3.3 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

所以９ －３ｒ２ ＝３，ｒ ＝１， 所以第二项为含ｘ３的项： Ｔ２ ＝ －２Ｃ １ ９ｘ ３ ＝ －１８ｘ３ ． 　 　 对点训练３：（１）Ａ　 （ｘ －槡ｘ）４ 的二项展开式为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ４ｘ４ － ｒ （－槡ｘ）ｒ ＝Ｃｒ４（－１）ｒｘ４ － ｒ ２，（ｒ ＝０，１，２，３，４），令４ － ｒ２ ＝３，解得ｒ ＝２， 故所求即为Ｃ２４（－１）２ ＝６．故选Ａ． （２）①由题意，二项式（ｘ ＋２槡ｘ）ｎ的展开式的各项系数和比二 项式系数和大２１１，可得３ｎ －２ｎ ＝２１１，解得ｎ ＝５． ②展开式的通项为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ５ｘ５ － ｒ（２槡ｘ）ｒ ＝Ｃｒ５２ ｒｘ５ － ｒ ２（ｒ ＝０，１，…，５）， 当ｒ ＝０，２，４时５ － ｒ２是整数． 故展开式中所有有理项为：Ｔ１ ＝ ｘ５，Ｔ３ ＝４０ｘ４，Ｔ５ ＝８０ｘ３ ． 　 　 例４：由题设，得Ｔ２ ＝ Ｃ１ｎｘｎ －１（槡－ ２） 槡＝ － ２ｎｘｎ －１，Ｔ４ ＝ Ｃ３ｎｘｎ －３， （槡－ ２）３ 槡＝ －２ ２Ｃ３ｎｘｎ －３，于是有槡－ ２ｎ槡－２ ２Ｃ３ｎ ＝ １２ ，化简得ｎ ２ － ３ｎ －４ ＝ ０，解得ｎ ＝４或ｎ ＝ －１（舍去）． 所以（ｘ 槡－ ２）４的展开式的通项为Ｔｋ ＋１ ＝（槡－ ２）ｋＣｋ４ｘ４ － ｋ，令４ － ｋ ＝２，则ｋ ＝２，所以含ｘ２的项为（槡－ ２）２Ｃ２４ｘ２ ＝１２ｘ２ ． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 ２ｘ － １( )ｘ ５ 的展开式的通项为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ５ ２( )ｘ ５ － ｒ － １( )ｘ ｒ ( )＝ － １ ｒ２５ － ｒＣｒ５ｘ ５ － ２ｒ 令５ － ２ｒ ＝ １得ｒ ＝ ２ 所以２ｘ － １( )ｘ ５ 的展开式中ｘ的系数为 （－ １）２２５ － ２Ｃ２５ ＝ ８０，故选Ｄ． ２． Ａ　 由通项公式得Ｔ７ ＝ Ｃ６１０·（－ ｉ）６ ＝ － Ｃ６１０ ＝ － ２１０． ３． Ｄ　 ｘ － ２( )ｘ ４ 的展开式中通项公式Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ４ｘ４ － ｒ·－ ２( )ｘ ｒ ＝（－ ２）ｒＣｒ４ｘ４ － ２ｒ，当４ － ２ｒ ＝ ０时，展开式为常数，此时ｒ ＝ ２，展 开式的常数项为：Ｔ３ ＝ ４Ｃ２４ ＝ ２４． ４． ２０　 因为３ｘ３ ＋ ｘ３( )３ ６ 的展开式的通项为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ６ ３ｘ( )３ ６ － ｒ ｘ３( )３ ｒ ＝ ３６ －２ｒＣｒ６ｘ ６（ｒ － ３），ｒ ＝ ０，１，…，６，令６（ｒ － ３）＝ ０，可得ｒ ＝ ３，所以常数项为３０Ｃ３６ ＝ ２０． ５． ３２　 ｘ５ ＝ ａ０ ＋ ａ１（ｘ － ２）＋ ａ２（ｘ － ２）２ ＋…＋ ａ５（ｘ － ２）５， 令ｘ － ２ ＝ ０，即ｘ ＝ ２，可得ａ０ ＝ ２５ ＝ ３２． 第２课时　 二项式系数的性质、杨辉三角 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）１　 相等　 （２）和 　 　 思考１：①直观地看出或探究二项式系数的性质；②当二项 式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数． 　 　 知识点２ 　 （１）首末两端“等距离”　 （２）增大　 减小　 Ｃ ｎ － １ ２ｎ ，Ｃ ｎ ＋ １ ２ｎ 　 　 知识点３　 （１）２ｎ 　 （２）２ｎ － １ 思考２：先判断ｎ是奇数还是偶数，若是奇数则中间两项系 数是最大项，若是偶数则中间项系数是最大项． 关键能力·攻重难 　 　 例１：由杨辉三角可知，数列中的首项是Ｃ２２，第２项是Ｃ１２，第 ３项是Ｃ２３；第４项是Ｃ１３…第１７项是Ｃ２１０，第１８项是Ｃ１１０，第１９项 是Ｃ２１１ ． 故Ｓ１９ ＝（Ｃ１２ ＋ Ｃ２２）＋（Ｃ１３ ＋ Ｃ２３）＋（Ｃ１４ ＋ Ｃ２４）＋…＋（Ｃ１１０ ＋ Ｃ２１０）＋ Ｃ２１１ ＝（Ｃ１２ ＋ Ｃ１３ ＋ Ｃ１４ ＋…＋ Ｃ１１０）＋（Ｃ２２ ＋ Ｃ２３ ＋…＋ Ｃ２１１） ＝（２ ＋ １０）× ９２ ＋ Ｃ ３ １２ ＝ ２７４． 　 　 对点训练１：６２　 若第ｎ行中含有三个连续项之比为３４５， 则存在正整数ｋ使得 ３ ４ ＝ Ｃｋ － １ｎ Ｃｋｎ ＝ ｋ！（ｎ － ｋ）！（ｋ － １）！（ｎ － ｋ ＋ １）！＝ ｋ ｎ － ｋ ＋ １， ４ ５ ＝ Ｃｋｎ Ｃｋ ＋ １ｎ ＝（ｋ ＋ １）！（ｎ － ｋ － １）！ｋ！（ｎ － ｋ）！ ＝ ｋ ＋ １ ｎ － ｋ， 由此得３ｎ － ７ｋ ＝ － ３， ４ｎ － ９ｋ ＝ ５{ ， 解之，得ｋ ＝ ２７， ｎ ＝ ６２{ ． 　 　 例２：令ｘ ＝ １，则二项式各项系数的和为ｆ（１）＝（１ ＋ ３）ｎ ＝ ４ｎ，又展开式中各项的二项式系数之和为２ｎ，由题意知，４ｎ － ２ｎ ＝ ９９２． ∴ （２ｎ）２ － ２ｎ － ９９２ ＝ ０， ∴ （２ｎ ＋ ３１）（２ｎ － ３２）＝ ０， ∴ ２ｎ ＝ － ３１（舍去）或２ｎ ＝ ３２， ∴ ｎ ＝ ５． （１）由于ｎ ＝ ５为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 为中间两项，它们分别是 Ｔ３ ＝ Ｃ ２ ５（ｘ ２ ３）３（３ｘ２）２ ＝ ９０ｘ６， Ｔ４ ＝ Ｃ ３ ５（ｘ ２ ３）２（３ｘ２）３ ＝ ２７０ｘ２２３ ． （２）展开式的通项公式为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ５３ ｒ·ｘ ２ ３（５ ＋ ２ｒ）． 假设Ｔｒ ＋ １项系数最大， 则有Ｃ ｒ ５３ ｒ≥Ｃｒ － １５ ·３ ｒ － １， Ｃｒ５３ ｒ≥Ｃｒ ＋ １５ ·３ ｒ ＋ １{ ， ∴ ５！ （５ － ｒ）！ｒ！× ３≥ ５！ （６ － ｒ）！（ｒ － １）！， ５！ （５ － ｒ）！ｒ！≥ ５！ （４ － ｒ）！（ｒ ＋ １）！× ３{ ， ∴ ３ ｒ ≥ １ ６ － ｒ， １ ５ － ｒ≥ ３ ｒ ＋ １ { ． ∴ ７２ ≤ｒ≤ ９ ２ ，∵ ｒ∈Ｎ，∴ ｒ ＝ ４． ∴展开式中系数最大的项为 Ｔ５ ＝ Ｃ ４ ５ｘ ２ ３（３ｘ２）４ ＝ ４０５ｘ２６３ ． 　 　 对点训练２：５　 由题展开式通项公式为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ１０ ( )１３ １０ － ｒ ｘｒ， ０≤ｒ≤１０且ｒ∈Ｚ， 设展开式中第ｒ ＋ １项系数最大， 则 Ｃｒ１０ ( )１３ １０ － ｒ ≥Ｃｒ ＋ １１０ ( )１３ ９ － ｒ Ｃｒ１０ ( )１３ １０ － ｒ ≥Ｃｒ － １１０ ( )１３ １１ －{ ｒ，  ｒ≥２９４ ｒ≤３３{ ４ ，即２９４ ≤ｒ≤３３４ ，又ｒ∈Ｚ，故ｒ ＝ ８， 所以展开式中系数最大的项是第９项，且该项系数为 Ｃ８１０ ( )１３ ２ ＝ ５                                                                       ． —１３２— 故答案为５． 　 　 例３：（１）由（ 槡２ － ３ｘ）１００展开式中的常数项为Ｃ０１００·２１００，即 ａ０ ＝ ２ １００（或令ｘ ＝ ０，则展开式可化为ａ０ ＝ ２１００）． （２）令ｘ ＝１，可得ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００ ＝（ 槡２ － ３）１００，① ∴ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００ ＝（ 槡２ － ３）１００ － ２１００ ． （３）令ｘ ＝ － １， 可得ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋…＋ ａ１００ ＝（ 槡２ ＋ ３）１００，② 与①联立相减可得 ａ１ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ９９ ＝（ 槡２ － ３） １００ －（ 槡２ ＋ ３）１００ ２ ． （４）原式＝［（ａ０ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００）＋（ａ１ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ９９）］· ［（ａ０ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００）－（ａ１ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ９９）］ ＝（ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００）（ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋…＋ ａ９８ － ａ９９ ＋ ａ１００） ＝（ 槡２ － ３）１００ ×（ 槡２ ＋ ３）１００ ＝ １． 　 　 对点训练３：令ｘ ＝ １，则 ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ － １ ① 令ｘ ＝ － １，则 ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋ ａ４ － ａ５ ＋ ａ６ － ａ７ ＝ ３ ７ ② （１）∵ ａ０ ＝ Ｃ０７ ＝ １， ∴ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ７ ＝ － ２． （２）由（① －②）÷ ２，得 ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋ ａ７ － １ － ３７ ２ ＝ － １ ０９４． （３）由（① ＋②）÷ ２，得 ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６ － １ ＋ ３７ ２ ＝ １ ０９３． （４）解法一：（１ － ２ｘ）７的展开式中，ａ０，ａ２，ａ４，ａ６ 大于零，而 ａ１，ａ３，ａ５，ａ７小于零， ∴ ｜ ａ０ ｜ ＋ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａ７ ｜ ＝（ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６）－ （ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋ ａ７）亦可令ｘ ＝ － １得， ＝ １ ０９３ ＋ １ ０９４ ＝ ２ １８７． 解法二：∵ ｜ ａ０ ｜ ＋ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａ７ ｜是（１ ＋ ２ｘ）７ 展开 式中各项的系数和． ∴ ｜ ａ０ ｜ ＋ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａ７ ｜ ＝ ３７ ＝ ２ １８７． 　 　 例４：（３２０ － １）（３２０ ＋ １）　 设ｘ的奇次项系数的和为Ａ，ｘ 的偶次项系数的和为Ｂ，则令ｘ ＝ １，得Ａ ＋ Ｂ ＝ ３２０，令ｘ ＝ － １，得 Ｂ － Ａ ＝ １， ∴ ２Ｂ ＝ ３２０ ＋ １，∴ Ｂ ＝ ３ ２０ ＋ １ ２ ，Ａ ＝ ３２０ － １ ２ ． 即奇次项系数的和为３ ２０ － １ ２ ，偶次项系数的和为 ３２０ ＋ １ ２ ． ∴所求之比（３２０ － １）（３２０ ＋ １）． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 二项式（ａ ＋ ｂ）ｎ的展开式中， 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ∴ ２ｎ － １ ＝ ６４，∴ ｎ ＝ ７．故选Ｃ． ２． Ｂ　 由条件知（１ ＋ ２）ｎ ＝ ７２９，∴ ｎ ＝ ６，∴展开式的通项为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ６（２ｘ）ｒ ＝ ２ ｒＣｒ６ｘｒ，令ｒ ＝ ３得２３Ｃ３６ ＝ １６０． ３． Ｃ　 该展开式共２ｎ ＋ ２项，中间两项为第ｎ ＋ １项与第ｎ ＋ ２ 项，所以第ｎ ＋ １项与第ｎ ＋ ２项为二项式系数最大的项． ４． Ｂ　 令ｘ ＝１，得Ｍ ＝４ｎ，又Ｎ ＝２ｎ，故４ｎ －２ｎ ＝２４０．解得ｎ ＝４．展开 式中的通项为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ４（５ｘ）４ － ｒ － １槡( )ｘ ｒ ＝（－１）ｒ５４ － ｒＣｒ４ｘ４ － ３ ２ ｒ， 令４ － ３２ ｒ ＝ １得ｒ ＝ ２，∴当ｒ ＝ ２时，展开式中ｘ的系数为 Ｃ２４５ ２ ＝ １５０．故选Ｂ． ５． ３６４　 令ｘ ＝ １，则ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１２ ＝ ３６， 令ｘ ＝ － １，则ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ －…＋ ａ１２ ＝ １，∴ ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ１２ ＝ ３６ ＋ １ ２ ． 令ｘ ＝ ０，则ａ０ ＝ １，∴ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ１２ ＝ ３ ６ ＋ １ ２ － １ ＝ ３６４． 章末知识梳理 要点专项突破 　 　 例１：Ｃ　 从数字１，２，３，４，５中取出３个数字（允许重复）， 组成三位数，各位数字之和等于６， 可分为三类情况：（１）当三个数为１，１，４时，共有Ｃ１３ ＝ ３ （种）排法；（２）当三个数为１，２，３时，具有Ａ３３ ＝ ６（种）排法；（３） 当三个数为２，２，２时，只有１种排法．由分类加法计数原理可 得，共有３ ＋ ６ ＋ １ ＝ １０（种）不同排法，即这样的数共有１０个． 　 　 例２：Ａ　 设另外两人为戊、己．可以分步完成，①甲、丁捆绑 后排序有Ａ２２种方法，②捆绑后的甲、丁与戊己排序，有Ａ３３ 种方 法，③将乙、丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有 Ａ２３种方法，根据分步乘法计数原理，共有２ × ６ × ６ ＝ ７２ （种） 方法． 　 　 例３：（１）第一步，先将４个舞蹈节目捆绑起来，看成１个节 目，与６个演唱节目一起排，有Ａ７７ ＝ ５ ０４０（种）方法；第二步，再 松绑，给４个节目排序，有Ａ４４ ＝ ２４种方法． 根据分步乘法计算原理，一共有５ ０４０ × ２４ ＝ １２０ ９６０（种） （２）第一步，将６个演唱节目排成一列（如下图中的“□”）， 一共有Ａ６６ ＝ ７２０（种）方法． ×□ ×□ ×□ ×□ ×□ ×□ × 第二步，再将４个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 （即图中“×”的位置），这样相当于７个“×”选４个来排，一共 有Ａ４７ ＝ ８４０（种）． 根据分步乘法计数原理，一共有７２０ × ８４０ ＝ ６０４ ８００（种）． （３）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有Ａ１２１２种排法， 但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 Ａ１２１２ Ａ１０１０ ＝ Ａ２１２ ＝ １３２（种）排法． 　 　 例４：５６３ 　 第７项：Ｔ７ ＝ Ｃ ６ ｎ（３槡２）ｎ － ６ １３槡( )３ ６ ， 倒数第７项：Ｔｎ － ５ ＝ Ｃｎ － ６ｎ （３槡２）６ １３槡( )３ ｎ － ６ ， 由 Ｃ６ｎ（３槡２）ｎ － ６ １３槡( )３ ６ Ｃｎ － ６ｎ （３槡２）６ １３槡( )３ ｎ － ６ ＝ １ ６ ， ∴ ｎ ＝ ９． 故Ｔ７ ＝ Ｃ６９（３槡２）９ － ６ １３槡( )３ ６ ＝ Ｃ３９·２·１９ ＝ ５６ ３ ． 　 　 例５：（１）已知展开式中倒数第三项的系数为４５，则Ｃｎ － ２ｎ ＝ ４５，即Ｃ２ｎ ＝ ４５，得ｎ２ － ｎ ＝ ９０，解得ｎ ＝ － ９（不合题意，舍去）或ｎ ＝ １０． 通项Ｔｋ ＋ １ ＝ Ｃｋ１０（ｘ － １ ４）１０ － ｋ（ｘ ２３）ｋ ＝ Ｃｋ１０ｘ － １０ － ｋ ４ ＋ ２ｋ ３（０≤ｋ≤１０，ｋ ∈Ｎ），令－ １０ － ｋ４ ＋ ２ｋ ３ ＝ ３，解得ｋ ＝ ６． 故含有ｘ３的项是第七项，Ｔ７ ＝ Ｃ６１０ｘ３ ＝ ２１０ｘ３ ． （２）∵ ４ １槡ｘ ＋ ３ ｘ槡( )２ １０ 的展开式中共有１１项                                                                       ， —１３３— ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第２课时　 二项式系数的性质、杨辉三角 !"#$%&'( 课程标准 １．掌握二项式系数的性质及其应用． ２．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明． ３．掌握二项式定理的应用． 学法解读 １．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养． ２．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养．加强文化自信． )*+,%-.+ 杨辉三角的特点 　 　 （１）在同一行中，每行两端都是　 　 　 　 ，与 这两个１等距离的项的系数　 　 　 　 ． （２）在相邻的两行中，除１以外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的　 　 　 　 ，即Ｃｒｎ ＋ １ ＝ Ｃｒ － １ｎ ＋ Ｃ ｒ ｎ ． 思考１：杨辉三角的作用是什么？ 二项式系数的性质 　 　 （１）对称性：在（ａ ＋ ｂ）ｎ的展开式中，与首末 两端“等距离”　 的两个二项式系数相等，即Ｃ０ｎ ＝ Ｃｎｎ，Ｃ１ｎ ＝ Ｃｎ － １ｎ ，…，Ｃｒｎ ＝ Ｃｎ － ｒｎ ． （２）增减性与最大值：当ｋ ＜ ｎ ＋１２ 时，二项式系 数是逐渐增大　 的，由对称性可知它的后半部分是 逐渐增大　 的，且在中间取到最大值．当ｎ是偶数 时，中间一项的二项式系数Ｃ ｎ２ｎ取得最大值；当ｎ 是奇数时，中间两项的二项式系数Ｃｎ － １２ｎ ，Ｃ ｎ ＋ １ ２ｎ 　 相 等，且同时取到最大值． 各二项式系数的和 　 　 （１）Ｃ０ｎ ＋ Ｃ１ｎ ＋ Ｃ２ｎ ＋…＋ Ｃｎｎ ＝ 　 　 　 　 ． （２）Ｃ０ｎ ＋ Ｃ２ｎ ＋ Ｃ４ｎ ＋…＝ Ｃ１ｎ ＋ Ｃ３ｎ ＋ Ｃ５ｎ ＋…＝ ２ｎ － １　 ． 思考２：如何求展开式中二项式系数最大项                            ？ /012%345 题型探究 题型一 与“杨辉三角”有关的问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．如图所示，在“杨辉三角”中斜线ＡＢ的上 方，从１开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： １，２，３，３，６，４，１０，５，…．记其前ｎ项和为Ｓｎ，求Ｓ１９ 的值． ［分析］　 由图知，数列中的首项是Ｃ２２，第２ 项是Ｃ１２，第３项是Ｃ２３，第４项是Ｃ１３，…，第１７            项是 !#" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # Ｃ２１０，第１８项是Ｃ１１０，第１９项是Ｃ２１１ ． 　 　 ［尝试作答     ］ 　 　 ［规律方法］　 解决与杨辉三角有关的问题 的一般思路 对点训练? 在“杨辉三角”中，从第２行 开始，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开 头几行如图所示．则在“杨辉三角”中第　 　 　 　 行会出现三个相邻的数，其比为３４５． 题型二 二项式系数的性质及应用 ２．已知ｆ（ｘ）＝（３ ｘ槡２ ＋ ３ｘ２）ｎ展开式中各项的 系数和比各项的二项式系数和大９９２． （１）求展开式中二项式系数最大的项； （２）求展开式中系数最大的项． ［分析］　 求二项式系数最大的项，利用性质 知展开式中中间项（或中间两项）是二项式系数 最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将ｘ，ｙ 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号． 　 　 ［尝试作答     ］ 　 　 ［规律方法］　 １．求二项式系数最大的项，根 据二项式系数的性质，当ｎ为奇数时，中间两项的 二项式系数最大；当ｎ为偶数时，中间一项的二项 式系数最大． ２．求展开式中系数最大项与求二项式系数最 大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情 况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 对点训练? （２０２４·全国甲卷理科） １ ３ ＋( )ｘ １０ 的展开式中，各项系数中的最大值为 　 　 　 　 ． 题型三有关二项式系数和、展开式的系数和的问题 ３．设（２ －槡３ｘ）１００ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ１００ ｘ１００，求下列各式的值． （１）ａ０； （２）ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００； （３）ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋…＋ ａ９９； （４）（ａ０ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１００）２ － （ａ１ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ９９）２ ． ［分析］　 用赋值法求各系数的和． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 １．各项的系数和 一般地，二项展开式ｆ（ｘ）中的各项系数和为 ｆ（１），奇数项系数和为１２［ｆ（１）＋ ｆ（－ １）］，偶数项 系数和为１２［ｆ（１）－ ｆ（－１）］． ２．赋值法 “赋值法”是求二项展开式系数问题的常用 方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代 替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以 取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时 要避免漏项等情况． 对点训练?已知（１ －２ｘ）７ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ７ｘ７． 求：（１）ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ７； （２）ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋ ａ７； （３）ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６； （４）｜ ａ０ ｜ ＋ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａ７ ｜                                                                        ． ! # ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 易错警示 　 　 错用二项式系数的性质致误 ４．（１ ＋ ２ｘ）２０的展开式中，ｘ的奇次项系数的 和与ｘ的偶次项系数的和之比为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ［错解一］　 ∵二项展开式中奇次项系数的 和与偶次项系数的和相同，∴奇次项系数的和与 偶次项系数的和均为２１９ ． ∴所求比为１∶ １． ［错解二］　 由二项展开式中知ｘ的奇次项系 数的和为Ｃ１２０·２ ＋ Ｃ３２０·２３ ＋ Ｃ５２０·２５ ＋…＋ Ｃ１９２０· ２１９，ｘ的偶次项系数的和为Ｃ０２０ ＋ Ｃ２２０·２２ ＋ Ｃ４２０·２４ ＋…＋ Ｃ２０２０·２２０ ． 　 　 ∴所求比为（Ｃ１２０·２ ＋ Ｃ３２０·２３ ＋…＋ Ｃ１９２０· ２１９）∶ （Ｃ０２０ ＋ Ｃ２２０·２２ ＋…＋ Ｃ２０２０·２２０）． ［辨析］　 错解一是将系数和与二项式系数 和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值，其原 因在于没有把握住求系数和的根本方法．对于求 系数和的问题，要注意用赋值法解决．奇、偶次项 是针对ｘ的指数而言，奇、偶数项是针对第几项 而言． ［正解］                    　 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．二项式（ｘ － １）ｎ的奇数项二项式系数和是６４， 则ｎ等于 （Ｃ ） Ａ． ５ Ｂ． ６ Ｃ． ７ Ｄ． ８ ２．已知（１ ＋ ２ｘ）ｎ 的展开式中所有系数之和等于 ７２９，那么这个展开式中ｘ３项的系数是（Ｂ ） Ａ． ５６ Ｂ． １６０ Ｃ． ８０ Ｄ． １８０ ３．（１ ＋ ｘ）２ｎ ＋ １的展开式中，二项式系数最大的项所 在项数是 （Ｃ ） Ａ． ｎ，ｎ ＋１ Ｂ． ｎ －１，ｎ Ｃ． ｎ ＋１，ｎ ＋２ Ｄ． ｎ ＋２，ｎ ＋３ ４．设５ｘ － １槡( )ｘ ｎ 的展开式中各项系数之和为Ｍ，二 项式系数之和为Ｎ，若Ｍ － Ｎ ＝２４０，则展开式中 ｘ的系数为 （Ｂ ） Ａ． － １５０ Ｂ． １５０ Ｃ． ３００ Ｄ． － ３００ ５．若（１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）６ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ１２ｘ１２，则 ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ１２ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［７                  ］ 章末知识梳理 + , = > ? @ !#$