3.1.1 第1课时 基本计数原理及其简单应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦“基本计数原理”，涵盖分类加法计数原理和分步乘法计数原理，通过定义阐释、使用条件点拨及基础题回顾，帮助学生建立新旧知识联系，以分层题型（分类、分步、综合应用）为学习支架，引导逐步掌握原理。 资料以实例为载体，通过例题解析与跟踪训练培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，习题分层设计覆盖基础到拔高，助力学生自主学习，提升用数学思维分析解决实际问题的能力，便于教师教学与评估。

数学　选择性必修 第二册 RJ 3.1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理及其简单应用 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 教学重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 教学难点：会利用两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 核心素养：通过分类加法计数原理与分步乘法计数原理的学习培养数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． [点拨]　1.使用分类加法计数原理的条件 完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理． 2．使用分步乘法计数原理的条件 完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理． 3．使用两个计数原理解题的本质 ―→―→ ―→―→ 1．(分类加法计数原理)从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有________种不同的选法． 答案：64 2．(分步乘法计数原理)一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法． 答案：48 3．(两个基本计数原理的简单应用)某校高一有8个班，高二有7个班，高三有6个班，学校选2个班参加社会实践，要求这2个班来自不同年级，有________种不同的选法． 答案：146 题型一　分类加法计数原理 例1　某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，那么一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ [解]　(1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为三类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68个不同的节目． (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，所以这3个频道转播的节目只有1个，而其余(68－3)个频道正在播放互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看1＋(68－3)＝66个不同的节目． 【感悟提升】　利用分类加法计数原理解题的一般思路 【跟踪训练】　 1．高二(1)班有学生50人，男生30人；高二(2)班有学生60人，女生30人；高二(3)班有学生55人，男生35人． (1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？ 解：(1)选一名学生任学生会主席有三类不同的选法： 第一类，从高二(1)班选一名，有50种不同的方法； 第二类，从高二(2)班选一名，有60种不同的方法； 第三类，从高二(3)班选一名，有55种不同的方法． 故选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165种不同的选法． (2)选一名学生任学生会体育部部长有三类不同的选法： 第一类，从高二(1)班男生中选一名，有30种不同的方法； 第二类，从高二(2)班男生中选一名，有60－30＝30种不同的方法； 第三类，从高二(3)班女生中选一名，有55－35＝20种不同的方法． 故选一名学生任学生会体育部部长共有30＋30＋20＝80种不同的选法． 题型二　分步乘法计数原理 例2　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P(a，b)可表示多少个不在直线y＝x上的点？ [解]　(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种方法；第二步确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上6×6＝36个不同的点． (2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，因为a<0，所以有3种方法；第二步确定b，因为b>0，所以有2种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上3×2＝6个第二象限的点． (3)分两步：第一步确定a，有6种方法；第二步确定b，有5种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示6×5＝30个不在直线y＝x上的点． 【感悟提升】　利用分步乘法计数原理解题的一般思路 【跟踪训练】　 2．书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书． (1)从这些书中任取一本数学、一本语文和一本英语共三本书的不同取法有多少种？ (2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？ 解：(1)完成这个工作可分三个步骤： 第一步，从第一层中任取一本数学书，有6种取法； 第二步，从第二层中任取一本语文书，有6种取法； 第三步，从第三层中任取一本英语书，有5种取法． 根据分步乘法计数原理，共有6×6×5＝180种不同的取法． (2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤： 第一步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，有17种不同的方法； 第二步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，有16种不同的方法； 第三步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，有15种不同的方法． 根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法． 题型三　两个基本计数原理的简单应用 例3　某校高中三年级(1)班有优秀团员8人，(2)班有优秀团员10人，(3)班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ [解]　(1)分三类：第一类，从(1)班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类，从(2)班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类，从(3)班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有8＋10＋6＝24种不同的选法． (2)分三步：第一步，从(1)班的8名优秀团员中选1名为小组长，有8种不同的选法；第二步，从(2)班的10名优秀团员中选1名为小组长，有10种不同的选法；第三步，从(3)班的6名优秀团员中选1名为小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有8×10×6＝480种不同的选法． (3)分三类：每一类又分两步，第一类，从(1)班、(2)班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类，从(2)班、(3)班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类，从(1)班、(3)班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有8×10＋10×6＋8×6＝188种不同的选法． 【感悟提升】　利用两个基本计数原理解题的策略 (1)正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一种方法只能完成事件中的某一部分． (2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一类中再分步． 【跟踪训练】　 3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的选法？ (2)从国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？ 解：(1)任选一幅画可以分三类： 第一类，从国画中选，有5种不同的选法； 第二类，从油画中选，有2种不同的选法； 第三类，从水彩画中选，有7种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法． (2)从现有的3种画中各选一幅画可以分三步： 第一步，从5幅不同的国画中选1幅，有5种不同的选法； 第二步，从2幅不同的油画中选1幅，有2种不同的选法； 第三步，从7幅不同的水彩画中选1幅，有7种不同的选法． 根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法． 1.甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中任选一名学生，则不同的选法共有(　　) A．29种 B．30种 C．59种 D．29×30种 答案：C 解析：分两类：第一类，从甲班选有29种选法；第二类，从乙班选有30种选法．由分类加法计数原理得，共有29＋30＝59种不同的选法．故选C. 2．暑假期间，南京有4个家庭分别选择吉林、白山、四平三个城市中的一个避暑旅游，则这4个家庭不同的选择方法共有(　　) A．6种 B．24种 C．64种 D．81种 答案：D 解析：由题意可知，4个家庭中，每个家庭都有3种选择方法，由分步乘法计数原理可得，共有3×3×3×3＝81种不同的选择方法．故选D. 3．(多选)小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院．相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则(　　) A．要求出小张最短的走法种数，应该用分类加法计数原理解决 B．要求出小张最短的走法种数，应该用分步乘法计数原理解决 C．小张最短的走法种数是11 D．小张最短的走法种数是72 答案：BD 解析：求最短的走法种数应该分三步完成，所以应该用分步乘法计数原理解决．由题意可得从家到水果店有6种最短的走法，从水果店到花店有3种最短的走法，从花店到医院有4种最短的走法，则共有6×3×4＝72种最短的走法．故选BD. 4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 答案：36 解析：因为a＋bi为虚数，所以b≠0，完成这件事分两步：第一步确定b，有6种不同的方法；第二步确定a，由于a≠b，但a可以为0，故有6种不同的方法，故虚数共有6×6＝36个． 5．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有________种坐法；若小明与爸爸分别就座，有________种坐法． 答案：14　182 解析：小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法； 第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法． 根据分类加法计数原理，小明爸爸任选一个凳子坐下，共有8＋6＝14种坐法． 小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第一步，小明先就座，从东西两面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13) 第二步，小明爸爸再就座，从东西两面共13个空闲凳子中选一个坐下，有13种坐法． 根据分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座，共有14×13＝182种坐法． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 分类加法计数原理的实际应用 分步乘法计数原理的实际应用 两个基本计数原理的简单应用 两个基本计数原理的简单应用 两个基本计数原理在集合、坐标系中的简单应用 分步乘法计数原理的实际应用 两个基本计数原理的简单应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 以圆锥曲线为载体，根据分类加法计数原理求事件个数 两个基本计数原理的简单应用 两个基本计数原理的简单应用 以算珠为载体，两个基本计数原理的简单应用 分步乘法计数原理的实际应用 两个基本计数原理的简单应用 分步乘法计数原理在二次函数中的应用 一、选择题 1．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　　) A．24种 B．9种 C．3种 D．26种 答案：B 解析：不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种不同的选法． 2．有四个信号显示窗排成一排，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是(　　) A．12 B．64 C．81 D．256 答案：C 解析：由题意，得每个信号显示窗有3种情况，所以这排信号显示窗所发出的信号种数是34＝81.故选C. 3．李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 答案：B 解析：不选连衣裙有4×3＝12种方式，选连衣裙有2种方式．由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14种方式． 4．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，一名同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法有(　　) A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 答案：A 解析：设4门A类选修课为A1，A2，A3，A4，3门B类选修课为B1，B2，B3，分两类：第一类，A类1门B类2门，从A类中选1门有4种选法，从B类中选2门有B1B2，B1B3，B2B3，共3种选法，所以从A类中选1门B类中选2门有4×3＝12种选法；第二类，A类2门B类1门，从A类中选2门有A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6种选法，从B类中选1门有3种选法，所以从A类中选2门B类中选1门有6×3＝18种选法．由分类加法计数原理知，共有12＋18＝30种不同的选法． 5．(多选)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，下列说法正确的是(　　) A．第一象限内不同的点有8个 B．第二象限内不同的点有7个 C．第三象限内不同的点有4个 D．第四象限内不同的点有5个 答案：AC 解析：对于A，此问题可分为两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，在集合M中只能取1，3两个元素中的一个，方法有2种，在集合N中只能取5，6两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有2×2＝4个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，在集合N中只能取5，6两个元素中的一个，方法有2种，在集合M中只能取1，3两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有2×2＝4个，综合①②，利用分类加法计数原理知，共有4＋4＝8个，故A正确；对于B，同理分两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有1×2＝2个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2×2＝4个，综合①②，共有2＋4＝6个，故B错误；对于C，同理分两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有1×2＝2个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2×1＝2个，综合①②，共有2＋2＝4个，故C正确；对于D，同理分两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有2×2＝4个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2×1＝2个，综合①②，共有4＋2＝6个，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则共有________种不同的挂法． 答案：6 解析：需分两步来完成：第一步，从甲、乙、丙3幅不同的画中选出1幅挂在左边的墙上，共有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选出1幅挂在右边的墙上，共有2种选法．根据分步乘法计数原理，共有3×2＝6种不同的挂法． 7．已知a，b均为集合A＝{1，5，7，9}中的元素，则对应的所有可能的直线y＝x有________条． 答案：13 解析：第一类，当a，b取值相同时，＝1，表示1条直线．第二类，当a，b取值不同时，分两步：第一步，排分母，有4种情况；第二步，排分子，有3种情况，共有4×3＝12种情况，且值都不相等．综上，所有可能的直线y＝x有1＋12＝13条． 8．已知椭圆方程＋＝1，m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的个数为________；若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的个数为________． 答案：10　20 解析：若椭圆的焦点在x轴上，则m＞n＞0，考虑m依次取1，2，3，4，5时，符合条件的n值分别有0，1，2，3，4个，由分类加法计数原理知，椭圆的个数为0＋1＋2＋3＋4＝10.若椭圆的焦点在y轴上，则0<m<n，考虑m依次取1，2，3，4，5时，符合条件的n值分别有6，5，4，3，2个，由分类加法计数原理知，椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20. 三、解答题 9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 解：(1)选1人，可分三类： 第一类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第二类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第三类，从女同学中选1人，有5种不同的选法． 由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16种不同的选法． (2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行： 第一步，选教师，有3种不同的选法； 第二步，选男同学，有8种不同的选法； 第三步，选女同学，有5种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种不同的选法． 10．某校高一(4)班有34人，分为四个小组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人． (1)若每组选1名组长，有多少种不同的选法？ (2)若推选2人发言，这2人需来自不同的组，则有多少种不同的选法？ 解：(1)分成四步： 第一步，一组选1名组长有7种选法； 第二步，二组选1名组长有8种选法； 第三步，三组选1名组长有9种选法； 第四步，四组选1名组长有10种选法． 所以每组选1名组长，有7×8×9×10＝5040种不同的选法． (2)分为六类： 2人来自一、二组的选法有7×8＝56种； 2人来自一、三组的选法有7×9＝63种； 2人来自一、四组的选法有7×10＝70种； 2人来自二、三组的选法有8×9＝72种； 2人来自二、四组的选法有8×10＝80种； 2人来自三、四组的选法有9×10＝90种． 所以共有56＋63＋70＋72＋80＋90＝431种不同的选法． 11．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史．现有一算盘，取其两档(如图1)，自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上、下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1(如图2算盘表示整数51)．若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．15 答案：B 解析：拨动两枚算珠可分为以下三类：①在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数；②同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数；③在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示2×2＝4个不同整数．所以根据分类加法计数原理，一共可表示2＋2＋4＝8个不同整数．故选B. 12．360的不同正约数共有________个． 答案：24 解析：由题意，360＝23×32×5.则可设360的正约数p＝2r×3s×5t(r，s，t∈N)，正约数的个数即r，s，t的不同取法的个数．因为r可取0，1，2，3，共4种取法；s可取0，1，2，共3种取法；t可取0，1，共2种取法．由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2＝24种不同的取法．故360有24个不同的正约数． 13．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球． (1)若取出的两个小球颜色不同，有多少种取法？ (2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？ 解：(1)若取出的两个小球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或在A，C袋中各取一个或在B，C袋中各取一个，故有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法． (2)若取出的两个小球颜色相同，则应在B或C袋中取出两个，故有1＋3＝4种取法． 14．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则 (1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？ (2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？ 解：(1)当y＝ax2＋bx＋c表示二次函数时，a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数． (2)当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数． 13 学科网（北京）股份有限公司 $