3.3 第1课时 二项式定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 　　二项式定理 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N+) 二项展开式 定理等号右边的式子 二项式系数 (k=0,1,2,…,n) 二项式通项 Tk+1=an-kbk |微|点|助|解| 　 (1)每一项中a与b的指数和为n; (2)各项中a的指数从n起依次减小1,到0为止,各项中b的指数从0起依次增加1,到n为止; (3)若a与b的位置交换,则展开式形式变化; (4)an-kbk表示的是第k+1项; (5)二项式定理中只有a,b两项.若有多项,可合并化为两项后再解决问题. 基础落实训练 1.若N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4，则N= (　　) A.(x-1)4 B.(x+1)4 C.(x-3)4 D.(x+3)4 解析:选B　N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4=(x-1)4+(x-1)3·2+(x-1)2·22+(x-1)·23+24=(x-1+2)4=(x+1)4. 2.二项式的展开式中，含x2项的系数是 (　　) A.-462 B.462 C.792 D.-792 解析:选D　展开式的通项为 x12-k(-1)kx-k=(-1)kx12-2k，k∈{0，1，2，…，12}，令12-2k=2，解得k=5，所以x2项的系数是(-1)5 =-792. 3.用二项式定理展开(x+2)4=　　　　　　　　.  解析:(x+2)4=x420+x321+x222+x123+x024=x4+8x3+24x2+32x+16. 答案:x4+8x3+24x2+32x+16 题型(一)　二项式定理的正用和逆用 [例1]　(1)设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1，则S等于 (　　) A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3 (2)用二项式定理展开(2x+)4=　　　　.  解析:(1)S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=(x-1)3×10+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3. (2)(2x+)4=(2x)4()0+(2x)3·()1+(2x)2()2+(2x)1()3+(2x)0·()4=16x4+32+24x3+8+x2. 答案:(1)C　(2)16x4+32+24x3+8+x2 |思|维|建|模|　二项式定理的正、逆用 正用 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式会出现正负项间隔的情况.对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 逆用 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 　　 [针对训练] 1.(1)求的展开式; (2)化简:(x+1)n-(x+1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解:(1)法一　=(3)4+(3)3·+(3)2·+(3)·+=81x2+108x+54++. 法二　==(1+3x)4=[1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4] =(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. (2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 题型(二)　二项展开式项的系数 [例2]　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求的展开式中x3的系数. 解:(1)由已知得二项式通项为 Tk+1=(2)6-k· =26-k·(-1)k·， ∴T6=26-5·(-1)5·=-12. ∴第6项的二项式系数为=6， 第6项的系数为-12. (2)设展开式中的第(k+1)项为含x3的项， 则Tk+1=x9-k·=(-1)k··x9-2k， 令9-2k=3，得k=3，即展开式中第4项含x3， 其系数为(-1)3·=-84. |思|维|建|模| 二项式通项的应用的常见题型 (1)求第k项，Tk=an-k+1bk-1; (2)求含xk的项(或xpyq的项); (3)求项的系数或二项式系数. 　　[针对训练] 2.已知二项式. (1)求展开式的第4项的二项式系数; (2)求展开式的第4项的系数; (3)求展开式的第4项. 解:的展开式的通项是 Tk+1=(3)10-k =310-k·(k=0，1，2，…，10). (1)展开式的第4项(k=3)的二项式系数为 =120. (2)展开式的第4项的系数为 37=-77 760. (3)展开式的第4项为T4=T3+1=-77 760. 题型(三)　与展开式中特定项有关的问题 [例3]　(1)在二项式的展开式中，x的指数为整数的项的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若的展开式的常数项为60，则实数a的值为 (　　) A.4 B.2 C.8 D.6 解析:(1)展开式的通项为Tr+1==，r=0，1，2，3，4，5，6，7. 当r=1，3，5，7时，x的指数为整数，共有4项. (2)的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2，则常数项为(-1)2a=60，解得a=4. 答案:D　(2)A |思|维|建|模| 求展开式中特定项的方法 求展开式中特定项的关键是抓住其通项，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解.判断有理项的方法是要保证字母的指数一定为整数. 　　[针对训练] 3.在的展开式中，系数为有理数的项是 (　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析:选C　在的展开式中，根据通项Tk+1=(x2)7-k可知，k=4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数. 4.二项式的展开式的中间项为　　　　.  解析:设的展开式的通项为Tr+1=(-1)r，总共11项，中间项为第6项，此时r=5， 所以T6=(-1)5=-252. 答案:-252 学科网（北京）股份有限公司 $