11.4.2 第1课时 平面与平面垂直 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.4.2 第1课时 平面与平面垂直 [课时跟踪检测] 1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α C.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 解析:选C　∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β. 2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则 (　　) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 解析:选B　因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC. 3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为 (　　) A.60° B.30° C.45° D.15° 解析:选C　由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=C,∴BC⊥平面PAC,∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°. 4.已知直线m,n与平面α,β,γ,则能使α⊥β成立的一个充分条件是 (　　) A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=m,n⊥m,n⊂β C.m⊥n,m⊂α,n⊂β D.m∥α,m⊥β 解析:选D　平面间的垂直关系,不具有传递性,故A错误;α∩β=m,n⊥m,n⊂β,但α与β可能垂直,也可能不垂直,无法判断垂直关系,故B错误;m⊥n,m⊂α,n⊂β,同样的α与β可能垂直,也可能不垂直,依然无法判断空间中的位置关系,故C错误;若m∥α,则必在α中存在直线l∥m,因为m⊥β,则l⊥β,故α⊥β,故D正确.故选D. 5.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法中正确的是 (　　) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAD⊥平面PDC C.AB⊥PD D.平面PAD⊥平面PBC 解析:选ABC　∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB,∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,故C正确;又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD,故A正确;同理可证平面PAD⊥平面PDC,故B正确;若平面PAD⊥平面PBC,已知平面PAD⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,∴BC⊥平面PAD,又∵AD⊂平面PAD,则BC⊥AD,与已知BC∥AD矛盾,故D错误. 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 (　　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 解析:选A　如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A. 7.(多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论正确的是 (　　) A.平面CBP⊥平面BB1P B.DC1⊥PC C.三棱锥C1-D1PC的体积为定值 D.∠APD1的取值范围是 解析:选ABC　A项,连接PB1,∵CB⊥平面BB1P,∴平面CBP⊥平面BB1P,正确;B项,连接DC1,CD1,由DC1⊥对角面BCD1A1,可得DC1⊥PC,因此正确;C项,连接CD1,C1P,三棱锥C1-D1PC的体积=三棱锥P-C1D1C的体积,底面积为定值,高BC为定值,因此体积为定值,正确;D项,连接AD1,取点P为A1B的中点时,易知AP=,AD1=,PD1==,可得AP2+P=A, ∴∠APD1=,因此不正确. 8.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l是平面α与β之外的直线,给出下列三个论断:①l⊥α,②l∥β,③α⊥β.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　.(用序号表示)  解析:由l∥β可在平面β内作l'∥l,又l⊥α, ∴l'⊥α,∵l'⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③. 答案:①②⇒③(或①③⇒②) 9.(5分)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角的大小为　　　　.  解析:正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则底面边长为2,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,所以侧面与底面所成的二面角的正切值为,故所求的二面角为60°. 答案:60° 10.(5分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  解析:易知BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等) 11.(5分)如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段AN的长为　　　　,线段MN的长为　　　　.   解析:因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,AD⊂平面ABCD,AD⊥CD,所以AD⊥平面DCEF. 因为DF⊂平面DCEF,所以AD⊥DF. 所以在△ADN中,∠ADN=90°. 因此AN==.再取CD的中点G,连接MG,NG,因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=,MG∥AD.所以MG⊥平面DCEF. 又NG⊂平面DCEF,所以MG⊥NG. 所以MN==. 答案:　 12.(10分)如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小. 解:因为AC⊥平面 BCD,BD⊂平面 BCD,所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD,AC∩CD=C, 所以BD⊥平面ACD. 因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.故平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°. 13.(10分)如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点. 求证:(1)BG⊥平面PAD;(6分) (2)AD⊥PB.(4分) 证明:(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD, ∴PG⊥平面ABCD,又BG⊂平面ABCD, ∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. 又AD∩PG=G,AD⊂平面PAD,PG⊂平面PAD, ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG⊂平面PBG,PG⊂平面PBG, ∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB. 14.(15分)如图,在正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,F,F1分别是AC,A1C1的中点.求证: (1)平面AB1F1∥平面C1BF;(7分) (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.(8分) 证明:(1) 如图所示,连接FF1,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1􀰿AC,BB1􀰿CC1. ∵F,F1分别是AC,A1C1的中点, ∴C1F1􀰿AF,FF1􀰿CC1􀰿BB1, ∴四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. ∵B1F1⊄平面C1BF,BF⊂平面C1BF, ∴B1F1∥平面C1BF. 同理AF1∥平面C1BF,又B1F1∩AF1=F1, ∴平面AB1F1∥平面C1BF. (2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1, 又B1F1⊂平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA1. ∵在正三角形A1B1C1中,F1为A1C1的中点, ∴B1F1⊥A1C1,又A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面ACC1A1,而B1F1⊂平面AB1F1, ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 学科网（北京）股份有限公司 $