3.1.3 第2课时 组合数的性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第2课时　组合数的性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握组合数的性质． 教学重点：1.组合数性质的推导.2.利用组合数的性质进行计算． 教学难点：利用组合数公式解决与计数原理有关的组合问题． 核心素养：通过对组合数性质的学习提升数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点　　组合数的性质 性质1：C＝C． 性质2：C＋C＝C． 1．(组合数的性质1)C＝________． 答案：190 2．(组合数的性质2)C＋C＝________． 答案：161700 3．(与计数原理有关的组合问题)现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 答案：90 题型一　组合数的性质1 例1　(1)计算C＋CC. [解]　原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4950＝5006. (2)求C＋C的值． [解]　∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N＋，∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. 【感悟提升】　性质“C＝C”的意义及作用 【跟踪训练】　 1．(1)计算CC. 解：原式＝CC＝(n＋1)n＝n2＋n. (2)若C＝C，求x的值． 解：因为C＝C，所以2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝20，所以x＝4或x＝6. 题型二　组合数的性质2 例2　(1)已知C＝C＋C(n∈N＋)，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析]　由组合数的性质知，C＋C＝C，因为C＝C＋C，所以C＝C，所以4＋5＝n＋1，得n＝8.故选C. [答案]　C (2)化简C＋C＋C＋…＋C(结果用组合数表示)． [解]　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1. 【感悟提升】　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是“合二为一”，逆用是将一个组合数拆成两个，使用变形C＝C－C为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． 【跟踪训练】　 2．(1)计算：C＋2C＋3C＋…＋7C.(请用数字作答) 解：原式＝C＋6C＋2C＋5C＋3C＋4C＋7C＝7(C＋C＋C＋C)＝7×64＝448. (2)求证：C＝C＋2C＋C. 证明：由C＝C＋C可知， 右边＝(C＋C)＋(C＋C) ＝C＋C＝C＝左边， ∴原式成立． 题型三　与计数原理有关的组合问题 例3　甲、乙、丙、丁4个公司承包6项工程，甲、乙公司均承包2项，丙、丁公司各承包1项，则共有多少种承包方式？ [解]　依题意，先从6项工程中任取2项给甲，有C种方法，再从余下的4项工程中任取2项给乙，有C种方法，再从余下的2项工程中任取1项给丙，有C种方法，然后将最后1项工程给丁，有1种方法． 由分步乘法计数原理得，共有CCC×1＝180种承包方式． 【感悟提升】　与计数原理有关的组合问题的解题策略 (1)注意合理分步与分类，不要重复或遗漏． (2)在求每一步或每一类的方案数时分别利用组合数公式求解即可． 【跟踪训练】　 3．某校高中一年级举行篮球赛．比赛时先分成两组，其中1班、2班、3班、4班为第一组，5班、6班、7班、8班、9班、10班为第二组．各组先进行单循环赛(即同组中的每两支队都要比赛一场)，然后由各组的前两名共4支队进行单循环赛决出冠军和亚军．问：一共需要比赛多少场？ 解：由题意得，第一组单循环赛的比赛场数是C；第二组单循环赛的比赛场数是C；各组的前两名共4支队再进行单循环赛，还需要比赛C场．所以这次篮球赛一共需要比赛的场次为C＋C＋C＝6＋15＋6＝27. 1.A＋C＝(　　) A．65 B．160 C．165 D．210 答案：C 解析：A＋C＝A＋C＝6×5×4＋＝165.故选C. 2．若C－C＝C，则n＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：C 解析：∵C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14.故选C. 3．C＋C＋C＋C＋C＝(　　) A．84 B．120 C．126 D．210 答案：D 解析：因为C＋C＝C，所以C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝210.故选D. 4．若C＝2026，则x＝________． 答案：1或2025 解析：由于C＝C＝2026，故x＝1或2025. 5．某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种． 答案：100 解析：需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，有C种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，有C种选法．根据分步乘法计数原理，此人有CC＝20×5＝100种不同的投资方式． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 根据组合数的性质1求值 根据组合数的性质1解方程 根据组合数的性质1，2求值 与计数原理有关的组合问题 根据排列数公式、组合数的性质判断等式是否成立 根据组合数的性质1求值 与计数原理有关的组合问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 根据组合数的性质1，2解方程 与计数原理有关的组合问题 利用组合数的性质解方程、计算 根据组合数的性质1解决椭圆问题 与计数原理有关的组合问题 与计数原理有关的组合问题 根据组合数的性质2解方程、组合数性质2的推广 一、选择题 1．C＝(　　) A．1320 B．66 C．220 D．240 答案：C 解析：C＝C＝＝220. 2．若C＝C，则n＝(　　) A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 答案：A 解析：由题意可得解得n≤4，又C＝C，所以3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)．故选A. 3．C＋C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．C B．C C．C D．C 答案：D 解析：原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.故选D. 4．已知某校共有甲、乙、丙、丁四个餐厅，每个餐厅各设有24个服务窗口，从甲、乙、丙、丁四个餐厅中先选取两个餐厅，然后从所选的餐厅中各选5个服务窗口进行卫生检查，则不同的选取方式共有(　　) A．CCC种 B．AAA种 C．ACC种 D．CAA种 答案：A 解析：由题意得，从甲、乙、丙、丁四个餐厅中选取两个餐厅，有C种选取方式；又每个餐厅各设有24个服务窗口，则从所选的餐厅中各选5个服务窗口进行卫生检查，有CC种选取方式，则不同的选取方式共有CCC种．故选A. 5．(多选)下列有关排列数、组合数的等式中(其中n∈N＋，m∈N，m≤n)正确的是(　　) A．C＝C B．A＝(m≥2) C．A＝A＋mA(m≥2) D．C＋C＋C＋…＋C＝330 答案：ACD 解析：对于A，由组合数性质知，C＝C，A正确；对于B，当n≥m≥2时，A＝＝，B错误；对于C，当m≥2时，A＋mA＝＋m·＝＝＝A，C正确；对于D，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝＝330，D正确．故选ACD. 二、填空题 6．若C＝C，则A＝________． 答案：72 解析：∵C＝C，∴n＝3＋6＝9，∴A＝A＝72. 7．在如图的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法． 8 1 6 3 5 7 4 9 2 答案：36 解析：在3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有CCC＝36种选法． 8．已知C＋C＋C＋…＋C＝C，则m＝__________. 答案：4或14 解析：因为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋…＋C＝C＝C，所以m＋1＝5或m＋1＋5＝20，又0≤m≤19，m∈N＋，解得m＝4或m＝14. 三、解答题 9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？ 解：每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应一个平行四边形．而两组对边平行的组合数为CC＝150.因此这两组平行线能构成150个平行四边形． 10．(1)解方程：C＋C＝A； (2)计算：C＋C＋C＋…＋C. 解：(1)由C＋C＝A， 可得C＝A，即C＝A， 可得＝， 即＝， 可得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3， 经检验可得，x＝4是原方程的解， 所以x＝4. (2)由题意，得解得≤n≤， 又n∈N＋，故n＝6. 所以原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝19＋18＋17＋…＋12＝124. 11．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：A 解析：因为1≤m≤n≤5，m，n∈N，且方程x2＋Cy2＝1表示椭圆，所以C≠1，则C可能为C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，根据组合数的性质，可知C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆有6个．故选A. 12．如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，M→N的最短路线有________条． 答案：150 解析：因为M→N的最短路线有M→A→N和M→B→N，其中M→A的最短路线有C条，A→N的最短路线有C条，M→B的最短路线有C条，B→N的最短路线有C条，所以M→N的最短路线有CC＋CC＝150条． 13．小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶．已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 解：考虑走三级台阶的次数： ①有0次走三级台阶，即每次走两级台阶，走8次，只有1种走法； ②有1次走三级台阶(不可能)； ③有2次走三级台阶，则有5次走两级台阶，一共需要走7次，有C＝21种走法； ④有3次走三级台阶(不可能)； ⑤有4次走三级台阶，则有2次走两级台阶，一共需要走6次，有C＝15种走法； ⑥有5次走三级台阶(不可能)． 故总共有1＋21＋15＝37种不同的走法． 14．富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：n人中有1人是军人，从n人中选出m(m<n)人各奖励1颗星，共有C种选法，另一方面，这等价于考虑这n人中的军人是否被选中，若选中军人，则有C种选法，若未选中军人，则有C种选法，所以C＝C＋C. (1)若x∈N，求关于x的方程C＝C的解； (2)将题干中的问题推广到n人中有k(k≤m≤n－k)人是军人的情形，写出结论并加以证明． 解：(1)由题意，得①2x＝x2，解得x＝2或0， ②2x＋x2＝24，解得x＝－6(舍去)或4. 故x＝0或2或4. (2)根据题意，从n人中选出m人各奖励1颗星，选法种数是C， 若从n人中的k(k≤m≤n－k)名军人被选中的人数考虑，则情况如下： k名军人都没有被选中，有CC种选法； 有一名军人被选中，有CC种选法； 有两名军人被选中，有CC种选法； 有三名军人被选中，有CC种选法； …… 有k名军人被选中，有CC种选法． 所以C＝CC＋CC＋CC＋…＋CC(k≤m≤n－k)． 9 学科网（北京）股份有限公司 $