4(·5n+·5n-1+…+)+5n-4 =4(·5n+·5n-1+…+·52)+4·51+4+5n-4 =4(·5n+·5n-1+…+·52)+20n+4+5n-4=4(·5n+·+…+·52)+25n. 以上各项均为25的整数倍， 故·3n+5n-4能被25整除. 学科网（北京）股份有限公司 $