3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

同的排法 方法二（间接法）：3名女生和5名男生排成一排共 有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法 AA种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A-AA?=36000种不同的排法. 例5解：(1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘 法计数原理，知可组成4×5x5x5×5=2500个五位数. (2)方法一：考虑特殊位置“万位”，从1,2,3,4 中任选一个填入万位，共有4种填法，其余4个数字作 全排列，有A:种排法，故共有A:A=96个符合条件的 五位数 方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、 百、千位中任选一个位置将0填人，有A种填法，然后 将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A:种排 法，故共有AA=96个符合条件的五位数. (3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是 3的倍数，将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类， 按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数， 再取2进行排列，先填百位有A种填法，再填其余位有 A种排法，故有2AA个符合条件的三位数；不取0， 则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全 排列，故有2A种排法.∴.共有2A:A号+2A=8+12=20个 符合条件的三位数. (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3 中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非0 数中选一个填人万位，有A种填法，最后将包含0在内 的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A, 故共有AAA=36个符合条件的五位数， (5)按分类加法计数原理，当万位数字为1,2,3 时均可以，共有AA个数.当万位数字为4，千位数字 为0,1时均满足，共有AA个数，当万位数字为4， 千位数字为2，百位数字为0,1时均满足，共有 (AA号-1)个数，.比42130小的数有A:A+A:A+ AA-1=87个.万位是1,2的各有A个数，万位是3， 千位是0,1的各有A个数，.共有2A+2A=60个数， 故第61个数为32014. (6)运用排除法，先将1,3在奇数位上排列，有 A种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排 列，有A种排法，而其中1,3在个位和百位上，0在 万位上的排法不合题意，有AA种排法..符合条件的 参考答案⊙ 五位数共有AA-AA3=32个 变式训练3解：(1)个位上的数字必须是0或5.个 位上是0，有A个：个位上是5，若不含0，则有A个： 若含0，但0不作首位，则0的位置有A:种排法，其余 各位有A种排法，故共有A:+A+A:A=216个能被5整 除的五位数 (2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整 除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4， 5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个. 故能被3整除的五位数有A+AA=216个. (3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字 为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的 一个，有3A个数，.240135是第A+3A+1=193个数， 即240135是第193个数. 31.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 要点精析 例1解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场 比赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠军、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列 问题 (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 变式训练1解：(1)一种火车票与起点、终点的顺 序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，.它是排 列问题 (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺 序之分，因此它是排列问题。 (3)从7本不同的书中，取出5本给某名学生，在 每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合 问题. 例2解：(1)从4位候选人中选举正、副班长各一人 是排列问题，有A=12种选法，所有可能的选举结果： AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB, DB,DC. (2)从4位候选人中选举2人负责班级工作是组合 问题，有C=6种选法，所有可能的选举结果：AB, AC,AD,BC,BD,CD. (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都 33 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 对应A个排列，即A=CA.类比可知，从n个不同元 素中选出m个元素的排列数A”与组合数Cm间的等量 关系为A=CmA. 变式训练2解：先将元素按照一定顺序排好，然后按 顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示 b cde de 变式训练2答图 由此可得所有的组合：ab,ac,ad,ae,bc,bd, be,cd,ce,de,共有l0种. 例3解：（1)3c-2C=3x503-2-148 (0≤38-n≤3n, (2). .9.5≤n≤10.5.n∈Nt, 0≤3n≤21+n, .n=10, .:.C38-"+C别+n=C8+C39=C30+C31=466. 例4证明：mCm=m n! ml(n-m)! n-(-1)！ =(m-1(-m} (n-1)！ ·m-1)0n-m刀 =n.Cw-1 例5(1)ABCD【解析】由C>C,得 4(n4r6n-6'm2-9m-10k0,-1K10, n! n! n≥6 n≥6. n≥6 又n∈N,.该不等式的解集为{6,7,8,9}· 故选ABCD. 2解：gd 51 61 =Zx-mmL，即m(5-my_m(6-m(5-m是 10x71 51 6x51 7ml(7=m6)5-mL,l-6-2m-⑦-m6-m,即 10x7×6x51 6 60 m2-23m+42-0,解得m=2或m=21.0≤m≤5，m∈N, .m=2,.∴.Cg+Cm-C8+C8=C9=84. 变式训练3(1)解：C器+C-Cm+C=100x99+ 2 200=4950+200=5150. 2证明：C n！ (n-1-m)！m!(n-m)！ =C0. 34 数学文化 例1A【解析】(1)金、木、水、火、土彼此之间存 在相生相克的关系.从5类元素中任选2类元素，基本 事件总数=C号=10,2类元素相生包含的基本事件有5 个，则2类元索相生的概率为上品宁放证A 例2解：(1)方法一：可作出三角形C8+CC+CC =116个. 方法二：可作三角形C。-C:=116个，其中以C为 顶点的三角形有C+CC+C=36个. (2)可作出四边形C+CC6+C6C=360个. 第2课时组合数的应用 要点精析 例1(1)45(2)2(3)90【解析】(1)从10 名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个 不同元素中取出2个元素的组合数，即C=A品=10x9 A32x1 =45. (2)可把问题分成两类情况： 第一类，选出的2名是男教师有C种方法；第二 类，选出的2名是女教师有C种方法.根据分类加法计 数原理，共有cC袋+会-8+2-1546-21种不 同的选法 (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名 女教师中选2名的选法有C:种，根据分步乘法计数原 理，共有不同的迹法CxC=是×公是-袋× 90种. 变式训练1解：(1)从口袋内的8个球中取出3个 球，取法种数是C=8x7x5=56. 3×2×1 (2)从口袋内取出3个球，其中有1个是黑球，于 是还贸从7个白球中再取出2个，取法种数是C 21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从 7个白球中取出3个球，取法种数是C-7x6x5-35. 3x2x1 例2解：(1)Ci-Ci=825种. (2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当 选；只有1名女生当选；没有女生当选，共有CC+N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.1.3组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 (4)从全班40人中选出3人参加某项 学习目标 活动，有多少种不同的选法？ 1.理解组合的定义，正确认识组合与排 列的区别与联系 2.掌握组合数公式及组合数的性质，并 会运用它们进行计算 要点精析 川要点1组合概念的理解 1.组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m (m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同 对象中取出m个对象的一个组合. 2.排列与组合的关系 两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n》 相同点 个对象 不同点排列问题中对象有序，组合问题中对象无序 反思感悟 关系 组合数C与排列数A:间存在的关系： A=CA 排列、组合辨析切入点： 例1在下列问题中，哪些是组合问 (1)组合的特点是只选不排，即组合 题？哪些是排列问题？ 只是从n个不同的元素中取出m(m≤n) (1)a,b,c,d四支足球队之间进行单 个不同的元素即可. 循环此赛，共需比赛多少场？ (2)只要两个组合中的元素完全相同， (2)a,b,c,d四支足球队争夺冠军、 不管顺序如何，这两个组合就是相同的 亚军，有多少种不同的结果？ 组合 (3)从全班40人中选出3人分别担任 (3)判断组合与排列的依据是看是否 班长、副班长、学习委员三个职务，有多少 与顺序有关，与顺序有关的是排列问题， 种不同的选法？ 与顺序无关的是组合问题 12)学 第三章排列、组合与二项式定理。 变式训练1 判断下列问题是组合问题还是排列 问题 (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁 路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5名学生，每 人1本 (3)从7本不同的书中取出5本给某名 学生 反思感悟 组合个数的求解策略： (1)枚举法：书写时常以首字母为切 入点，相同元素不必重复列举 (2)公式法：利用排列数A与组合数 C之间的关系C=A:求解。 Am B变式训练2 从5个不同元素a,b,c,d,e中取出 2个，共有多少种不同的组合？请写出所有 组合 要点2组合的个数问题 例2在A,B,C,D四位候选人中. (1)如果选举正、副班长各一人，共有 几种选法？写出所有可能的选举结果 (2)如果选举两人负责班级工作，共有 几种选法？写出所有可能的选举结果。 (3)类比上述两个结果间的等量关系， 你能找出排列数A:与组合数Cπ间的等量关 系吗？ 学(13 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 要点3组合数公式与组合数性质的应用： 例5(1)（多选题）若C4>C,则n 的可能取值有( 1.组合数与组合数公式 A.6 B.7 C.8 D.9 从n个不同对象中取出m个对象 (2)已知1-1=7 组合数定义 的所有组合的个数，称为从n个不 CCg10Cg,求Cg+Cg 及表示 同对象中取出m个对象的组合数， 的值 用符号Cm表示 乘积 Cm=A=n(n-1)n-2)…(m-m+1） 形式 mx(m-1)×…×2x1 组合数 阶乘 C州= n! 形式 m!(n-m)川 2.组合数的性质 (1)CM=C. (2)C+C=C 例3求值： (1)3C8-2C: (2)C8-"+Cn 反思感悟 (1)组合数公式 Cm=n(n-l)(n-2)…(n-m+1) m! 一般用于计算，而组合数公式C”= n! 一般用于含字母的式子的化简与 例4证明：mCW=nCml. m!(n-m)！ 证明， (2)要善于挖掘题目中的隐含条件， 简化解题过程，如组合数Cm的隐含条件为 m≤n,且m,n∈N. (3)计算时应注意利用组合数的两个 性质： ①Cm=Cnm；②Cml=Cm+C+1 (14)学 第三章排列、组合与二项式定理。 例2如图，在以AB为直径的半圆周 变式训练3 上，有异于A,B的六个点C,C2,…,C6, (1)计算：C8+C8 线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2, (2)证明：C”=nC1. D3,D4 n-m (1)以除A,B外的10个点中的3个点 为顶点可作多少个三角形？其中含C,点的 有多少个？ (2)以图中的12个点（包括A,B)中 的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ C5 ADD.DDB 图3-1-4 数学文化 例1五行学说是华夏民族创造的哲学 思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认 为，天下万物皆由金、木、水、火、土5类 元素组成，如图，分别是金、木、水、火、 土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5 类元素中任选2类元素，则2类元素相生的 概率为( 反思感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题， 要注意共点、共线、共面、异面等情形， 水 金 防止多算.常用直接法，也可采用间接法 图3-1-3 (2)把一个与几何相关的问题转化为 组合问题，此题目的解决体现了数学抽象 A.2 B.( c.4 D. 及数学运算的核心素养. 学 15