11.4.2 第2课时 垂直关系的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.4.2 第2课时 垂直关系的综合问题 [课时跟踪检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B的任意一点,则下列结论中正确的是 (　　) A.PB⊥AC　　　　 B.PC∥BC C.AC⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC 解析:选D　因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,所以PA⊥BC,PA⊥AC,又点C是圆周上异于A,B的任意一点,所以AC⊥BC.对于A、C,若PB⊥AC,则可得AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,与PA⊥AC矛盾,故A、C错误;对于B、D,可知BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC,故B错误,D正确. 2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC.则下列两条直线中,不互相垂直的是 (　　) A.AA1和BC B.AB1和BC1 C.A1B和BC D.AB和B1C 解析:选B　对于A,因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC; 对于B,AB1与BC1不一定垂直; 对于C,因为AA1⊥BC,AB⊥BC,且AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,所以A1B⊥BC; 对于D,因为AA1⊥平面ABC,CC1∥AA1,所以CC1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以CC1⊥AB, 又AB⊥BC,且BC∩CC1=C,BC,CC1⊂平面BCC1B1,所以AB⊥平面BCC1B1, 又B1C⊂平面BCC1B1,所以AB⊥B1C.故选B. 3.一种特殊的四面体叫做“鳖臑”,它的四个面均为直角三角形.如图,在四面体P-ABC中,设E,F分别是PB,PC上的点,连接AE,AF,EF(此外不再增加任何连线),则图中直角三角形最多有 (　　) A.6个　　 B.8个　　 C.10个　　 D.12个 解析:选C　为使题图中有尽可能多的直角三角形,设四面体P-ABC为“鳖臑”,其中PA⊥平面ABC,且AB⊥BC,易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB,EF⊥PC,由CB⊥平面PAB,得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB,平面PAB∩平面PBC=PB,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,且AE⊥PC.又EF⊥PC,知四面体P-AEF也是“鳖臑”,则题图中的10个三角形全是直角三角形,故选C. 4.已知AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上异于A,B的任意一点,连接PC,PB,AC,BC,得到四个三角形,其中直角三角形的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选D　如图所示,因为PA垂直于☉O所在的平面, AB,AC,BC在☉O所在平面内,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC. 所以△PAB和△PAC均为直角三角形.又因为AB为☉O的直径,可得AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.又AC∩PA=A,且AC,PA⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC.所以△PBC为直角三角形.所以共有4个直角三角形.故选D. 5.如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,点E为线段AB上异于A,B的点,点F为线段CD上异于C,D的点,且EF∥DA,沿EF将平面EBCF折起,如图②,则下列结论正确的是 (　　) A.AB∥CD B.AB∥平面DFC C.A,B,C,D四点共面 D.CE与DF所成的角为直角 解析:选B　在图②中,∵BE∥CF,BE⊄平面DFC,CF⊂平面DFC,∴BE∥平面DFC,同理AE∥平面DFC.又BE∩AE=E,∴平面ABE∥平面DFC,又AB⊂平面ABE,∴AB∥平面DFC,故B正确;若A,B,C,D四点共面,则AD∥EF,AD⊄平面BEFC,EF⊂平面BEFC,∴AD∥平面BEFC.平面BEFC∩平面ABCD=BC,AD⊂平面ABCD,则AD∥BC,而由题可知AD,BC是异面直线,矛盾,所以A,B,C,D四点不在同一平面上,故A、C错误;若CE与DF所成的角为直角,由于FD⊥EF,FE∩CE=E,EF,CE⊂平面BEFC,所以FD⊥平面BEFC.根据翻折过程中,平面BEFC与平面ADFE不一定垂直,故D错误. 6.(5分)一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,∠B=∠F=90°,∠A=60°,∠D=45°,BC=DE.现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥F-CAB,取BC中点O与AC中点M,则下列判断正确的是　　　　　.(填序号)  ①直线BC⊥平面OFM; ②AC与平面OFM所成的角为定值; ③设平面ABF∩平面MOF=l,则l∥AB; ④三棱锥F-COM的体积为定值. 解析:由OM为△ABC的中位线可得OM∥AB,则BC⊥OM,BC⊥OF,且OM∩OF=O,OM,OF⊂平面OFM,可得BC⊥平面OFM,故①正确;由BC⊥平面OFM,可得AC与平面OFM所成的角为∠CMO,而∠CMO=∠CAB=60°,故②正确; 如图所示,可过点F在平面OMF内作直线l∥OM,而OM∥AB,所以l∥AB,l为平面OMF和平面ABF的交线,故③正确;在三棱锥F-COM中,CO⊥平面OMF,由于CO为定值,△OMF的面积不为定值,所以三棱锥F-COM的体积不为定值,故④错误. 答案:①②③ 7.(5分)已知半径为2的球O与平面α相切于点A,直线l与平面α相交,交点为C,l与球O相切,切点为B,AC=6,且l与平面α所成角的大小为30°,则AB=　　　　　.  解析: 如图,设点B在平面的垂足为D,连接AD,BD,OA,OB, 则可得BD∥OA,所以O,A,D,B四点共线,且OA=2,OB=2,CA=6,CB=6. 因为l与平面α所成角的大小为30°, 所以∠BCD=30°,所以BD=6sin 30°=3. 过O作OE垂直BD于点E,则DE=OA=2,OE=AD,可得BE=BD-DE=1. 所以OE= =,得AD=. 所以AB= =2. 答案:2 8.(15分)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE. (1)证明:BE⊥平面D1AE;(5分) (2)设F为CD1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(10分) 解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形且AD=DE=EC=BC=2,∴∠AEB=90°,即BE⊥AE, 又平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面D1AE. (2)当=时,MF∥平面D1AE,理由如下: 取D1E的中点L,连接FL,AL,∴FL∥EC,又EC∥AB,∴FL∥AB,且FL=AB,∴M,F,L,A四点共面, 又MF∥平面AD1E,∴MF∥AL. ∴四边形AMFL为平行四边形, ∴AM=FL=AB,=. 9.(15分)如图1所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图2所示. (1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF.(4分) (2)求证:BD⊥A1F.(4分) (3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?请说明理由.(7分) 解:(1)证明:∵D,M分别为AC,FC的中点, ∴DM∥EF,又∵EF⊂平面A1EF,DM⊄平面A1EF,∴DM∥平面A1EF. (2)证明:∵EF⊥BD,A1E⊥BD,A1E∩EF=E, A1E⊂平面A1EF,EF⊂平面A1EF, ∴BD⊥平面A1EF,又A1F⊂平面A1EF,∴BD⊥A1F. (3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下: ∵平面BCD⊥平面A1BD,平面BCD∩平面A1BD=BD,EF⊥BD,EF⊂平面BCD, ∴EF⊥平面A1BD, 又∵A1B⊂平面A1BD,∴A1B⊥EF, 又∵DM∥EF,∴A1B⊥DM. 假设A1B⊥CD,∵DM∩CD=D, ∴A1B⊥平面BCD, ∴A1B⊥BD,与∠A1BD为锐角矛盾, ∴直线A1B与直线CD不能垂直. 10.(15分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离;(5分) (2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(10分) 解:(1)设点A到平面A1BC的距离为h, ∵直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4, ∴=S△ABC×AA1==, 又△A1BC的面积为2,=h=×2h=,∴h=, 即点A到平面A1BC的距离为. (2) 如图,取A1B的中点E,连接AE.由AA1=AB,AA1⊥AB,得AE⊥A1B且AE=A1B. ∵平面A1BC⊥平面ABB1A1, 平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AE⊂平面ABB1A1, ∴AE⊥平面A1BC,∴AE=h=,AE⊥BC, ∴A1B=2,∴AA1=AB=2. 由=4,AA1=2,得2S△ABC=4, ∴S△ABC=2.易知AA1⊥BC,AE⊥BC,AE∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AB,∴BC⊥AB,∴BC=2. 过点A作AF⊥BD于点F,连接EF, 易得∠EFA即为二面角A-BD-C的平面角的补角. 易得AC==2, 则A1C==2. ∵A1B⊥CB,D为A1C的中点, ∴BD=A1C=.易知AD=BD=A1C=, ∴△ABD为等腰三角形,∴AF·BD=AB·=2, 则AF=,∴sin∠AFE===, ∴二面角A-BD-C的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $