第3章 排列、组合与二项式定理 章末知识梳理-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)由（①-②）÷2，得 -1-3 a1+a3+a5+a7 -=-1094. 2 (3)由（①+②）÷2，得 +ta+13=103 (4)解法一：(1-2x)7的展开式中，a,a2,a4,a6大于零，而 4,a3,a5,a7小于零， ∴.laol+1a11+la21+…+la7l =（a0+a2+a4+a6)-（a1+a3+a5+a7)亦可令x= -1得， =1093+1094=2187 解法二：：IaI+la1+Ia21+…+la,1是(1+2x)7展开 式中各项的系数和. .lal+1a11+la21+…+la,l=37=2187. 例4：(32”-1)：(3”+1)设x的奇次项系数的和为A,x 的偶次项系数的和为B,则令x=1,得A+B=3”,令x=-1,得 B-A=1, 28=3418=4=3 2 奇次项系数的和为3，，偶次项系数的和为” .所求之比(32”-1)：(320+1). 课堂检测固双基 1.C二项式(a+b)”的展开式中， 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， .2"-1=64,n=7.故选C. 2.C该展开式共2n+2项，中间两项为第n+1项与第n+2 项，所以第n+1项与第n+2项为二项式系数最大的项. 3.B令x=1,得M=4,又N=2",故4“-2"=240.解得n=4.展开 式中的通项为工=C（5x)(左) =(（-1)'5-C4x4-子， 令4-=1得=2，当=2时.展开式中x的系数为 C52=150.故选B. 4.10由题意，展开式中各项系数的和是(1+1)"=32，所以n =5, 则该二项式的通项公式是T,+1=C;·x-‘·1', 令5-r=2,解得r=3,故x2项的系数为C=10. 5.364令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36, 令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,∴.a0+a2+a4+…+ 36+1 012= 2 令x=0,则a,=1,a+a4+…+a2=31-1=364 2 章末知识梳理 要点专项突破 例1：C从数字1,2,3,4,5中取出3个数字（允许重复）， 组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：(1)当三个数为1,1,4时，共有C;=3 (种)排法：(2)当三个数为1,2,3时，具有A=6(种)排法；(3) 当三个数为2,2,2时，只有1种排法.由分类加法计数原理可 得，共有3+6+1=10（种）不同排法，即这样的数共有10个. 例2：A设另外两人为戊、己.可以分步完成，①甲、丁捆绑 后排序有A2种方法，②捆绑后的甲、丁与戊己排序，有A种方 法，③将乙、丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有 A种方法，根据分步乘法计数原理，共有2×6×6=72（种) 方法 15 例3：(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节 目，与6个演唱节目一起排，有A7=5040(种)方法；第二步，再 松绑，给4个节目排序，有A=24种方法 根据分步乘法计算原理，一共有5040×24=120960（种） (2)第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“口”）， 一共有A=720(种)方法. ×口×▣×☐×▣×☐×口× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 (即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共 有A1=840(种) 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）. (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法， 但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 A=A品=132（种）排法 A 例4：9 第7项：x=（房 倒数第7项：-C(万（肩 C(迈)-6 的 -6 *迈（ 6 ∴.n=9 故万=c房 =心2g-9 例5：(1)已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C-2= 45,即C2=45,得n2-n=90,解得n=-9(不合题意，舍去)或n =10. 通项T1=C%(x)0-(x)=C6x-9学，学(0≤k≤10，k eN),令10：+=3，解得k=6 4 故含有x3的项是第七项，T,=Cox3=210x. 厂+的展开式中共有11项， “.系数最大的项是第六项， T6=Ci6(x)5(号)5=252 例6：C(x+2)(2x-1)5=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x3+asx6中， 取x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3 取x=-1,得a0-a1+a,-a3+a4-a5+a6=-243, 所以2(a0+a2+a4+a6)=-240, 即a0+a2+a4+a6=-120, 又a6=32,则a+a2+a4=-152. 例7：328根据题意，分3种情况讨论： ①取出的3张卡片中有2张红色的，需要在其他三种颜色 的卡片中任选1张， 有C·C2=72(种)不同的取法； ②取出的3张卡片中有1张红色的，先在4张红色卡片中 选出1张，在其他三种颜色中任选2种，在选出的2种颜色的卡 片中任选1张， 有C4·C·C4·C4=192(种)取法； ③取出的3张卡片中没有红色的，需要在其他三种颜色的 卡片中各抽取1张 有C4·C4·C4=64(种)取法 故共有72+192+64=328（种）取法. 例8：B将10个名额分成4部分，由于各部分的名额数互 不相同，因此可看作4个不同的元素，分给四个不同的学校，实 际上就是将4个元素全排列，因此共有A=24(种)不同的分配 方案 第四章概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.1条件概率 必备知识探新知 知识点1.B A P(AOB)2.(2)I(3)P(B1A)+P(CIA) P(B) 思考：P(BIA)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的 概率，而P(AIB)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概 率，因此P(BIA)和P(AIB)的意义不同 关键能力攻重难 例1：由古典概型的概率公式可知 ()PA)=号 P(B)=2×1+3×2-8_2 5×4 =20=5, P(AnB)=2x1-1 5×4-10 1 (2)P(BIA)=P(AnB)101 P(A) 2 4 5 对点训练1：(1)令事件A=取得蓝球}，B={取得蓝色E 型玻璃球}. 僻法P(A)三6PAnB)白 41 16 =4, 1 .P(BIA)=P(AnB)44 P(A) =1=1五 16 解法二：n(A)=11,n(AnB)=4, .P(BIA)=n(A0B)4 n(A)-11 例2：设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈 节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事 件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(2) =A=30, 根据分步计数原理n(A)=AA=20,于是P(A)=(少 n(o= 202 30=3 (2)因为n(AnB)=A=12,于是P(AnB)=(AnB n(2) 12 (3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件 下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 2 P(BIA)=P(AOB)=5=3 P(A) 3 解法二：因为n(A∩B)=12,n(A)=20, 所以P(B1A)=(AnB)-123 n(A)=20=5 15 解法三：第1次抽到舞蹈节目后，再抽第2次，则基本事件 空间为C,而又抽到舞蹈节目的数目为C, ·概率为P=C=3 C5 31 对点训练2：弓立解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ABC.ABD.ABE.ACD.ACE.ADE,BCD.BCE.BDE.CDE.10 种情况， 其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD, ACE.ADE 则印选到1的概率为P:合号： 乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE, 其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE, 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 6=2 解法二 设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N, 则甲选到A的概率为P(M0是=子： 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(NIM)= C P(MN)_ P(M) 2 例3：设第i次按对密码为事件A(i=1,2),则A=A1U (AA2)表示不超过2次按对密码. (1)因为事件A1与事件AA2互斥，由概率的加法公式得 P(A)=P(A1)+P(AA,)=10+10x9=5 1,9×11 (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(AIB)=P(AIB)+ raA)lB)=号+号号 对点训练3：设“该考生6道题全答对”为事件A,“该考生恰 好答对了5道题”为事件B,“该考生恰好答对了4道题”为事件 C,“该考生在这次考试中通过”为事件D,“该考生在这次考试 中获得优秀”为事件E,则D=AUBUC,E=AUB,且A,B,C两 两互斥，由古典概型的概率公式知 P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) Ce Cio Cio Cto Cio12180 C90 Coo C 又AD=A,BD=B, 所以P(EID)=P((AUB)ID) =P(AID)+P(BID) =P(AD)P(BD) P(D) +P(D) P(A)P(B) P(D)'P(D) Clo CioCio 13 = 12180+12180=58 C0 C90 例4：记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为 事件B,“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事 件C. 在事件A已经发生的条件下，袋中只有9个球，其中3个白 球，放此时取到黄球的概率为P(C)=P(B14)=日=号或者 8●031 章末知识梳理 知识体系构建 排列的概念 排列数公式 排列 排列的应用 两个计数定理 组合的概念 组合数公式 组合 排列组合 组合数性质 二项式定理 组合的应用 二项式系数的性质 二项式定理 二项展开式 应用 通项公式 核心知识归纳 知识点一基本计数原理 1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+mn· 2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×mn 知识点二排列 L.排列：一般地，从n个不同对象中，任取出m(m≤n,m,n∈N*)个对象，按照一定的顺序排成 一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 2.排列数：从n个不同对象中取出m(m≤n,m,n∈N*)个对象的所有排列的个数，用符号Am 表示 n！ 3.排列数公式：A=n(n-1)…(n-m+1)=n”m订 4.全排列：一般地，n个不同对象全部取出的一个排列，称为n个不同对象的一个全排列. 5.排列数的性质：A=nA=mA+A- 知识点三组合 1.组合：一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n,m,n∈N*)个对象并成一组，称为从n个不 同对象中取出m个对象的一个组合， 2.组合数：从n个不同对象中取出m(m≤n,m,n∈N*)个对象的所有组合的个数，用符号C 表示。 3.组合数公式：C=人-a-)a-m+ n! mi m！(n-m)! 4.组合数的性质：C=C:";C1+C=C. 知识点四二项式定理 1.二项式定理：(a+b)"=Ca”+Ca”-b+…+Ca”-b+…+C"b"(n∈N*). 032 2.二项展开式的通项公式：T+1=Ca-b,0≤k≤n,k∈N,n∈N*. 3.二项式系数：第k+1项的二项式系数为C,0≤k≤n,keN,n∈N*. 对称性 增减性与最大值 4.二项式系 各项二项式系数和：C+C+…+C+…+C-1+C=2” 数的性质 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和：C”+C+C4 +…=C+C3+C+…=2”-1 5.杨辉三角 要点专项突破 要点一两个计数原理的应用 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排列、组 合等问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属中档题 2.应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是 分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件， 能完成便是分类，否则便是分步.对于有些较复杂问题可能既要分类又要分 步，此时，应注意层次分明，不重不漏： 例从数字1,234,5中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数 字之和等于6，这样的三位数的个数为 () A.7 B.9 C.10 D.13 规律方法： 用两个计裁原理解决 ·[规律方法] 实际问题时，往往从 要点二排列与组合的综合应用 特殊元素入手，通过 求解排列组合综合问题的常用策略： 对其分析，展开讨 (1)特殊元素优先安排的策略. 论，将复杂问题分解 (2)合理分类和准确分步的策略 为几类简单问题加以 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 解决 (4)正难则反、等价转化的策略。 (5)相邻问题捆绑处理的策略. (6)不相邻问题插空处理的策略： (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略. (10)构造模型的策略 例 2.已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必 须相邻，则满足要求的排队方法数为 () A.72 B.96 C.120 D.288 ·[规律方法] ●033 例3在高三一班元日晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节日。 (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种 不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目， 但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 规律方法： 解决排列组合的综合 问题时，通常都是从 特殊元素、特殊位置 入手，先安排特殊元 素、特殊位置，再安 排其他元素、其他位 置，根据分步乘法计 P[规律方法] 数原理解决问題 要点三二项式定理的应用 对于二项式定理的考查常出现两类问题：一类是直接运用通项公式来求 特定项；另一类需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.从近几年 高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主，难 度不大，但不排除与其他知识交汇，具体归纳如下： (1)考查通项公式问题， 规律方法： (2)考查系数问题： 求特定项或特定项的 ①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和： 系裁，就是根据二项 ②一般采用通项公式或赋值法解决； 式定理写出展开式的 ③可转化为二项式定理解决问题 通项T+1,根据需要 例4+高 对通项T+1中的飞进 展开式中的第7项与倒数第7项的比是1：6，则展开式中 行赋值. 的第7项为 [分析]先利用“第7项与倒数第7项的比是1：6”求出n的值，然后再 利用通项求第7项 P[规律方法] 规律方法： 例已知任+网 的展开式中倒数第三项的系数为45. 利用二项式系数的性 质，可以把在展开式 (1)求含有x3的项； 中靠后的二项式系裁 (2)求系数最大的项 C转化为靠前的二项 [分析]先根据条件求出n的值，再求出特定项， 式系数C-“,转化后 可简化解题过程[本 例(1)的解决]，还 可以解决一些较为简 单的二项展开式系数 的最大（或最小）问 题.但应注意区分二项 式系数和展开式系数 [规律方法] 这两个不同的概念， 034 例6.已知(x+2)(2x-1)5=,+ax+a,+…+a,t,则a,+ a2+a4= ( 规律方法： A.123 B.91 解决二项式系裁和问题的思维过 C.-152 D.-120 程如下 ·[规律方法] 对式子的x赋值，目的 要点四分类与整合的思想 切入点一 是将二项式的系数分 高出来 解决两个计数原理的综合应用问题时，很多时候都需要既分 怎样对x赋值 类又分步才能完成.解题时，先根据问题分析是先分类还是先分 步.对于先分类后分步的题目，应明确分类的标准，做到不重不漏： 求二式系数的和 展开式中的常数项 思考点 和最高次项的系数 对于先分步后分类的题目，往往是一个元素的位置选择对另一个 如何求出 如何得到所求的代 元素的位置选择有影响. 数关系 例7现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色绿色卡片各 解题 对赋值一变形一结论 4张，从中任取3张，要求这3张卡片中至多有两张红色卡片， 过程 并且其余卡片颜色不能相同，那么不同取法的种数为 (用数字作答) ●[规律方法] 规律方法： 要点五化归与转化的思想 寻我合理的分类方法是解此类题 日的关键，对于计数问题，分类的 排列组合与二项式定理中的许多问题，往往是同一数学模型 依据主要是特殊元素或特殊位置. 的不同体现，可以利用等价转化的思想，转化为计数原理中的基本 模型，再利用排列与组合知识列式解决问题 例8，现将10个参加全国高中数学联赛的名额分配给某地区四 规律方法： 个不同的学校，要求一个学校1名，一个学校2名，一个学校3 联赛的名额虽然是不加区分的 名，一个学校4名，则不同的分配方案有 ) 可视为相同的元素，但由于各校 A.4种 B.24种 所分的名额裁各不相同，因此可 C.96种 D.12600种[规律方法] 认为该分配问题是四个不同元素 的全排列问题 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）