3.1.3 第1课时 组合与组合数及组合数公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数及组合数公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决简单的组合问题. 逐点清(一)　组　合 [多维理解] 定义 一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合 相同 组合 两个组合只要对象相同,不论对象的顺序如何,都是相同的 |微|点|助|解| (1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求. [微点练明] 1.以下四个问题，属于组合问题的是 (　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 解析:选C　只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 2.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为　　　　　　　　.  答案:ab，ac，ad，bc，bd，cd 3.若已知集合P={1，2，3，4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集个数为　　　　.  解析:由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有=6(个). 答案:6 4.写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 解:含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，不含A，B的三个元素有CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 逐点清(二)　组合数及其性质 [多维理解] 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的组合数，记作. 2.组合数公式 (1)===. (2)=1，=n，=1. 3.组合数性质 (1)性质1:=; (2)性质2:=+. |微|点|助|解| (1)m≤n，m，n∈N+; (2)==常用于计算; (3)=常用于证明. [微点练明] 1.= (　　) A.25 B.30 C.35 D.40 解析:选B　+=+=10+20=30. 2.5-8为 (　　) A. B. C.0 D. 解析:选B　5-8=5×-8×=-===. 3.计算:+-. 解:原式=+-1=+-1=56+4 950-1=5 005. 4.求等式=中的n值. 解:原方程可变形为+1=， =， 即 =×， 化简整理，得n2-3n-54=0. 解得n=9或n=-6(舍去)， 所以n=9. 逐点清(三)　组合数公式的应用 [典例]　(1)求值:+++…+; (2)解不等式:2<3. 解:(1)+++…+ =+++…+ =+++…+ =++…+== =5 985. (2)因为2<3，所以2<3， 即<. 又因为所以x≥2.所以<. 所以2≤x<，且x∈N+，所以x=2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}. |思|维|建|模| 关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用=·==进行计算. (2)涉及字母的可以用阶乘式=计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质=简化运算. 　　[针对训练] 1.已知=+(n∈N+)，则n= (　　) A.14 B.15 C.13 D.12 解析:选A　由组合数性质知，=，所以=，所以7+8=n+1，得n=14. 2.若>，则n的取值集合是 (　　) A.{6，7，8，9} B.{6，7，8} C.{n|n≥6，n∈N+} D.{7，8，9} 解析:选A　∵>， ∴ 即解得6≤n<10.∵n∈N+， ∴n=6，7，8，9.∴n的取值集合为{6，7，8，9}. 3.证明下列各等式. (1)=; (2)+++…+=. 证明:(1)∵右边 =· =· ===左边，∴原式成立. (2)∵左边=(+)+++…+ =(+)++…+ =(+)+…+ =(+)+…+ =…=+ ==右边， ∴原式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $