3.3 第2课时 二项式系数的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　二项式系数的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用，掌握“赋值法”并会灵活应用. 1.二项式系数和的性质 (1)++…++…+=2n; (2)+++…=+++…=. 2.杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的,且两端的数都是1; (2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和. 3.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=; (2)增减性与最大值:增减性:当k<时,二项式系数是逐渐增大的;当k>时,二项式系数是逐渐减小的.最大值:当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值. 基础落实训练 1.已知(ax+1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:A 2.(1+x(n∈N+)的展开式中，系数最大的项是 (　　) A.第+1项 B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n+1项 答案:C 3.展开式的各项系数的和为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.210 答案:B 题型(一)　杨辉三角 [例1]　如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N+，n≥2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如=+=+=+，……，则第10行第4个数字(从左往右数)为　　　　.  …… 解析:将杨辉三角中的每一个数都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中，第10行第4个数字为=84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为=. 答案: |思|维|建|模| 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察. (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律. (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 　　[针对训练] 1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a，b是某行的前两个数，当a=7时，b= (　　) 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 …… A.20 B.21 C.22 D.23 解析:选C　观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当a=7时，b的“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b=6+16=22. 2.在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第　　　行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5.  1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …… 解析:根据题意，设所求的行数为n(n∈N+)，则存在自然数k，使得=且=，化简得=且=，解得k=26，n=63.故第63行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5. 答案:63 题型(二)　二项式系数的增减性与最值 [例2]　在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解:由二项式通项，得=·()8-r·=(-1)r··2r·. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5=·24·=1 120x-6. (2)设第(r+1)项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r=5或r=6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. [变式拓展] 　在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解:由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26·x-11=1 792x-11，系数最小的项为T6=(-1)5·25=-1 792. |思|维|建|模| 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 　　[针对训练] 3.在(3x-2y)20的展开式中，求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 解:(1)二项式系数最大的项是第11项，即T11=×310×(-2)10x10y10=×610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20，r∈N)项， 于是化简，得 解得≤r≤(r∈N)，所以r=8. 即T9=×312×28x12y8是系数绝对值最大的项. (3)由于系数为正的项为y的偶次方项，因此可设第2k-1(1≤k≤11，k∈N)项系数最大， 于是 所以 解得k=5，即第2×5-1=9项系数最大， T9=×312×28x12y8. 题型(三)　二项展开式的系数和 [例3]　设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a3+a5+…+a99; (3)-(a1+a3+…+a99)2. 解:(1)在(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100中， 令x=0，得a0=2100. (2)令x=1，得a0+a1+a2+…+a100=， 令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…-a99+a100=， 两式相减，得a1+a3+a5+…+a99=. (3)由(2)得(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+a5+…+a99)2 =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…-a99+a100) =(2-)100·(2+)100==1. |思|维|建|模| 求展开式的各项系数之和常用赋值法 “赋值法”是求展开式系数常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值. (1)一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x=-1则可得各项系数绝对值之和. (2)有两个变量x，y的，可以令x=y=1，得所有项系数之和. [针对训练] 4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值. (1)a1+a2+…+a7; (2)a0+a2+a4+a6; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:(1)当x=1时，(1-2x)7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1;当x=0时，a0=1， 故a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1-1=-2. (2)当x=-1时，(1-2x)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37. 由(1)知a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1， 所以a0+a2+a4+a6==1 093. (3)由展开式可知a1，a3，a5，a7均为负值，a0，a2，a4，a6均为正值， 结合(1)(2)可知a1+a3+a5+a7==-1 094，故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187. 学科网（北京）股份有限公司 $