3.1.2排列与排列数（第一课时） 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

课题 3.1.2 排列与排列数 第一课时 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第二册 章节 第三章第一节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1.通过具体实例理解排列与排列数的概念.【重点】 2.能利用计数原理推导排列数公式，并能应用排列数公式解决简单的实际问题.【难点】 核心素养 1. 逻辑推理素养：掌握排列公式的推导，从具体问题抽象出排列公式，理解公式背后的逻辑关系。 2. 数学运算素养：排列数的计算。 3. 数学抽象思维：排列与排列数的概念。 教学方法和手段 1.教学方法：讲授法、启发式教学、问答法、讲练结合法等。 2.教学手段：采用板书法，利用多媒体课件辅助教学，使用PPT展示问题和概念，帮助学生更好地理解和掌握本节课所学知识。 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入新课 【情景导入】 同学们，我们先来看三个情景，你能试着回答下列问题吗？ （1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长共有多少种不同的选择方式？ （2）班里要在甲、乙、丙3名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？ （3）学校要在3名能力相当的教师中选出2人，分别去上海和浙江交流教学经验，共有多少种不同的指派方案？ 激发学生的学习兴趣，以及增强学习动力。 知识精讲 知识点一：排列 知识点二：排列数 知识点三：排列数公式 【师生活动】 学生先独立思考，同桌交流讨论这三个不同的情景，得出三个问题答案相同的结论，教师总结，得到排列的定义. 【预设答案】 （1）分别指定每个志愿的选择，分两步完成. 第一步：确定第一志愿，共3种选法； 第二步：确定第二志愿，共2种选法. 根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有3×2=6种. （2）选择角色的方法可以分为两步完成. 第一步：确定角色A的扮演者，共3种方法； 第二步：确定角色B的扮演者，共2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有3×2=6种. （3）指派教师的方案可以分为两步完成. 第一步：确定去上海交流经验的老师，共3种选法； 第二步：确定去浙江交流经验的老师，共2种选法. 根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有3×2=6种 【教师总结】 这三个问题虽然背景不同，但所求的本质都是“从3个对象中选取2个并排成先后顺序，有多少种不同的排法”，因此它们的答案是一致的. 【知识点】 排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 特别地，当m=n时的排列 (即取出所有对象的排列)称为全排列. 【问题】情景导入问题（2）：班里要在甲、乙、丙3名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？你能列举出所有的排列吗？ 【师生活动】 学生思考后回答，教师总结并得出排列数的定义. 【学生回答】 6种，分别是： (甲，乙)，(甲，丙)，(乙，甲)， (乙，丙)，(丙，甲)，(丙，乙). 【教师总结】 排列数：从n个不同对象中，任取m个对象的所有排列的个数，称为从 n个不同对象中取出m个对象的排列数.用符号表示. 【问题】你知道排列和排列数有什么区别吗？ 【师生活动】 学生讨论排列和排列数的异同之处，交流成果，教师点评。 【预设答案】 排列是指“从n个不同对象中,任取m个对象,按照一定顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事); 排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”,它是一个数. 【探究】我们已知情景中的3个问题是求从3个不同对象中取出2个对象的排列数，实际就是求=6.那么你会求吗？ 【师生活动】 学生交流讨论，教师引导学生根据求的方法一步步推导出的答案，教师总结并得到排列数公式. 【教师总结】 一般地，我们有 =n(n−1)…[n−(m−1)]=n(n−1)…(n−m+1) 这个公式称为排列数公式. 【例1】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 【师生活动】 学生独立完成，用树状图表示出来，教师总结得到阶乘公式. 【预设答案】 所求排列数为=3×2×1=6 可用下图表示： 由图可知，所有排列为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA 【教师总结】 例1计算的其实是3个对象的全排列数. 一般地，在中，当m=n时， =n×(n−1)×⋯×2×1, 通常将上式的右边简写成：n！ (读作“n的阶乘”)： 即=n！. 当0<m<n时，注意到： n！=n×(n−1)×⋯×[n−(m−1)]×(n−m)×[n−(m+1)]×⋯×2×1 (n−m)！ 可将排列数用阶乘表示为：=. 为了使得上式对m=n时也成立，规定：0！=1. 为了方便起见，也规定=1. 情景中问题的提出引导学生转化思想——从具体的例子通过不断的抽象从而归纳出排列的定义. 从学生熟悉的生活场景入手，更容易调动学生的学习热情. 让学生自己推导出排列数公式是困难的，因此这里提出了用求的方法，引导学生用类比的方法求，从而获得排列数公式，提升了学生的逻辑推理素养. 引导学生将排列的阶乘公式转化出来，更容易加深学生对知识点的理解和应用. 当堂达标 1.判断下列问题是否是排列问题: （1）从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点的坐标; （2）从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会; （3）某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式. 2.计算： (1) (2) 3.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 掌握排列数的表示，理解其数学意义和应用价值。学会运用排列数的定义判断是否为排列问题并用排列数公式进行计算，提高解题能力，提升学生的数学运算、数学抽象的数学学科素养。 课堂总结 本节课学习了什么内容？ 1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 2.排列数：从n个不同对象中，任取m个对象的所有排列的个数，称为从 n个不同对象中取出m个对象的排列数.用符号表示. 3.排列数公式：一般地，我们有 =n(n−1)…[n−(m−1)]=n(n−1)…(n−m+1)，这个公式称为排列数公式. 4.阶乘：=. 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、标题 排列与排列数 第一课时 二、内容梳理 1.排列与排列数的定义和表示 2. 3.排列问题的判断 4.排列数的计算 例题解析 0. 展示具体题目 0. 逐步推导解题过程 0. 强调关键步骤和思路 练习与巩固 0. 设计几道练习题 0. 引导学生独立完成 0. 点评典型错误与解题思路 三、课堂小结 总结本节课的主要内容 提醒学生注意的问题 教学设计反思 排列与排列数是高中数学组合数学的重要内容，也是学生学习概率统计的基础。我在教学过程中，深刻体会到，要使学生真正理解和掌握排列与排列数的概念，并能灵活运用解决实际问题，需要从以下几个方面进行反思： 概念理解和直觉建立：排列与排列数的概念对于学生来说可能比较抽象，教师可以通过生动的例子和实际问题帮助学生建立直观的认识。例如，通过抽象问题和日常生活中的例子展示排列数的应用，让学生更容易理解和接受这一概念。排列数公式的推导过程对于理解排列的概念十分重要，但学生往往只关注公式本身，而忽略了公式背后的逻辑。因此，在讲解公式时，要结合具体实例，引导学生逐步推导出公式，并理解公式的含义。 练习设计和巩固： 要设计一些基础题，帮助学生巩固概念和公式。练习题要循序渐进，从简单到复杂，逐步提高难度。 联系实际问题：教学中，设计一些与生活实际相关的应用题，引导学生将知识运用到实际问题中。例如，设计学生排队、比赛名次等问题，使学生感受到排列组合的实用性。 引导学生思考：要设计一些开放性问题，引导学生思考问题，并运用多种方法解决问题。例如，可以设计一些探索性问题，让学生自己推导公式或进行猜想。 反馈和纠正：及时给予学生反馈，帮助他们发现和纠正错误。通过批改作业、课堂讨论等方式，指导学生正确理解和应用。 总之，在教学排列与排列数时，要注重概念理解、练习多样化、教学手段创新、关注个体差异，才能使学生真正掌握知识，并运用知识解决实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $